{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz\nmiarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nI\nH\nJ\nS\nA. 54°\nB. 72°\nC. 60°\nD. 45°\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZadanie 19. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku. A. 54 stopnie B. 72 stopnie C. 60 stopnie D. 45 stopnie","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - 54°\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa łuku\n\n**Krok 1: Wyznacz miarę jednego łuku.**\n\nOkrąg podzielony na 10 równych łuków, więc każdy łuk ma miarę:\n\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2: Ustal pozycje punktów na okręgu.**\n\nNumerujemy punkty kolejno wokół okręgu (zgodnie z rysunkiem):\n\\[A=0,\\; B=1,\\; C=2,\\; D=3,\\; E=4,\\; F=5,\\; G=6,\\; H=7,\\; I=8,\\; J=9\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz łuk \\(BE\\) nie zawierający \\(G\\).**\n\nKąt wpisany \\(BGE\\) ma wierzchołek w \\(G\\) - zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym, jest on oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BE}\\) **po stronie przeciwnej do \\(G\\)**.\n\nIdąc od \\(B\\) (poz. 1) do \\(E\\) (poz. 4) **z pominięciem \\(G\\)**:\n\\[B \\to C \\to D \\to E \\quad \\text{(3 łuki)}\\]\n\\[\\overset{\\frown}{BE} = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt wpisany równa się **połowie** łuku, na którym jest oparty:\n\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BE} = \\frac{1}{2} \\cdot 108° = \\boxed{54°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy\n\n**Kąt środkowy \\(BSE\\)** (gdzie \\(S\\) to środek okręgu) oparty na tym samym łuku \\(BE\\):\n\\[\\angle BSE = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\nZ twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BSE = \\frac{108°}{2} = \\boxed{54°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **54°**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: kąt środkowy \\(BSE = 108°\\), więc kąt wpisany \\(BGE = 54°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(72°\\) | Policzono 2 łuki zamiast 3 między \\(B\\) i \\(E\\) (pominięto jeden odstęp przy liczeniu), a wynik \\(2 \\times 36° = 72°\\) potraktowano jako gotowy kąt |\n| C - \\(60°\\) | Pomylono liczbę punktów - np. zakładając 12 równych łuków po \\(30°\\) zamiast 10 po \\(36°\\); wówczas \\(4 \\times 30° / 2 = 60°\\) |\n| D - \\(45°\\) | Pomylono wzór - podzielono łuk przez 4 zamiast przez 2: \\(\\frac{3 \\times 36°}{4} \\approx 27°\\), lub przyjęto błędnie kąt \\(90°\\) jako środkowy i podzielono przez 2 |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany jest oparty na łuku **po drugiej stronie** od wierzchołka - tutaj łuk \\(BE\\) **nie zawierający \\(G\\)**. Błędem jest wzięcie łuku po tej samej stronie co \\(G\\) (7 łuków = 252°, co dałoby 126°).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to pominięcie dzielenia przez 2 - kąt wpisany to **połowa** łuku, nie cały łuk.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu łuków między \\(B\\) (poz. 1) a \\(E\\) (poz. 4) mamy **3 odstępy** (\\(B{\\to}C\\), \\(C{\\to}D\\), \\(D{\\to}E\\)), a nie 4 - łatwo się pomylić, licząc punkty zamiast przerwy między nimi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(|\\sphericalangle BGE|=54^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany \\(BGE\\) jest oparty na łuku \\(BE\\) (łuku nie zawierającym wierzchołka \\(G\\)). Dziesięć równych łuków daje po \\(\\dfrac{360^{\\circ}}{10}=36^{\\circ}\\).\nPorządek punktów na okręgu: \\(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\\). Od \\(B\\) do \\(E\\) (przez \\(C,D\\)) są trzy łuki: łuk \\(BE\\) ma miarę \\(3\\cdot 36^{\\circ}=108^{\\circ}\\).\nKąt wpisany równa się połowie miary łuku, na którym jest oparty:\n\\[|\\sphericalangle BGE|=\\dfrac{1}{2}\\cdot 108^{\\circ}=54^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kąt środkowy\nKąt środkowy \\(\\sphericalangle BSE\\) ma miarę równą łukowi \\(BE=108^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie mniejszy, czyli \\(54^{\\circ}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(54^{\\circ}\\) jest wielokrotnością \\(18^{\\circ}=\\tfrac{36^{\\circ}}{2}\\), co jest naturalne dla podziału na 10 części.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(72^{\\circ}\\): zlicza 2 łuki × 36° jako kąt środkowy/wpisany (błąd liczby łuków lub brak /2).\n- C \\(60^{\\circ}\\): niezwiązane z podziałem na 10.\n- D \\(45^{\\circ}\\): odpowiada podziałowi na 8, nie na 10.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz
miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.
A
B
C
D
E
F
G
I
H
J
S
A. 54°
B. 72°
C. 60°
D. 45°

\n

Poziom podstawowy
7
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
8
Zadanie 19. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku. A. 54 stopnie B. 72 stopnie C. 60 stopnie D. 45 stopnie

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - 54°

\n

Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa łuku

\n

Krok 1: Wyznacz miarę jednego łuku.

