{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nProsta l ma równanie\n1\n7\n4\ny\nx\n. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.\nA.\n1\n1\n4\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\ny\nx\nC.\n4\n1\ny\nx\nD.\n4\n7\ny\nx\nZadanie 22. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Prosta l ma równanie y=-{1/4}x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l. A. y={1/4}x+1 B. y=-{1/4}x-7 C. y=4x-1 D. y=-4x+7","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProsta prostopadła do \\(l\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\), więc odpowiedź C to prosta postaci \\(y = 4x + b\\).\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości (iloczyn współczynników = -1)\n\n**Odczytujemy współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\):**\n\n\\[y = -\\frac{1}{4}x + 7 \\implies a_l = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Stosujemy warunek prostopadłości dwóch prostych:**\n\n\\[a_l \\cdot a_\\perp = -1\\]\n\n\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_\\perp = -1\\]\n\n\\[a_\\perp = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]\n\n**Zatem szukana prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a_\\perp = 4\\)**, czyli jest postaci:\n\n\\[y = 4x + b\\]\n\nSpośród odpowiedzi szukamy tej, gdzie współczynnik przy \\(x\\) wynosi dokładnie \\(4\\) - to odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez iloczyn kierunków\n\nMając wynik \\(a_\\perp = 4\\), sprawdzamy warunek prostopadłości:\n\n\\[a_l \\cdot a_\\perp = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]\n\nIloczyn współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\), co **potwierdza prostopadłość**. Inne opcje (np. z \\(a = \\frac{1}{4}\\) lub \\(a = -4\\)) tego warunku nie spełniają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nUżywamy go do wyznaczenia \\(a_\\perp\\) jako odwrotności ze zmienionym znakiem względem \\(a_l\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Współczynnik \\(a = -\\frac{1}{4}\\) - to prosta **równoległa** do \\(l\\), nie prostopadła |\n| B | Współczynnik \\(a = \\frac{1}{4}\\) - wzięto odwrotność, ale **bez zmiany znaku** |\n| D | Współczynnik \\(a = -4\\) - zmieniono znak, ale **bez odwrócenia ułamka** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **odwrotność i zmiana znaku** jednocześnie. Z \\(-\\frac{1}{4}\\) robi się \\(+4\\), nie \\(+\\frac{1}{4}\\) i nie \\(-4\\). Pominięcie któregokolwiek z tych kroków daje błędną odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta równoległa ma **taki sam** współczynnik kierunkowy (\\(-\\frac{1}{4}\\)), prostopadła - **ujemnie odwrotny** (\\(4\\)). Nie mylić tych dwóch pojęć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(+7\\) lub cokolwiek innego) **nie ma znaczenia** przy określaniu prostopadłości - liczy się wyłącznie współczynnik kierunkowy przy \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(y=4x-1\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\nProste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\iff a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).\nDla \\(l\\): \\(a_{1}=-\\dfrac{1}{4}\\). Potrzebujemy \\(a_{2}\\) spełniającego \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot a_{2}=-1\\), czyli \\(a_{2}=4\\).\nJedyna odpowiedź z \\(a_{2}=4\\) to C.\n\n### Sposób 2 - Współczynnik odwrotny z przeciwnym znakiem\nProstopadła ma współczynnik kierunkowy \\(-\\dfrac{1}{a_{1}}=-\\dfrac{1}{-1/4}=4\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot 4=-1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(a=\\dfrac{1}{4}\\); iloczyn \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot\\dfrac{1}{4}=-\\dfrac{1}{16}\\ne -1\\).\n- B: \\(a=-\\dfrac{1}{4}\\) - prosta równoległa (ten sam współczynnik).\n- D: \\(a=-4\\); iloczyn \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot(-4)=1\\ne -1\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Prosta l ma równanie
1
7
4
y
x
. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.
A.
1
1
4
y
x
B.
1
7
4
y
x
C.
4
1
y
x
D.
4
7
y
x
Zadanie 22. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Prosta l ma równanie y=-{1/4}x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l. A. y={1/4}x+1 B. y=-{1/4}x-7 C. y=4x-1 D. y=-4x+7

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Prosta prostopadła do \\(l\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\), więc odpowiedź C to prosta postaci \\(y = 4x + b\\).

\n

Sposób 1 - warunek prostopadłości (iloczyn współczynników = -1)

\n

Odczytujemy współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\):

\n

\\[y = -\\frac{1}{4}x + 7 \\implies a_l = -\\frac{1}{4}\\]

\n

Stosujemy warunek prostopadłości dwóch prostych:

\n

\\[a_l \\cdot a_\\perp = -1\\]

\n

\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_\\perp = -1\\]

\n

\\[a_\\perp = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]

\n

Zatem szukana prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a_\\perp = 4\\), czyli jest postaci:

\n

\\[y = 4x + b\\]

\n

Spośród odpowiedzi szukamy tej, gdzie współczynnik przy \\(x\\) wynosi dokładnie \\(4\\) - to odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez iloczyn kierunków

\n

Mając wynik \\(a_\\perp = 4\\), sprawdzamy warunek prostopadłości:

\n

\\[a_l \\cdot a_\\perp = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]

\n

Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\), co potwierdza prostopadłość. Inne opcje (np. z \\(a = \\frac{1}{4}\\) lub \\(a = -4\\)) tego warunku nie spełniają.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunek prostopadłości prostych:

\n

\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]

\n

Używamy go do wyznaczenia \\(a_\\perp\\) jako odwrotności ze zmienionym znakiem względem \\(a_l\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Współczynnik \\(a = -\\frac{1}{4}\\) - to prosta równoległa do \\(l\\), nie prostopadła |
| B | Współczynnik \\(a = \\frac{1}{4}\\) - wzięto odwrotność, ale bez zmiany znaku |
| D | Współczynnik \\(a = -4\\) - zmieniono znak, ale bez odwrócenia ułamka |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Prostopadłość to odwrotność i zmiana znaku jednocześnie. Z \\(-\\frac{1}{4}\\) robi się \\(+4\\), nie \\(+\\frac{1}{4}\\) i nie \\(-4\\). Pominięcie któregokolwiek z tych kroków daje błędną odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy (\\(-\\frac{1}{4}\\)), prostopadła - ujemnie odwrotny (\\(4\\)). Nie mylić tych dwóch pojęć!
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny (\\(+7\\) lub cokolwiek innego) nie ma znaczenia przy określaniu prostopadłości - liczy się wyłącznie współczynnik kierunkowy przy \\(x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(y=4x-1\\).

\n
Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych
\n

Proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\iff a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).
Dla \\(l\\): \\(a_{1}=-\\dfrac{1}{4}\\). Potrzebujemy \\(a_{2}\\) spełniającego \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot a_{2}=-1\\), czyli \\(a_{2}=4\\).
Jedyna odpowiedź z \\(a_{2}=4\\) to C.

\n
Sposób 2 - Współczynnik odwrotny z przeciwnym znakiem
\n

Prostopadła ma współczynnik kierunkowy \\(-\\dfrac{1}{a_{1}}=-\\dfrac{1}{-1/4}=4\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot 4=-1\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}