{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n3\ncos\n4\nα =\n. Wtedy sinα jest równy\nA. 1\n4\nB.\n3\n4\nC.\n7\n4\nD.\n7\n16\nZadanie 16. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kąt alfa jest ostry i cos alfa = 3/4. Wtedy sin alfa jest równy A. 1/4 B. pierwiastek z 3 / 4 C. pierwiastek z 7 / 4 D. 7/16","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\n**Korzystamy z podstawowego wzoru** łączącego sinus i cosinus:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{4}\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{16} = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{9}{16} = \\frac{16}{16} - \\frac{9}{16} = \\frac{7}{16}\\]\n\nWyciągamy pierwiastek:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\pm\\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]\n\nPonieważ kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry** (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), sinus jest dodatni:\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{7}}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Z trójkąta prostokątnego\n\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem \\(\\alpha\\) przy wierzchołku.\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\), to:\n- **przyległa** = \\(3\\)\n- **przeciwprostokątna** = \\(4\\)\n\nSzukamy **przyprostokątnej naprzeciwległej** \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + 3^2 = 4^2\\]\n\n\\[a^2 = 16 - 9 = 7\\]\n\n\\[a = \\sqrt{7}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]\n\n**Ten sam wynik** - odpowiedź C potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, by wyrazić \\(\\sin\\alpha\\) przez znane \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do geometrycznej interpretacji.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nPosłużyło do wyznaczenia brakującego boku trójkąta w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{4}\\) - **myli sinus z cosinusem** lub zapomina, że trzeba użyć jedynki trygonometrycznej |\n| B | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = 1 - \\frac{3}{4} = \\frac{1}{4}\\) - **odejmuje cosinus od 1** zamiast korzystać z \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) |\n| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{1 - \\frac{3}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{2}\\) - **nie podnosi cosinusa do kwadratu** w jedynce trygonometrycznej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W jedynce trygonometrycznej stoi \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! Najpopularniejszy błąd to liczenie \\(\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{3}{4}\\) zamiast \\(1 - \\frac{9}{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyciągnięciu pierwiastka z \\(\\sin^2\\alpha\\) zawsze pojawia się \\(\\pm\\). Decyduje **zakres kąta** - dla kąta ostrego sinus jest zawsze dodatni, więc odrzucamy rozwiązanie ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{7}}{8}\\) - pierwiastek obejmuje **cały ułamek**, zarówno licznik jak i mianownik.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1,\\]\n\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{16}=\\dfrac{7}{16}.\\]\nKąt ostry, więc \\(\\sin\\alpha>0\\):\n\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{7}{16}}=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nW trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyprostokątna sąsiednia}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{3}{4}\\). Druga przyprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \\(\\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\\sqrt{7}\\). Stąd \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2}=\\dfrac{9}{16}+\\dfrac{7}{16}=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(\\dfrac{1}{4}\\): pomyłka \\(\\sin\\alpha=1-\\cos\\alpha\\) (złe pojęcie).\n- B \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\): błąd pod pierwiastkiem (\\(16-13\\) zamiast \\(16-9\\)).\n- D \\(\\dfrac{7}{16}\\): to \\(\\sin^{2}\\alpha\\), zapomniano pierwiastka.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 16. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
3
cos
4
α =
. Wtedy sinα jest równy
A. 1
4
B.
3
4
C.
7
4
D.
7
16
Zadanie 16. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kąt alfa jest ostry i cos alfa = 3/4. Wtedy sin alfa jest równy A. 1/4 B. pierwiastek z 3 / 4 C. pierwiastek z 7 / 4 D. 7/16

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\)

\n

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna

\n

Korzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus:

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Podstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\):

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{4}\\right)^2 = 1\\]

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{16} = 1\\]

\n

\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{9}{16} = \\frac{16}{16} - \\frac{9}{16} = \\frac{7}{16}\\]

\n

Wyciągamy pierwiastek:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\pm\\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]

\n

Ponieważ kąt \\(\\alpha\\) jest ostry (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), sinus jest dodatni:

\n

\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{7}}{4}}\\]

\n

Sposób 2 - Z trójkąta prostokątnego

\n

Rysujemy trójkąt prostokątny z kątem \\(\\alpha\\) przy wierzchołku.

\n

Skoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\), to:

\n\n

Szukamy przyprostokątnej naprzeciwległej \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[a^2 + 3^2 = 4^2\\]

\n

\\[a^2 = 16 - 9 = 7\\]

\n

\\[a = \\sqrt{7}\\]

\n

Stąd:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]

\n

Ten sam wynik - odpowiedź C potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1, by wyrazić \\(\\sin\\alpha\\) przez znane \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do geometrycznej interpretacji.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Posłużyło do wyznaczenia brakującego boku trójkąta w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{4}\\) - myli sinus z cosinusem lub zapomina, że trzeba użyć jedynki trygonometrycznej |
| B | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = 1 - \\frac{3}{4} = \\frac{1}{4}\\) - odejmuje cosinus od 1 zamiast korzystać z \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) |
| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{1 - \\frac{3}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{2}\\) - nie podnosi cosinusa do kwadratu w jedynce trygonometrycznej |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W jedynce trygonometrycznej stoi \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! Najpopularniejszy błąd to liczenie \\(\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{3}{4}\\) zamiast \\(1 - \\frac{9}{16}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po wyciągnięciu pierwiastka z \\(\\sin^2\\alpha\\) zawsze pojawia się \\(\\pm\\). Decyduje zakres kąta - dla kąta ostrego sinus jest zawsze dodatni, więc odrzucamy rozwiązanie ujemne.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{7}}{8}\\) - pierwiastek obejmuje cały ułamek, zarówno licznik jak i mianownik.
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\n

\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1,\\]
\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{16}=\\dfrac{7}{16}.\\]
Kąt ostry, więc \\(\\sin\\alpha>0\\):
\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{7}{16}}=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

W trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyprostokątna sąsiednia}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{3}{4}\\). Druga przyprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \\(\\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\\sqrt{7}\\). Stąd \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2}=\\dfrac{9}{16}+\\dfrac{7}{16}=1\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}