{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n1,3\nA = -\ni\n(\n)\n5,5\nC = -\nsą przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego\nkwadratu jest równe\nA. 10\nB. 25\nC. 50\nD. 100\nZadanie 20. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A=(-1,3) i C=(-5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 10 B. 25 C. 50 D. 100","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (pole = 10)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole kwadratu przez przekątną\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki kwadratu, czyli \\(AC\\) jest **przekątną** kwadratu.\n\n**Krok 1: Długość przekątnej**\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(-5-(-1))^2 + (5-3)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]\n\n**Krok 2: Pole kwadratu przez przekątną**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\).\n\nPole kwadratu:\n\n\\[P = a^2 = \\frac{d^2}{2} = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{20}{2} = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wierzchołków i boku kwadratu\n\n**Znajdziemy brakujące wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\),** żeby potwierdzić wynik.\n\n**Krok 1: Środek przekątnej** (= środek kwadratu)\n\n\\[M = \\left(\\frac{-1+(-5)}{2},\\ \\frac{3+5}{2}\\right) = (-3,\\ 4)\\]\n\n**Krok 2: Wektor od środka do \\(A\\)**\n\n\\[\\vec{MA} = (-1-(-3),\\ 3-4) = (2,\\ -1)\\]\n\n**Krok 3:** Wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\) leżą w odległości \\(|MA|\\) od \\(M\\), ale w kierunku **prostopadłym** do \\(\\vec{MA}\\). Obracamy wektor \\((2,-1)\\) o \\(90°\\):\n\n\\[\\vec{MB} = (1,\\ 2) \\quad \\Rightarrow \\quad B = (-3+1,\\ 4+2) = (-2,\\ 6)\\]\n\n**Krok 4: Długość boku \\(AB\\)**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(-2-(-1))^2 + (6-3)^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 5: Pole**\n\n\\[P = |AB|^2 = (\\sqrt{10})^2 = \\mathbf{10}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - długość odcinka:\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia długości przekątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole kwadratu przez przekątną \\(d\\):\n\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]\nJest to szczególny przypadek wzoru na deltoid/romb - kwadrat ma dwie równe, prostopadłe przekątne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Policzono \\(|AC|\\) poprawnie (\\(\\sqrt{20}\\)), ale wzięto to jako **bok** - pole \\(= 20\\) zamiast \\(= 10\\) |\n| C | Policzono \\(|AC|^2 = 20\\), a następnie wzięto pole \\(= \\frac{20}{4} = 5\\) (pomylono wzór: \\(\\frac{d^2}{2}\\) zamiast \\(\\frac{d^2}{4}\\)) |\n| D | Obliczono \\(\\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{20} \\cdot \\sqrt{20} = 10\\) - to akurat poprawne, ale niektóre błędne wersje pomijają dzielenie i podają \\(20\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(A\\) i \\(C\\) to wierzchołki **przeciwległe** - to przekątna, NIE bok. Błąd: potraktowanie \\(|AC|\\) jako boku daje pole \\(= 20\\), dwa razy za dużo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu przez przekątną to \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), nie \\(d^2\\) ani \\(\\frac{d^2}{4}\\). Warto zapamiętać jako skrót od wzoru na deltoid: \\(P = \\frac{1}{2}d_1 \\cdot d_2\\), gdzie \\(d_1 = d_2 = d\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|AC|\\) łatwo o błąd znaku: \\(-5 - (-1) = -4\\), nie \\(-6\\). Zawsze uważaj przy odejmowaniu liczb ujemnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - pole kwadratu \\(=10\\).\n\n### Sposób 1 - Przekątna i pole\nDługość przekątnej \\(|AC|\\):\n\\[|AC|=\\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\): pole \\(=\\dfrac{d^{2}}{2}\\).\n\\[P=\\dfrac{(\\sqrt{20})^{2}}{2}=\\dfrac{20}{2}=10.\\]\n\n### Sposób 2 - Z boku kwadratu\n\\(d=a\\sqrt{2}\\implies a=\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}=\\dfrac{\\sqrt{20}}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{10}\\).\n\\(P=a^{2}=(\\sqrt{10})^{2}=10\\).\n\n### Weryfikacja\nBok \\(a=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); przekątna \\(a\\sqrt{2}\\approx 4{,}47=\\sqrt{20}\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(25\\): pole wyliczone z boku \\(a=5\\) - błąd (\\(a\\ne|AC|/2=\\sqrt{5}\\ne 5\\)).\n- C \\(50\\): \\(|AC|^{2}\\cdot\\tfrac{5}{2}\\) - błędny wzór; albo pomyłka \\(d^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}=50\\) przy \\(|AC|^{2}=100\\) (błąd rachunku).\n- D \\(100\\): wzięto \\(|AC|^{2}\\) jako pole i jeszcze podwojono - błąd.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Punkty<br>(<br>)<br>1,3<br>A = -<br>i<br>(<br>)<br>5,5<br>C = -<br>są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego<br>kwadratu jest równe<br>A. 10<br>B. 25<br>C. 50<br>D. 100<br>Zadanie 20. