{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nOkrąg o równaniu (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n13\nx\ny\nma promień równy\nA.\n13\nB. 13\nC. 8\nD. 2 2\nZadanie 21. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-1)^2=13 ma promień równy A. pierwiastek z 13 B. 13 C. 8 D. 2 pierwiastki z 2","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie okręgu jest podane w **postaci kanonicznej**:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, a \\(r\\) to jego promień.\n\nNasze równanie:\n\\[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13\\]\n\nPrzepiszemy je tak, żeby pasowało do wzoru:\n\\[(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 13\\]\n\nPorównujemy:\n- Środek: \\(S = (-2, 1)\\)\n- \\(r^2 = 13\\)\n\nStąd:\n\\[r = \\sqrt{13}\\]\n\n**Promień okręgu wynosi \\(\\sqrt{13}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzimy, czy punkt leżący na okręgu rzeczywiście jest w odległości \\(\\sqrt{13}\\) od środka \\(S = (-2, 1)\\).\n\nSzukamy przykładowego punktu na okręgu. Podstawiamy \\(x = 1\\):\n\\[(1+2)^2 + (y-1)^2 = 13\\]\n\\[9 + (y-1)^2 = 13\\]\n\\[(y-1)^2 = 4\\]\n\\[y = 3 \\quad \\text{lub} \\quad y = -1\\]\n\nWeźmy punkt \\(P = (1, 3)\\). Liczymy odległość od środka \\(S = (-2, 1)\\):\n\\[|SP| = \\sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{9 + 4} = \\sqrt{13}\\]\n\n**Potwierdzone** - promień wynosi \\(\\sqrt{13}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) - środek, \\(r\\) - promień.\n\nTo dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 do odczytania promienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| B | \\(13\\) | Wzięto \\(r^2 = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\) - czyli wzięto **kwadrat** promienia zamiast samego promienia |\n| C | \\(\\sqrt{2}\\) lub \\(\\sqrt{3}\\) | Mylenie współczynników \\(-2\\) i \\(1\\) ze środka z promieniem |\n| D | \\(2\\) lub \\(1\\) | Wzięcie samych współrzędnych środka okręgu jako promienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(r = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\). Pamiętaj - po prawej stronie równania jest \\(r^2\\), nie \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak przy środku jest odwrócony. W równaniu \\((x + 2)^2\\) środek ma \\(a = \\mathbf{-2}\\), bo wzór to \\((x - a)^2\\). Nie myl środka z promieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{13}\\) nie upraszcza się dalej (13 jest liczbą pierwszą), więc odpowiedź zostawiamy jako \\(\\sqrt{13}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(r=\\sqrt{13}\\).\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\) opisuje okrąg o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\).\nTutaj \\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=13\\), więc \\(r^{2}=13\\), stąd \\(r=\\sqrt{13}\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nPrawa strona to \\(r^{2}\\), a nie \\(r\\). Aby uzyskać promień, trzeba wyciągnąć pierwiastek.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(13\\): pomyłka \\(r^{2}\\) z \\(r\\).\n- C \\(8\\): niepowiązana wartość.\n- D \\(2\\sqrt{2}\\): \\(2\\sqrt{2}=\\sqrt{8}\\ne\\sqrt{13}\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Okrąg o równaniu (<br>)<br>(<br>)<br>2<br>2<br>2<br>1<br>13<br>x<br>y<br>ma promień równy<br>A.<br>13<br>B. 13<br>C. 8<br>D. 2 2<br>Zadanie 21. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-1)^2=13 ma promień równy A. pierwiastek z 13 B. 13 C. 8 D. 2 pierwiastki z 2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej</h4>\n<p>Równanie okręgu jest podane w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, a \\(r\\) to jego promień.</p>\n<p>Nasze równanie:<br>\\[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13\\]</p>\n<p>Przepiszemy je tak, żeby pasowało do wzoru:<br>\\[(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 13\\]</p>\n<p>Porównujemy:</p>\n<ul><li>Środek: \\(S = (-2, 1)\\)</li><li>\\(r^2 = 13\\)</li></ul>\n<p>Stąd:<br>\\[r = \\sqrt{13}\\]</p>\n<p><strong>Promień okręgu wynosi \\(\\sqrt{13}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu</h4>\n<p>Sprawdzimy, czy punkt leżący na okręgu rzeczywiście jest w odległości \\(\\sqrt{13}\\) od środka \\(S = (-2, 1)\\).</p>\n<p>Szukamy przykładowego punktu na okręgu. Podstawiamy \\(x = 1\\):<br>\\[(1+2)^2 + (y-1)^2 = 13\\]<br>\\[9 + (y-1)^2 = 13\\]<br>\\[(y-1)^2 = 4\\]<br>\\[y = 3 \\quad \\text{lub} \\quad y = -1\\]</p>\n<p>Weźmy punkt \\(P = (1, 3)\\). Liczymy odległość od środka \\(S = (-2, 1)\\):<br>\\[|SP| = \\sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{9 + 4} = \\sqrt{13}\\]</p>\n<p><strong>Potwierdzone</strong> - promień wynosi \\(\\sqrt{13}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu w postaci kanonicznej:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\(S = (a, b)\\) - środek, \\(r\\) - promień.</p>\n<p>To dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 do odczytania promienia.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |<br>| B | \\(13\\) | Wzięto \\(r^2 = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\) - czyli wzięto <strong>kwadrat</strong> promienia zamiast samego promienia |<br>| C | \\(\\sqrt{2}\\) lub \\(\\sqrt{3}\\) | Mylenie współczynników \\(-2\\) i \\(1\\) ze środka z promieniem |<br>| D | \\(2\\) lub \\(1\\) | Wzięcie samych współrzędnych środka okręgu jako promienia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to wzięcie \\(r = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\). Pamiętaj - po prawej stronie równania jest \\(r^2\\), nie \\(r\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak przy środku jest odwrócony. W równaniu \\((x + 2)^2\\) środek ma \\(a = \\mathbf{-2}\\), bo wzór to \\((x - a)^2\\). Nie myl środka z promieniem!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{13}\\) nie upraszcza się dalej (13 jest liczbą pierwszą), więc odpowiedź zostawiamy jako \\(\\sqrt{13}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - \\(r=\\sqrt{13}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu</h5>\n<p>Równanie \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\) opisuje okrąg o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\).<br>Tutaj \\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=13\\), więc \\(r^{2}=13\\), stąd \\(r=\\sqrt{13}\\).</p>\n<h5>Uwaga dydaktyczna</h5>\n<p>Prawa strona to \\(r^{2}\\), a nie \\(r\\). Aby uzyskać promień, trzeba wyciągnąć pierwiastek.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B \\(13\\): pomyłka \\(r^{2}\\) z \\(r\\).</li><li>C \\(8\\): niepowiązana wartość.</li><li>D \\(2\\sqrt{2}\\): \\(2\\sqrt{2}=\\sqrt{8}\\ne\\sqrt{13}\\).</li></ul>"}]}