{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\nmamy:\n2\n5\na =\ni\n4\n11\na =\n. Oblicz\n5a .\nA. 8\nB. 14\nC. 17\nD. 6\nZadanie 14. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W ciągu arytmetycznym (a_n) mamy a_2=5 i a_4=11. Oblicz a_5. A. 8 B. 14 C. 17 D. 6","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWynik: \\(a_5 = 14\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\))\n\nKorzystamy z ogólnego wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZapisujemy warunki zadania jako układ równań:\n\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 + r = 5 \\\\ a_4 = a_1 + 3r = 11 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 11 - 5\\]\n\\[2r = 6\\]\n\\[\\boxed{r = 3}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 3 = 5 \\implies a_1 = 2\\]\n\nTeraz obliczamy \\(a_5\\):\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 2 + 4 \\cdot 3 = 2 + 12 = \\mathbf{14}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów\n\nNie musimy wyznaczać \\(a_1\\)! Skoro znamy \\(a_2\\) i \\(a_4\\), możemy najpierw wyznaczyć różnicę \\(r\\), a potem \"przeskoczyć\" o jeden wyraz w przód.\n\nMiędzy \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są **dwa kroki** (o różnicę \\(r\\)):\n\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 11 - 5 = 2r \\implies r = 3\\]\n\n\\(a_5\\) jest o jeden krok za \\(a_4\\):\n\\[a_5 = a_4 + r = 11 + 3 = \\mathbf{14}\\]\n\nTo samo, szybciej!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania układu równań dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znamy treści opcji A, C, D, ale poniżej typowe błędy, które prowadzą do złych wyników:\n\n| Błąd rachunkowy | Wynik |\n| Uznanie, że \\(a_4 - a_2 = r\\) (zamiast \\(2r\\)) | \\(r = 6\\), potem \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |\n| Pomylenie \\(a_5 = a_4 - r\\) (odejmowanie zamiast dodawania) | \\(a_5 = 11 - 3 = 8\\) |\n| Wzięcie \\(a_5 = a_4 + 2r\\) (o dwa kroki zamiast jednego) | \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazami \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są **dwa** kroki różnicy, nie jeden! Czyli \\(a_4 - a_2 = 2r\\). Podziel przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, o ile kroków różnią się indeksy wyrazów - wzór \\(a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\) działa ogólnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(r\\), szukamy \\(a_5\\), czyli o **jeden** krok więcej niż \\(a_4\\): \\(a_5 = a_4 + r\\). Nie ma potrzeby wracać do \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(a_{5}=14\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu\n\\(a_{4}-a_{2}=2r\\), czyli \\(11-5=6=2r\\), stąd \\(r=3\\).\nWtedy \\(a_{5}=a_{4}+r=11+3=14\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\nZ \\(a_{2}=a_{1}+r=5\\) i \\(a_{4}=a_{1}+3r=11\\): odejmując, \\(2r=6\\), \\(r=3\\), \\(a_{1}=2\\).\n\\(a_{5}=2+4\\cdot 3=14\\).\n\n### Weryfikacja\nCiąg: \\(2,5,8,11,14,\\ldots\\) - różnica \\(3\\) ✓; \\(a_{2}=5\\) ✓, \\(a_{4}=11\\) ✓, \\(a_{5}=14\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(a_{5}=8\\): to \\(a_{3}\\).\n- C \\(a_{5}=17\\): to \\(a_{6}\\).\n- D \\(a_{5}=6\\): wartość przypadkowa, niezgodna z \\(r=3\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>W ciągu arytmetycznym (<br>)<br>na<br>mamy:<br>2<br>5<br>a =<br>i<br>4<br>11<br>a =<br>. Oblicz<br>5a .<br>A. 8<br>B. 14<br>C. 17<br>D. 6<br>Zadanie 14. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W ciągu arytmetycznym (a_n) mamy a_2=5 i a_4=11. Oblicz a_5. A. 8 B. 14 C. 17 D. 6</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Wynik: \\(a_5 = 14\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań (wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\))</h4>\n<p>Korzystamy z ogólnego wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Zapisujemy warunki zadania jako układ równań:<br>\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 + r = 5 \\\\ a_4 = a_1 + 3r = 11 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby wyeliminować \\(a_1\\):<br>\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 11 - 5\\]<br>\\[2r = 6\\]<br>\\[\\boxed{r = 3}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszego równania:<br>\\[a_1 + 3 = 5 \\implies a_1 = 2\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy \\(a_5\\):<br>\\[a_5 = a_1 + 4r = 2 + 4 \\cdot 3 = 2 + 12 = \\mathbf{14}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów</h4>\n<p>Nie musimy wyznaczać \\(a_1\\)! Skoro znamy \\(a_2\\) i \\(a_4\\), możemy najpierw wyznaczyć różnicę \\(r\\), a potem &quot;przeskoczyć&quot; o jeden wyraz w przód.</p>\n<p>Między \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są <strong>dwa kroki</strong> (o różnicę \\(r\\)):<br>\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 11 - 5 = 2r \\implies r = 3\\]</p>\n<p>\\(a_5\\) jest o jeden krok za \\(a_4\\):<br>\\[a_5 = a_4 + r = 11 + 3 = \\mathbf{14}\\]</p>\n<p>To samo, szybciej!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania układu równań dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>Nie znamy treści opcji A, C, D, ale poniżej typowe błędy, które prowadzą do złych wyników:</p>\n<p>| Błąd rachunkowy | Wynik |<br>| Uznanie, że \\(a_4 - a_2 = r\\) (zamiast \\(2r\\)) | \\(r = 6\\), potem \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |<br>| Pomylenie \\(a_5 = a_4 - r\\) (odejmowanie zamiast dodawania) | \\(a_5 = 11 - 3 = 8\\) |<br>| Wzięcie \\(a_5 = a_4 + 2r\\) (o dwa kroki zamiast jednego) | \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Między wyrazami \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są <strong>dwa</strong> kroki różnicy, nie jeden! Czyli \\(a_4 - a_2 = 2r\\). Podziel przez 2!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, o ile kroków różnią się indeksy wyrazów - wzór \\(a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\) działa ogólnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyznaczeniu \\(r\\), szukamy \\(a_5\\), czyli o <strong>jeden</strong> krok więcej niż \\(a_4\\): \\(a_5 = a_4 + r\\). Nie ma potrzeby wracać do \\(a_1\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - \\(a_{5}=14\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu</h5>\n<p>\\(a_{4}-a_{2}=2r\\), czyli \\(11-5=6=2r\\), stąd \\(r=3\\).<br>Wtedy \\(a_{5}=a_{4}+r=11+3=14\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór ogólny</h5>\n<p>Z \\(a_{2}=a_{1}+r=5\\) i \\(a_{4}=a_{1}+3r=11\\): odejmując, \\(2r=6\\), \\(r=3\\), \\(a_{1}=2\\).<br>\\(a_{5}=2+4\\cdot 3=14\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Ciąg: \\(2,5,8,11,14,\\ldots\\) - różnica \\(3\\) ✓; \\(a_{2}=5\\) ✓, \\(a_{4}=11\\) ✓, \\(a_{5}=14\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(a_{5}=8\\): to \\(a_{3}\\).</li><li>C \\(a_{5}=17\\): to \\(a_{6}\\).</li><li>D \\(a_{5}=6\\): wartość przypadkowa, niezgodna z \\(r=3\\).</li></ul>"}]}