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A=(-1,3) i C=(-5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 10 B. 25 C. 50 D. 100</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (pole = 10)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole kwadratu przez przekątną</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> \\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki kwadratu, czyli \\(AC\\) jest <strong>przekątną</strong> kwadratu.</p>\n<p><strong>Krok 1: Długość przekątnej</strong></p>\n<p>\\[|AC| = \\sqrt{(-5-(-1))^2 + (5-3)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Pole kwadratu przez przekątną</strong></p>\n<p>W kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\).</p>\n<p>Pole kwadratu:</p>\n<p>\\[P = a^2 = \\frac{d^2}{2} = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{20}{2} = \\mathbf{10}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie wierzchołków i boku kwadratu</h4>\n<p><strong>Znajdziemy brakujące wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\),</strong> żeby potwierdzić wynik.</p>\n<p><strong>Krok 1: Środek przekątnej</strong> (= środek kwadratu)</p>\n<p>\\[M = \\left(\\frac{-1+(-5)}{2},\\ \\frac{3+5}{2}\\right) = (-3,\\ 4)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wektor od środka do \\(A\\)</strong></p>\n<p>\\[\\vec{MA} = (-1-(-3),\\ 3-4) = (2,\\ -1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\) leżą w odległości \\(|MA|\\) od \\(M\\), ale w kierunku <strong>prostopadłym</strong> do \\(\\vec{MA}\\). Obracamy wektor \\((2,-1)\\) o \\(90°\\):</p>\n<p>\\[\\vec{MB} = (1,\\ 2) \\quad \\Rightarrow \\quad B = (-3+1,\\ 4+2) = (-2,\\ 6)\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Długość boku \\(AB\\)</strong></p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(-2-(-1))^2 + (6-3)^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Pole</strong></p>\n<p>\\[P = |AB|^2 = (\\sqrt{10})^2 = \\mathbf{10}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)</strong> - długość odcinka:<br>\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia długości przekątnej.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole kwadratu przez przekątną \\(d\\):<br>\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]<br>Jest to szczególny przypadek wzoru na deltoid/romb - kwadrat ma dwie równe, prostopadłe przekątne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Policzono \\(|AC|\\) poprawnie (\\(\\sqrt{20}\\)), ale wzięto to jako <strong>bok</strong> - pole \\(= 20\\) zamiast \\(= 10\\) |<br>| C | Policzono \\(|AC|^2 = 20\\), a następnie wzięto pole \\(= \\frac{20}{4} = 5\\) (pomylono wzór: \\(\\frac{d^2}{2}\\) zamiast \\(\\frac{d^2}{4}\\)) |<br>| D | Obliczono \\(\\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{20} \\cdot \\sqrt{20} = 10\\) - to akurat poprawne, ale niektóre błędne wersje pomijają dzielenie i podają \\(20\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(A\\) i \\(C\\) to wierzchołki <strong>przeciwległe</strong> - to przekątna, NIE bok. Błąd: potraktowanie \\(|AC|\\) jako boku daje pole \\(= 20\\), dwa razy za dużo.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole kwadratu przez przekątną to \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), nie \\(d^2\\) ani \\(\\frac{d^2}{4}\\). Warto zapamiętać jako skrót od wzoru na deltoid: \\(P = \\frac{1}{2}d_1 \\cdot d_2\\), gdzie \\(d_1 = d_2 = d\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(|AC|\\) łatwo o błąd znaku: \\(-5 - (-1) = -4\\), nie \\(-6\\). Zawsze uważaj przy odejmowaniu liczb ujemnych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - pole kwadratu \\(=10\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Przekątna i pole</h5>\n<p>Długość przekątnej \\(|AC|\\):<br>\\[|AC|=\\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]<br>Dla kwadratu o przekątnej \\(d\\): pole \\(=\\dfrac{d^{2}}{2}\\).<br>\\[P=\\dfrac{(\\sqrt{20})^{2}}{2}=\\dfrac{20}{2}=10.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z boku kwadratu</h5>\n<p>\\(d=a\\sqrt{2}\\implies a=\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}=\\dfrac{\\sqrt{20}}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{10}\\).<br>\\(P=a^{2}=(\\sqrt{10})^{2}=10\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Bok \\(a=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); przekątna \\(a\\sqrt{2}\\approx 4{,}47=\\sqrt{20}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B \\(25\\): pole wyliczone z boku \\(a=5\\) - błąd (\\(a\\ne|AC|/2=\\sqrt{5}\\ne 5\\)).</li><li>C \\(50\\): \\(|AC|^{2}\\cdot\\tfrac{5}{2}\\) - błędny wzór; albo pomyłka \\(d^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}=50\\) przy \\(|AC|^{2}=100\\) (błąd rachunku).</li><li>D \\(100\\): wzięto \\(|AC|^{2}\\) jako pole i jeszcze podwojono - błąd.</li></ul>"}]}