{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW malejącym ciągu geometrycznym (\n)\nna\nmamy:\n1\n2\na = - i\n3\n4\na = -. Iloraz tego ciągu jest\nrówny\nA.\n2\nB. 2\nC.\n2\nD.\n2\nZadanie 15. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W malejącym ciągu geometrycznym (a_n) mamy: a_1=-2 i a_3=-4. Iloraz tego ciągu jest równy A. -2 B. 2 C. -pierwiastek z 2 D. pierwiastek z 2.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(q = \\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na wyraz ogólny\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nDla \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(a_1 = -2\\), \\(a_3 = -4\\):\n\\[-4 = -2 \\cdot q^2\\]\n\n\\[q^2 = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\n\\[q = \\sqrt{2} \\quad \\text{lub} \\quad q = -\\sqrt{2}\\]\n\nMamy dwa kandydaci - rozstrzygamy warunkiem **malejącego** ciągu (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego, tzn. \\(a_{n+1} < a_n\\)).\n\n**Sprawdzamy \\(q = \\sqrt{2}\\):**\n\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot \\sqrt{2} \\approx -2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]\n\\[-2 > -2\\sqrt{2} > -4 \\quad \\checkmark\\]\n\nCiąg jest rzeczywiście malejący.\n\n**Sprawdzamy \\(q = -\\sqrt{2}\\):**\n\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot (-\\sqrt{2}) = 2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]\n\nWyrazy naprzemiennie ujemne i dodatnie - ciąg **nie jest** monotonicznie malejący. ✗\n\n**Zatem \\(q = \\sqrt{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz kolejnych wyrazów\n\nW ciągu geometrycznym iloraz to:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nZauważamy też, że:\n\\[\\frac{a_3}{a_1} = \\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1} = q^2\\]\n\n\\[q^2 = \\frac{a_3}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\n\\[|q| = \\sqrt{2}\\]\n\nAby wyznaczyć znak \\(q\\), korzystamy z warunku malejącego ciągu.\n\nPrzy \\(a_1 = -2 < 0\\) i \\(q > 1\\): kolejne wyrazy mnożymy przez liczbę większą od 1, ale ujemne wyrazy mnożone przez \\(q > 1\\) stają się **coraz bardziej ujemne** (coraz mniejsze na osi liczbowej) - ciąg maleje. ✓\n\nPrzy \\(q = -\\sqrt{2} < -1\\): znaki wyrazów się alternują, więc ciąg nie jest monotoniczny. ✗\n\n**Wniosek: \\(q = \\sqrt{2}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyty w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(q^2\\) z warunku \\(a_3 = -4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| A | \\(-\\sqrt{2}\\) | Poprawnie wyliczono \\(\\|q\\| = \\sqrt{2}\\), ale przyjęto ujemny znak, nie sprawdzając warunku malejącości - przy \\(q < 0\\) ciąg alternuje i nie jest malejący |\n| B | \\(2\\) | Błąd rachunkowy: \\(q^2 = 2\\) pomylono z \\(q = 2\\); zapominano o pierwiastkowaniu |\n| C | \\(-2\\) | Podobny błąd jak w B, dodatkowo wzięto znak ujemny bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(q^2 = 2\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(\\sqrt{2}\\) i \\(-\\sqrt{2}\\). Pominięcie warunku malejącości i wybranie dowolnego z nich to klasyczny błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg z ujemnym pierwszym wyrazem i \\(q > 1\\) może być malejący! Intuicja podpowiada \"malejący = \\(0 < q < 1\\)\", ale to dotyczy ciągów z wyrazami dodatnimi. Tu \\(a_1 < 0\\), więc zasada jest odwrotna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(q < 0\\) wyrazy ciągu geometrycznego mają naprzemiennie różne znaki - taki ciąg nigdy nie jest monotoniczny (ani rosnący, ani malejący).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a_{3}=a_{1}q^{2}\\)\n\\[-4=-2\\cdot q^{2} \\implies q^{2}=2 \\implies q=\\pm\\sqrt{2}.\\]\nCiąg ma być malejący - wszystkie wyrazy ujemne (\\(a_{1}<0\\)), więc potrzeba rosnącej wartości bezwzględnej. Dla \\(q=\\sqrt{2}\\): ciąg \\(-2,\\ -2\\sqrt{2},\\ -4,\\ -4\\sqrt{2},\\ldots\\) - wartości ujemne i maleją (\\(-2>-2\\sqrt{2}>-4\\)) ✓.\nDla \\(q=-\\sqrt{2}\\) ciąg zmienia znak (naprzemiennie dodatnie/ujemne) - nie jest monotoniczny. Zatem \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek monotoniczności\nCiąg geometryczny z \\(a_{1}<0\\) jest malejący \\(\\iff q>1\\).\nWarunek \\(q^{2}=2\\) i \\(q>1\\) daje \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(-2\\approx -2{,}00\\), \\(-2\\sqrt{2}\\approx -2{,}83\\), \\(-4\\); rzeczywiście \\(-2>-2{,}83>-4\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(q=-2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).\n- B \\(q=2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).\n- C \\(q=-\\sqrt{2}\\): \\(q^{2}=2\\) poprawne, ale ciąg naprzemienny (nie malejący).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>W malejącym ciągu geometrycznym (<br>)<br>na<br>mamy:<br>1<br>2<br>a = - i<br>3<br>4<br>a = -. Iloraz tego ciągu jest<br>równy<br>A.<br>2<br>B. 2<br>C.<br>2<br>D.<br>2<br>Zadanie 15. