{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nObjętość sześcianu jest równa 27 cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego\nsześcianu?\nA. 18 cm\nB. 36 cm\nC. 24 cm\nD. 12 cm\nZadanie 23. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Objętość sześcianu jest równa 27cm^3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A. 18 cm B. 36 cm C. 24 cm D. 12 cm","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **36 cm**\n\n## Sposób 1 - Z objętości do krawędzi\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.**\n\nSześcian o krawędzi \\(a\\) ma objętość:\n\\[V = a^3\\]\n\nPodstawiamy \\(V = 27 \\text{ cm}^3\\):\n\\[a^3 = 27\\]\n\\[a = \\sqrt[3]{27} = 3 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę wszystkich krawędzi.**\n\nSześcian ma **12 krawędzi** (po 4 krawędzie na każdej z 3 grup równoległych).\n\n\\[S = 12 \\cdot a = 12 \\cdot 3 = \\mathbf{36 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez proporcję\n\nSprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli suma krawędzi wynosi 36 cm, to:\n\\[a = \\frac{36}{12} = 3 \\text{ cm}\\]\n\\[V = a^3 = 3^3 = 27 \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n\nSześcian to graniastosłup prosty o kwadratowej podstawie \\(P_p = a^2\\) i wysokości \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Wzór ten bezpośrednio uzasadnia obliczenie w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Policzono sumę krawędzi jako \\(6 \\cdot a = 6 \\cdot 3 = 18\\) - wzięto 6 zamiast 12 krawędzi (pomylono liczbę krawędzi z liczbą ścian) |\n| C | Wynik \\(a = 27\\) (nie wzięto pierwiastka sześciennego) → \\(12 \\cdot 27 = 324\\), lub inna nieprawidłowa operacja |\n| D | Policzono pole powierzchni całkowitej: \\(6a^2 = 6 \\cdot 9 = 54\\) zamiast sumy krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 6 ani 8 - łatwo pomylić z liczbą ścian (6) lub wierzchołków (8). Warto zapamiętać: 12 krawędzi = 3 grupy × 4 równoległe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\), bo \\(3^3 = 27\\). Nie mylić z \\(\\sqrt{27}\\)! Tu szukamy pierwiastka **trzeciego stopnia**, bo objętość to \\(a^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o **sumę krawędzi**, nie o pole powierzchni ani obwód podstawy - przeczytaj uważnie, co jest wymagane.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - suma długości krawędzi równa \\(36\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Krawędź z objętości\nObjętość sześcianu \\(V=a^{3}\\). Stąd \\(a=\\sqrt[3]{27}=3\\) cm.\nSześcian ma \\(12\\) krawędzi tej samej długości, zatem łączna długość:\n\\[L=12\\cdot 3=36 \\text{ cm}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowy fakt: sześcian ma zawsze \\(12\\) krawędzi (4 u dołu, 4 u góry, 4 pionowe).\n\n### Weryfikacja\n\\(a=3\\); \\(V=27\\) ✓; \\(12a=36\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(18\\): to suma tylko \\(6\\) krawędzi - błędna liczba.\n- C \\(24\\): suma \\(8\\) krawędzi - błędna.\n- D \\(12\\): liczba krawędzi, nie długość łączna.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Objętość sześcianu jest równa 27 cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego<br>sześcianu?<br>A. 18 cm<br>B. 36 cm<br>C. 24 cm<br>D. 12 cm<br>Zadanie 23. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Objętość sześcianu jest równa 27cm^3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A. 18 cm B. 36 cm C. 24 cm D. 12 cm</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - <strong>36 cm</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Z objętości do krawędzi</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.</strong></p>\n<p>Sześcian o krawędzi \\(a\\) ma objętość:<br>\\[V = a^3\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(V = 27 \\text{ cm}^3\\):<br>\\[a^3 = 27\\]<br>\\[a = \\sqrt[3]{27} = 3 \\text{ cm}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Liczymy sumę wszystkich krawędzi.</strong></p>\n<p>Sześcian ma <strong>12 krawędzi</strong> (po 4 krawędzie na każdej z 3 grup równoległych).</p>\n<p>\\[S = 12 \\cdot a = 12 \\cdot 3 = \\mathbf{36 \\text{ cm}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez proporcję</h4>\n<p>Sprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli suma krawędzi wynosi 36 cm, to:<br>\\[a = \\frac{36}{12} = 3 \\text{ cm}\\]<br>\\[V = a^3 = 3^3 = 27 \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26)</strong> - objętość graniastosłupa prostego:<br>\\[V = P_p \\cdot h\\]</p>\n<p>Sześcian to graniastosłup prosty o kwadratowej podstawie \\(P_p = a^2\\) i wysokości \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Wzór ten bezpośrednio uzasadnia obliczenie w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Policzono sumę krawędzi jako \\(6 \\cdot a = 6 \\cdot 3 = 18\\) - wzięto 6 zamiast 12 krawędzi (pomylono liczbę krawędzi z liczbą ścian) |<br>| C | Wynik \\(a = 27\\) (nie wzięto pierwiastka sześciennego) → \\(12 \\cdot 27 = 324\\), lub inna nieprawidłowa operacja |<br>| D | Policzono pole powierzchni całkowitej: \\(6a^2 = 6 \\cdot 9 = 54\\) zamiast sumy krawędzi |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześcian ma <strong>12 krawędzi</strong>, nie 6 ani 8 - łatwo pomylić z liczbą ścian (6) lub wierzchołków (8). Warto zapamiętać: 12 krawędzi = 3 grupy × 4 równoległe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\), bo \\(3^3 = 27\\). Nie mylić z \\(\\sqrt{27}\\)! Tu szukamy pierwiastka <strong>trzeciego stopnia</strong>, bo objętość to \\(a^3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie pyta o <strong>sumę krawędzi</strong>, nie o pole powierzchni ani obwód podstawy - przeczytaj uważnie, co jest wymagane.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - suma długości krawędzi równa \\(36\\) cm.</p>\n<h5>Sposób 1 - Krawędź z objętości</h5>\n<p>Objętość sześcianu \\(V=a^{3}\\). Stąd \\(a=\\sqrt[3]{27}=3\\) cm.<br>Sześcian ma \\(12\\) krawędzi tej samej długości, zatem łączna długość:<br>\\[L=12\\cdot 3=36 \\text{ cm}.\\]</p>\n<h5>Uwaga dydaktyczna</h5>\n<p>Kluczowy fakt: sześcian ma zawsze \\(12\\) krawędzi (4 u dołu, 4 u góry, 4 pionowe).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(a=3\\); \\(V=27\\) ✓; \\(12a=36\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(18\\): to suma tylko \\(6\\) krawędzi - błędna liczba.</li><li>C \\(24\\): suma \\(8\\) krawędzi - błędna.</li><li>D \\(12\\): liczba krawędzi, nie długość łączna.</li></ul>"}]}