{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nGraniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?\nA. 10\nB. 5\nC. 15\nD. 30\nZadanie 24. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Graniastołup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A. 10 B. 5 C. 15 D. 30","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (10 wierzchołków)\n\n## Sposób 1 - wzory Eulera i wzory na graniastosłup n-kątny\n\n**Kluczowy fakt:** Graniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:\n- **krawędzie:** \\(3n\\) (n dolnych + n górnych + n bocznych)\n- **wierzchołki:** \\(2n\\) (n dolnych + n górnych)\n- **ściany:** \\(n + 2\\) (n bocznych + 2 podstawy)\n\n**Krok 1 - wyznaczamy \\(n\\) z liczby krawędzi:**\n\nWiemy, że graniastosłup ma 15 krawędzi:\n\\[3n = 15\\]\n\\[n = 5\\]\n\nMamy więc **graniastosłup pięciokątny** (pentagonalny).\n\n**Krok 2 - obliczamy liczbę wierzchołków:**\n\\[2n = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór Eulera (weryfikacja)\n\nWzór Eulera dla wielościanów:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa pięciokątnego:\n- \\(E = 15\\) (dane)\n- \\(F = 5 + 2 = 7\\) (5 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nPodstawiamy do wzoru Eulera:\n\\[V - 15 + 7 = 2\\]\n\\[V = 2 + 15 - 7 = \\mathbf{10}\\]\n\nWynik zgodny - graniastosłup ma **10 wierzchołków**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i podstawowe liczenie. Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to wzór z geometrii przestrzennej, który jest standardową wiedzą szkolną, ale nie pojawia się bezpośrednio w karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(n = 15 / 3 = 5\\), ale zamiast \\(2n\\) podaje samą liczbę boków podstawy - **5** |\n| C | Uczeń myli krawędzie z wierzchołkami i podaje **15** (tyle ile krawędzi) |\n| D | Uczeń oblicza liczbę ścian zamiast wierzchołków: \\(5 + 2 = 7\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup n-kątny ma **trzy razy więcej krawędzi niż wynosi n** - bo krawędzie są na górze, na dole i z boku. Łatwo pominąć jedną grupę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wierzchołków z krawędziami - pytanie brzmi o **wierzchołki**, a dane są **krawędzie**. Uważaj, co obliczasz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to świetna metoda weryfikacji w zadaniach o wielościanach - warto go znać jako \"checksum\" poprawności odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(10\\) wierzchołków.\n\n### Sposób 1 - Zależność krawędzie \\(\\leftrightarrow\\) bok podstawy\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:\n- \\(2n\\) krawędzi w podstawach (góra + dół),\n- \\(n\\) krawędzi bocznych (pionowych).\nRazem: \\(3n\\) krawędzi.\n\\[3n=15 \\implies n=5.\\]\nPodstawa to pięciokąt. Wierzchołków jest \\(2n=10\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\nDla wielościanu wypukłego: \\(V-E+F=2\\). W graniastosłupie \\(n\\)-kątnym: \\(F=n+2\\), \\(E=3n\\). Stąd \\(V=2+E-F=2+3n-(n+2)=2n\\).\nDla \\(n=5\\): \\(V=10\\).\n\n### Weryfikacja (pięciokątny graniastosłup)\n\\(V=10\\), \\(E=15\\), \\(F=7\\); \\(10-15+7=2\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(5\\): tylko wierzchołki jednej podstawy.\n- C \\(15\\): pomyłka z liczbą krawędzi.\n- D \\(30\\): dwukrotna liczba krawędzi - niezgodna z żadną regułą.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?<br>A. 10<br>B. 5<br>C. 15<br>D. 30<br>Zadanie 24. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Graniastołup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A. 10 B. 5 C. 15 D. 30</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (10 wierzchołków)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzory Eulera i wzory na graniastosłup n-kątny</h4>\n<p><strong>Kluczowy fakt:</strong> Graniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:</p>\n<ul><li><strong>krawędzie:</strong> \\(3n\\) (n dolnych + n górnych + n bocznych)</li><li><strong>wierzchołki:</strong> \\(2n\\) (n dolnych + n górnych)</li><li><strong>ściany:</strong> \\(n + 2\\) (n bocznych + 2 podstawy)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1 - wyznaczamy \\(n\\) z liczby krawędzi:</strong></p>\n<p>Wiemy, że graniastosłup ma 15 krawędzi:<br>\\[3n = 15\\]<br>\\[n = 5\\]</p>\n<p>Mamy więc <strong>graniastosłup pięciokątny</strong> (pentagonalny).</p>\n<p><strong>Krok 2 - obliczamy liczbę wierzchołków:</strong><br>\\[2n = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór Eulera (weryfikacja)</h4>\n<p>Wzór Eulera dla wielościanów:<br>\\[V - E + F = 2\\]<br>gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.</p>\n<p>Dla graniastosłupa pięciokątnego:</p>\n<ul><li>\\(E = 15\\) (dane)</li><li>\\(F = 5 + 2 = 7\\) (5 ścian bocznych + 2 podstawy)</li></ul>\n<p>Podstawiamy do wzoru Eulera:<br>\\[V - 15 + 7 = 2\\]<br>\\[V = 2 + 15 - 7 = \\mathbf{10}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - graniastosłup ma <strong>10 wierzchołków</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i podstawowe liczenie. Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to wzór z geometrii przestrzennej, który jest standardową wiedzą szkolną, ale nie pojawia się bezpośrednio w karcie wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Uczeń liczy \\(n = 15 / 3 = 5\\), ale zamiast \\(2n\\) podaje samą liczbę boków podstawy - <strong>5</strong> |<br>| C | Uczeń myli krawędzie z wierzchołkami i podaje <strong>15</strong> (tyle ile krawędzi) |<br>| D | Uczeń oblicza liczbę ścian zamiast wierzchołków: \\(5 + 2 = 7\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniastosłup n-kątny ma <strong>trzy razy więcej krawędzi niż wynosi n</strong> - bo krawędzie są na górze, na dole i z boku. Łatwo pominąć jedną grupę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić wierzchołków z krawędziami - pytanie brzmi o <strong>wierzchołki</strong>, a dane są <strong>krawędzie</strong>. Uważaj, co obliczasz!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to świetna metoda weryfikacji w zadaniach o wielościanach - warto go znać jako &quot;checksum&quot; poprawności odpowiedzi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - \\(10\\) wierzchołków.</p>\n<h5>Sposób 1 - Zależność krawędzie \\(\\leftrightarrow\\) bok podstawy</h5>\n<p>Graniastosłup o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:</p>\n<ul><li>\\(2n\\) krawędzi w podstawach (góra + dół),</li><li>\\(n\\) krawędzi bocznych (pionowych).</li></ul>\n<p>Razem: \\(3n\\) krawędzi.<br>\\[3n=15 \\implies n=5.\\]<br>Podstawa to pięciokąt. Wierzchołków jest \\(2n=10\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór Eulera</h5>\n<p>Dla wielościanu wypukłego: \\(V-E+F=2\\). W graniastosłupie \\(n\\)-kątnym: \\(F=n+2\\), \\(E=3n\\). Stąd \\(V=2+E-F=2+3n-(n+2)=2n\\).<br>Dla \\(n=5\\): \\(V=10\\).</p>\n<h5>Weryfikacja (pięciokątny graniastosłup)</h5>\n<p>\\(V=10\\), \\(E=15\\), \\(F=7\\); \\(10-15+7=2\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B \\(5\\): tylko wierzchołki jednej podstawy.</li><li>C \\(15\\): pomyłka z liczbą krawędzi.</li><li>D \\(30\\): dwukrotna liczba krawędzi - niezgodna z żadną regułą.</li></ul>"}]}