\n

Okrąg podzielony na 10 równych łuków, więc każdy łuk ma miarę:
\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]

\n

Krok 2: Ustal pozycje punktów na okręgu.

\n

Numerujemy punkty kolejno wokół okręgu (zgodnie z rysunkiem):
\\[A=0,\\; B=1,\\; C=2,\\; D=3,\\; E=4,\\; F=5,\\; G=6,\\; H=7,\\; I=8,\\; J=9\\]

\n

Krok 3: Wyznacz łuk \\(BE\\) nie zawierający \\(G\\).

\n

Kąt wpisany \\(BGE\\) ma wierzchołek w \\(G\\) - zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym, jest on oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BE}\\) po stronie przeciwnej do \\(G\\).

\n

Idąc od \\(B\\) (poz. 1) do \\(E\\) (poz. 4) z pominięciem \\(G\\):
\\[B \\to C \\to D \\to E \\quad \\text{(3 łuki)}\\]
\\[\\overset{\\frown}{BE} = 3 \\times 36° = 108°\\]

\n

Krok 4: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.

\n

Kąt wpisany równa się połowie łuku, na którym jest oparty:
\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BE} = \\frac{1}{2} \\cdot 108° = \\boxed{54°}\\]

\n

Sposób 2 - Przez kąt środkowy

\n

Kąt środkowy \\(BSE\\) (gdzie \\(S\\) to środek okręgu) oparty na tym samym łuku \\(BE\\):
\\[\\angle BSE = 3 \\times 36° = 108°\\]

\n

Z twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BSE = \\frac{108°}{2} = \\boxed{54°}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - 54°.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]

\n

Użyliśmy tego w obu sposobach: kąt środkowy \\(BSE = 108°\\), więc kąt wpisany \\(BGE = 54°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B - \\(72°\\) | Policzono 2 łuki zamiast 3 między \\(B\\) i \\(E\\) (pominięto jeden odstęp przy liczeniu), a wynik \\(2 \\times 36° = 72°\\) potraktowano jako gotowy kąt |
| C - \\(60°\\) | Pomylono liczbę punktów - np. zakładając 12 równych łuków po \\(30°\\) zamiast 10 po \\(36°\\); wówczas \\(4 \\times 30° / 2 = 60°\\) |
| D - \\(45°\\) | Pomylono wzór - podzielono łuk przez 4 zamiast przez 2: \\(\\frac{3 \\times 36°}{4} \\approx 27°\\), lub przyjęto błędnie kąt \\(90°\\) jako środkowy i podzielono przez 2 |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany jest oparty na łuku po drugiej stronie od wierzchołka - tutaj łuk \\(BE\\) nie zawierający \\(G\\). Błędem jest wzięcie łuku po tej samej stronie co \\(G\\) (7 łuków = 252°, co dałoby 126°).
\n
⚠️ Uwaga: Bardzo częsty błąd to pominięcie dzielenia przez 2 - kąt wpisany to połowa łuku, nie cały łuk.
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu łuków między \\(B\\) (poz. 1) a \\(E\\) (poz. 4) mamy 3 odstępy (\\(B{\\to}C\\), \\(C{\\to}D\\), \\(D{\\to}E\\)), a nie 4 - łatwo się pomylić, licząc punkty zamiast przerwy między nimi.
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(|\\sphericalangle BGE|=54^{\\circ}\\).

\n
Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym
\n

Kąt wpisany \\(BGE\\) jest oparty na łuku \\(BE\\) (łuku nie zawierającym wierzchołka \\(G\\)). Dziesięć równych łuków daje po \\(\\dfrac{360^{\\circ}}{10}=36^{\\circ}\\).
Porządek punktów na okręgu: \\(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\\). Od \\(B\\) do \\(E\\) (przez \\(C,D\\)) są trzy łuki: łuk \\(BE\\) ma miarę \\(3\\cdot 36^{\\circ}=108^{\\circ}\\).
Kąt wpisany równa się połowie miary łuku, na którym jest oparty:
\\[|\\sphericalangle BGE|=\\dfrac{1}{2}\\cdot 108^{\\circ}=54^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Kąt środkowy
\n

Kąt środkowy \\(\\sphericalangle BSE\\) ma miarę równą łukowi \\(BE=108^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie mniejszy, czyli \\(54^{\\circ}\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(54^{\\circ}\\) jest wielokrotnością \\(18^{\\circ}=\\tfrac{36^{\\circ}}{2}\\), co jest naturalne dla podziału na 10 części.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}