{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz\ndługość boku AD.\nA.\n157\nB.\n85\nC. 5\nD.\n83\nZadanie 18. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD. A. pierwiastek z 157 B. pierwiastek z 85 C. 5 D. pierwiastek z 83","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sqrt{85}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie\n\n**Dane z treści:**\n\\[|AC| = 11, \\quad |AB| = 11 - 5 = 6\\]\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Kąt \\(ABC\\) jest prosty, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \\(AC\\).\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|AB|^2 + |AD|^2 = |AC|^2\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[6^2 + |AD|^2 = 11^2\\]\n\\[36 + |AD|^2 = 121\\]\n\\[|AD|^2 = 121 - 36 = 85\\]\n\n**Skąd:**\n\\[|AD| = \\sqrt{85}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez drugą przekątną\n\nW prostokącie obie przekątne są równe: \\(|AC| = |BD| = 11\\).\n\nSprawdzamy, czy \\(|AB| = 6\\), \\(|AD| = \\sqrt{85}\\) dają poprawny prostokąt:\n\\[|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 = 85 + 36 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\) jest spełniony. \\checkmark\n\nWynik jest zgodny: \\(|AD| = \\sqrt{85}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go w trójkącie \\(ABC\\), gdzie kąt przy \\(B\\) jest prosty (kąt prostokąta), a przeciwprostokątna to przekątna \\(AC = 11\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(|AD| = 11 - 6 = 5\\) - odejmuje boki zamiast używać Pitagorasa |\n| C | Uczeń przyjmuje \\(|AB| = 5\\) (zamiast \\(6\\)) i liczy \\(\\sqrt{121-25} = \\sqrt{96}\\) |\n| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{11^2 + 6^2} = \\sqrt{157}\\) - dodaje zamiast odejmować kwadraty |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Bok jest o 5 krótszy od przekątnej\" oznacza \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\), **nie** \\(|AB| = 5\\). To klasyczna pułapka językowa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostokąta to **przeciwprostokątna** trójkąta prostokątnego - jej kwadrat jest **sumą** kwadratów boków, więc szukany bok to \\(\\sqrt{|AC|^2 - |AB|^2}\\), nie \\(\\sqrt{|AC|^2 + |AB|^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{85}\\) nie upraszcza się (85 = 5 · 17, brak kwadratów), więc wynik zostawiamy w tej postaci.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(|AD|=\\sqrt{85}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nW prostokącie \\(ABCD\\): \\(|AC|^{2}=|AB|^{2}+|AD|^{2}\\) (przekątna, boki).\nDane: \\(|AC|=11\\), \\(|AB|=11-5=6\\). Wówczas:\n\\[|AD|^{2}=11^{2}-6^{2}=121-36=85,\\]\n\\[|AD|=\\sqrt{85}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(6^{2}+(\\sqrt{85})^{2}=36+85=121=11^{2}\\) ✓.\nNumerycznie: \\(\\sqrt{85}\\approx 9{,}22\\) - sensowna wartość (mniejsza od przekątnej \\(11\\)).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(\\sqrt{157}\\): odwrotny rachunek (\\(121+36=157\\)) - dodanie zamiast odjęcia.\n- C \\(5\\): pomyłka \\(|AD|=|AC|-|AB|\\) (błąd pojęciowy).\n- D \\(\\sqrt{83}\\): niepoprawny rachunek \\(121-38\\) (literówka).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz<br>długość boku AD.<br>A.<br>157<br>B.<br>85<br>C. 5<br>D.<br>83<br>Zadanie 18. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD. A. pierwiastek z 157 B. pierwiastek z 85 C. 5 D. pierwiastek z 83</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sqrt{85}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie</h4>\n<p><strong>Dane z treści:</strong><br>\\[|AC| = 11, \\quad |AB| = 11 - 5 = 6\\]</p>\n<p>W prostokącie \\(ABCD\\) przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Kąt \\(ABC\\) jest prosty, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \\(AC\\).</p>\n<p>Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[|AB|^2 + |AD|^2 = |AC|^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[6^2 + |AD|^2 = 11^2\\]<br>\\[36 + |AD|^2 = 121\\]<br>\\[|AD|^2 = 121 - 36 = 85\\]</p>\n<p><strong>Skąd:</strong><br>\\[|AD| = \\sqrt{85}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez drugą przekątną</h4>\n<p>W prostokącie obie przekątne są równe: \\(|AC| = |BD| = 11\\).</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(|AB| = 6\\), \\(|AD| = \\sqrt{85}\\) dają poprawny prostokąt:<br>\\[|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 = 85 + 36 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Warunek \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\) jest spełniony. \\checkmark</p>\n<p>Wynik jest zgodny: \\(|AD| = \\sqrt{85}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt } \\gamma = 90°\\text{)}\\]<br>Użyliśmy go w trójkącie \\(ABC\\), gdzie kąt przy \\(B\\) jest prosty (kąt prostokąta), a przeciwprostokątna to przekątna \\(AC = 11\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń liczy \\(|AD| = 11 - 6 = 5\\) - odejmuje boki zamiast używać Pitagorasa |<br>| C | Uczeń przyjmuje \\(|AB| = 5\\) (zamiast \\(6\\)) i liczy \\(\\sqrt{121-25} = \\sqrt{96}\\) |<br>| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{11^2 + 6^2} = \\sqrt{157}\\) - dodaje zamiast odejmować kwadraty |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Bok jest o 5 krótszy od przekątnej&quot; oznacza \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\), <strong>nie</strong> \\(|AB| = 5\\). To klasyczna pułapka językowa!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna prostokąta to <strong>przeciwprostokątna</strong> trójkąta prostokątnego - jej kwadrat jest <strong>sumą</strong> kwadratów boków, więc szukany bok to \\(\\sqrt{|AC|^2 - |AB|^2}\\), nie \\(\\sqrt{|AC|^2 + |AB|^2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{85}\\) nie upraszcza się (85 = 5 · 17, brak kwadratów), więc wynik zostawiamy w tej postaci.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - \\(|AD|=\\sqrt{85}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa</h5>\n<p>W prostokącie \\(ABCD\\): \\(|AC|^{2}=|AB|^{2}+|AD|^{2}\\) (przekątna, boki).<br>Dane: \\(|AC|=11\\), \\(|AB|=11-5=6\\). Wówczas:<br>\\[|AD|^{2}=11^{2}-6^{2}=121-36=85,\\]<br>\\[|AD|=\\sqrt{85}.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(6^{2}+(\\sqrt{85})^{2}=36+85=121=11^{2}\\) ✓.<br>Numerycznie: \\(\\sqrt{85}\\approx 9{,}22\\) - sensowna wartość (mniejsza od przekątnej \\(11\\)).</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(\\sqrt{157}\\): odwrotny rachunek (\\(121+36=157\\)) - dodanie zamiast odjęcia.</li><li>C \\(5\\): pomyłka \\(|AD|=|AC|-|AB|\\) (błąd pojęciowy).</li><li>D \\(\\sqrt{83}\\): niepoprawny rachunek \\(121-38\\) (literówka).</li></ul>"}]}