{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nOkrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest\nrówna\nA. 18\nB. 20\nC. 22\nD. 24\nZadanie 17. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 22 D. 4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (18)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym\n\nZ karty wzorów (Dział 10) wiemy, że dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\\[R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nMamy dany \\(R = 12\\), szukamy \\(h\\).\n\nPodstawiamy i przekształcamy:\n\\[12 = \\frac{2h}{3}\\]\n\\[h = \\frac{3 \\cdot 12}{2} = \\frac{36}{2}\\]\n\\[\\boxed{h = 18}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku trójkąta\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy bok trójkąta równobocznego \\(a\\) z promienia okręgu opisanego.\n\nDla trójkąta równobocznego:\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nStąd:\n\\[12 = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\implies a\\sqrt{3} = 36 \\implies a = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = \\frac{36\\sqrt{3}}{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego ze wzoru:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{12 \\cdot 3}{2} = \\frac{36}{2} = 18\\]\n\nOba sposoby dają \\(h = 18\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21) - trójkąt równoboczny:**\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nKluczowy wzór: \\(R = \\frac{2h}{3}\\), czyli promień okręgu **opisanego** to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego. Wzór na \\(r\\) (okrąg **wpisany**) to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości - **nie mylić**!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Użycie wzoru na promień okręgu **wpisanego**: \\(r = \\frac{h}{3}\\), stąd błędnie \\(h = 3 \\cdot 12 = 36\\) |\n| C | Pomylenie \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) i nieuproszczenie poprawnie: zostaje \\(12\\sqrt{3} \\approx 20{,}8\\) |\n| D | Wzięcie \\(h = R\\) lub \\(h = \\frac{2R}{3} = 8\\) - odwrotne podstawienie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoboczny ma DWA wyróżnione okręgi - **opisany** (\\(R = \\frac{2h}{3}\\)) i **wpisany** (\\(r = \\frac{h}{3}\\)). Zawsze sprawdź, który jest dany w zadaniu. Promień opisanego jest **dwa razy większy** od wpisanego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to zarazem środkowa i dwusieczna - środek okręgu opisanego leży na tej wysokości w proporcji \\(2:1\\) od wierzchołka (stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzoru \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z wysokością \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - oba mają \\(\\sqrt{3}\\), ale różne mianowniki (3 vs 2).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wysokość \\(h=18\\).\n\n### Sposób 1 - Środek okręgu to punkt przecięcia środkowych\nW trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego = środek ciężkości. Punkt ten dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka, więc:\n\\[R=\\dfrac{2}{3}h \\implies h=\\dfrac{3}{2}R=\\dfrac{3}{2}\\cdot 12=18.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez długość boku\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[R=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}, \\qquad h=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\nStąd \\(\\dfrac{h}{R}=\\dfrac{a\\sqrt{3}/2}{a\\sqrt{3}/3}=\\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(h=\\dfrac{3}{2}R=18\\).\nKonkretnie: \\(12=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\implies a=12\\sqrt{3}\\); \\(h=\\dfrac{12\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{36}{2}=18\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 18=12=R\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(20\\), C \\(22\\), D \\(24\\): błędne stosunki \\(h:R\\) (np. D bierze \\(h=2R\\), co jest średnicą, nie wysokością).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest
równa
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
Zadanie 17. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 22 D. 4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (18)

\n

Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

\n

Z karty wzorów (Dział 10) wiemy, że dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) i wysokości \\(h\\):
\\[R = \\frac{2h}{3}\\]

\n

Mamy dany \\(R = 12\\), szukamy \\(h\\).

\n

Podstawiamy i przekształcamy:
\\[12 = \\frac{2h}{3}\\]
\\[h = \\frac{3 \\cdot 12}{2} = \\frac{36}{2}\\]
\\[\\boxed{h = 18}\\]

\n

Sposób 2 - Przez długość boku trójkąta

\n

Krok 1: Wyznaczamy bok trójkąta równobocznego \\(a\\) z promienia okręgu opisanego.

\n

Dla trójkąta równobocznego:
\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Stąd:
\\[12 = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\implies a\\sqrt{3} = 36 \\implies a = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = \\frac{36\\sqrt{3}}{3} = 12\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego ze wzoru:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{12 \\cdot 3}{2} = \\frac{36}{2} = 18\\]

\n

Oba sposoby dają \\(h = 18\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 21) - trójkąt równoboczny:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]

\n

Kluczowy wzór: \\(R = \\frac{2h}{3}\\), czyli promień okręgu opisanego to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego. Wzór na \\(r\\) (okrąg wpisany) to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości - nie mylić!

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Użycie wzoru na promień okręgu wpisanego: \\(r = \\frac{h}{3}\\), stąd błędnie \\(h = 3 \\cdot 12 = 36\\) |
| C | Pomylenie \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) i nieuproszczenie poprawnie: zostaje \\(12\\sqrt{3} \\approx 20{,}8\\) |
| D | Wzięcie \\(h = R\\) lub \\(h = \\frac{2R}{3} = 8\\) - odwrotne podstawienie |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt równoboczny ma DWA wyróżnione okręgi - opisany (\\(R = \\frac{2h}{3}\\)) i wpisany (\\(r = \\frac{h}{3}\\)). Zawsze sprawdź, który jest dany w zadaniu. Promień opisanego jest dwa razy większy od wpisanego.
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość trójkąta równobocznego to zarazem środkowa i dwusieczna - środek okręgu opisanego leży na tej wysokości w proporcji \\(2:1\\) od wierzchołka (stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić wzoru \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z wysokością \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - oba mają \\(\\sqrt{3}\\), ale różne mianowniki (3 vs 2).
\n

Poprawna odpowiedź: A - wysokość \\(h=18\\).

\n
Sposób 1 - Środek okręgu to punkt przecięcia środkowych
\n

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego = środek ciężkości. Punkt ten dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka, więc:
\\[R=\\dfrac{2}{3}h \\implies h=\\dfrac{3}{2}R=\\dfrac{3}{2}\\cdot 12=18.\\]

\n
Sposób 2 - Przez długość boku
\n

Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[R=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}, \\qquad h=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]
Stąd \\(\\dfrac{h}{R}=\\dfrac{a\\sqrt{3}/2}{a\\sqrt{3}/3}=\\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(h=\\dfrac{3}{2}R=18\\).
Konkretnie: \\(12=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\implies a=12\\sqrt{3}\\); \\(h=\\dfrac{12\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{36}{2}=18\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 18=12=R\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}