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W malejącym ciągu geometrycznym (a_n) mamy: a_1=-2 i a_3=-4. Iloraz tego ciągu jest równy A. -2 B. 2 C. -pierwiastek z 2 D. pierwiastek z 2.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(q = \\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na wyraz ogólny</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 3\\):<br>\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane: \\(a_1 = -2\\), \\(a_3 = -4\\):<br>\\[-4 = -2 \\cdot q^2\\]</p>\n<p>\\[q^2 = \\frac{-4}{-2} = 2\\]</p>\n<p>\\[q = \\sqrt{2} \\quad \\text{lub} \\quad q = -\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Mamy dwa kandydaci - rozstrzygamy warunkiem <strong>malejącego</strong> ciągu (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego, tzn. \\(a_{n+1} &lt; a_n\\)).</p>\n<p><strong>Sprawdzamy \\(q = \\sqrt{2}\\):</strong><br>\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot \\sqrt{2} \\approx -2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]<br>\\[-2 &gt; -2\\sqrt{2} &gt; -4 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>Ciąg jest rzeczywiście malejący.</p>\n<p><strong>Sprawdzamy \\(q = -\\sqrt{2}\\):</strong><br>\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot (-\\sqrt{2}) = 2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]</p>\n<p>Wyrazy naprzemiennie ujemne i dodatnie - ciąg <strong>nie jest</strong> monotonicznie malejący. ✗</p>\n<p><strong>Zatem \\(q = \\sqrt{2}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez iloraz kolejnych wyrazów</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym iloraz to:<br>\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]</p>\n<p>Zauważamy też, że:<br>\\[\\frac{a_3}{a_1} = \\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1} = q^2\\]</p>\n<p>\\[q^2 = \\frac{a_3}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]</p>\n<p>\\[|q| = \\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Aby wyznaczyć znak \\(q\\), korzystamy z warunku malejącego ciągu.</p>\n<p>Przy \\(a_1 = -2 &lt; 0\\) i \\(q &gt; 1\\): kolejne wyrazy mnożymy przez liczbę większą od 1, ale ujemne wyrazy mnożone przez \\(q &gt; 1\\) stają się <strong>coraz bardziej ujemne</strong> (coraz mniejsze na osi liczbowej) - ciąg maleje. ✓</p>\n<p>Przy \\(q = -\\sqrt{2} &lt; -1\\): znaki wyrazów się alternują, więc ciąg nie jest monotoniczny. ✗</p>\n<p><strong>Wniosek: \\(q = \\sqrt{2}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyty w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(q^2\\) z warunku \\(a_3 = -4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Błąd |<br>| A | \\(-\\sqrt{2}\\) | Poprawnie wyliczono \\(\\|q\\| = \\sqrt{2}\\), ale przyjęto ujemny znak, nie sprawdzając warunku malejącości - przy \\(q &lt; 0\\) ciąg alternuje i nie jest malejący |<br>| B | \\(2\\) | Błąd rachunkowy: \\(q^2 = 2\\) pomylono z \\(q = 2\\); zapominano o pierwiastkowaniu |<br>| C | \\(-2\\) | Podobny błąd jak w B, dodatkowo wzięto znak ujemny bez uzasadnienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z \\(q^2 = 2\\) wynikają <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(\\sqrt{2}\\) i \\(-\\sqrt{2}\\). Pominięcie warunku malejącości i wybranie dowolnego z nich to klasyczny błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg z ujemnym pierwszym wyrazem i \\(q &gt; 1\\) może być malejący! Intuicja podpowiada &quot;malejący = \\(0 &lt; q &lt; 1\\)&quot;, ale to dotyczy ciągów z wyrazami dodatnimi. Tu \\(a_1 &lt; 0\\), więc zasada jest odwrotna.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy \\(q &lt; 0\\) wyrazy ciągu geometrycznego mają naprzemiennie różne znaki - taki ciąg nigdy nie jest monotoniczny (ani rosnący, ani malejący).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong> - \\(q=\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(a_{3}=a_{1}q^{2}\\)</h5>\n<p>\\[-4=-2\\cdot q^{2} \\implies q^{2}=2 \\implies q=\\pm\\sqrt{2}.\\]<br>Ciąg ma być malejący - wszystkie wyrazy ujemne (\\(a_{1}&lt;0\\)), więc potrzeba rosnącej wartości bezwzględnej. Dla \\(q=\\sqrt{2}\\): ciąg \\(-2,\\ -2\\sqrt{2},\\ -4,\\ -4\\sqrt{2},\\ldots\\) - wartości ujemne i maleją (\\(-2&gt;-2\\sqrt{2}&gt;-4\\)) ✓.<br>Dla \\(q=-\\sqrt{2}\\) ciąg zmienia znak (naprzemiennie dodatnie/ujemne) - nie jest monotoniczny. Zatem \\(q=\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Warunek monotoniczności</h5>\n<p>Ciąg geometryczny z \\(a_{1}&lt;0\\) jest malejący \\(\\iff q&gt;1\\).<br>Warunek \\(q^{2}=2\\) i \\(q&gt;1\\) daje \\(q=\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(-2\\approx -2{,}00\\), \\(-2\\sqrt{2}\\approx -2{,}83\\), \\(-4\\); rzeczywiście \\(-2&gt;-2{,}83&gt;-4\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(q=-2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).</li><li>B \\(q=2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).</li><li>C \\(q=-\\sqrt{2}\\): \\(q^{2}=2\\) poprawne, ale ciąg naprzemienny (nie malejący).</li></ul>"}]}