{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru liczb {\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza\nprawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas\nA.\n0,3\np <\nB.\n0,3\np =\nC.\n0,4\np =\nD.\n0,4\np >\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nZadanie 25. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas A. p<0,3 B. p=0,3 C. p=0,4 D. p>0,4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nPrawdopodobieństwo wynosi \\(p = \\frac{3}{11}\\).\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nZbiór \\(\\Omega = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\\}\\), więc:\n\\[|\\Omega| = 11\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające - wielokrotności liczby 3.**\n\nPytamy: które liczby ze zbioru są podzielne przez 3?\n\n\\[3 = 3 \\cdot 1 \\quad \\checkmark\\]\n\\[6 = 3 \\cdot 2 \\quad \\checkmark\\]\n\\[9 = 3 \\cdot 3 \\quad \\checkmark\\]\n\\[12 = 3 \\cdot 4 \\quad \\text{- ale } 12 \\notin \\Omega\\]\n\nZdarzenie sprzyjające: \\(A = \\{3, 6, 9\\}\\), więc \\(|A| = 3\\).\n\n**Krok 3: Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.**\n\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{11}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez zliczanie uzupełnienia\n\nSprawdzamy, czy wynik jest sensowny, licząc liczby **nie** będące wielokrotnościami 3:\n\n\\[\\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 8 \\text{ liczb}\\]\n\nZatem:\n\\[P(A') = \\frac{8}{11}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[P(A) + P(A') = \\frac{3}{11} + \\frac{8}{11} = \\frac{11}{11} = 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \\(|A| = 3\\) (liczby sprzyjające), \\(|\\Omega| = 11\\) (wszystkie możliwe wyniki).\n\nPonadto, w Sposobie 2 korzystamy z własności:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wpisanie \\(\\frac{3}{10}\\) - uczeń liczy elementy \"poza jedynką\", bierze \\(|\\Omega| = 10\\) zamiast 11 |\n| C | Wpisanie \\(\\frac{4}{11}\\) - uczeń wlicza do wielokrotności 3 również liczbę \\(1\\) (myląc z dzielnikami) lub liczy wielokrotności 2 |\n| D | Wpisanie \\(\\frac{1}{3}\\) - uczeń zaokrągla \\(\\frac{3}{11} \\approx 0{,}27\\) i \"upraszcza\" do \\(\\frac{1}{3}\\), lub dzieli zbiór na trzy równe części |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielokrotność liczby 3 to liczba **podzielna przez 3** (3, 6, 9 ), a nie np. **liczba 3 i jej potęgi**. Uczniowie mylą \"wielokrotność\" z \"potęgą\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć sprawdzić, czy dana wielokrotność należy do zbioru - liczba 12 jest wielokrotnością 3, ale **nie należy** do \\(\\{1, \\ldots, 11\\}\\), więc jej nie liczymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór ma **11 elementów**, nie 10 - łatwo pomylić się przy liczeniu, bo kończy się na 11, ale zaczyna od 1. Zawsze warto wypisać elementy lub skorzystać ze wzoru \\(n = \\text{ostatni} - \\text{pierwszy} + 1 = 11 - 1 + 1 = 11\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(p=\\dfrac{3}{11}<0{,}3\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\\(|\\Omega|=11\\). Wielokrotności \\(3\\) w zbiorze: \\(3,6,9\\) - \\(|A|=3\\).\n\\[p=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|}=\\dfrac{3}{11}.\\]\n\n### Porównanie z \\(0{,}3\\)\n\\(\\dfrac{3}{11}=\\dfrac{3}{11}\\); sprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{11}<\\dfrac{3}{10}\\): bo \\(11>10\\), więc \\(\\dfrac{3}{11}<\\dfrac{3}{10}=0{,}3\\) ✓.\nNumerycznie: \\(\\dfrac{3}{11}\\approx 0{,}2727\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(3\\cdot 11=33\\), \\(3\\cdot 10=30\\); skoro \\(0{,}3=\\tfrac{30}{100}=\\tfrac{33}{110}\\), a \\(\\tfrac{3}{11}=\\tfrac{30}{110}\\), to istotnie \\(\\tfrac{3}{11}<0{,}3\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(p=0{,}3\\): wymagałoby \\(\\tfrac{3{,}3}{11}\\) lub \\(\\tfrac{3}{10}\\) - nie pasuje.\n- C \\(p=0{,}4\\): \\(\\tfrac{3}{11}\\ne 0{,}4\\).\n- D \\(p>0{,}4\\): za duże.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Ze zbioru liczb {<br>}<br>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza<br>prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas<br>A.<br>0,3<br>p &lt;<br>B.<br>0,3<br>p =<br>C.<br>0,4<br>p =<br>D.<br>0,4<br>p &gt;</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>9<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>10<br>ZADANIA OTWARTE<br>Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach<br>pod treścią zadania.<br>Zadanie 25. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas A. p&lt;0,3 B. p=0,3 C. p=0,4 D. p&gt;0,4</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Prawdopodobieństwo wynosi \\(p = \\frac{3}{11}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.</strong></p>\n<p>Zbiór \\(\\Omega = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\\}\\), więc:<br>\\[|\\Omega| = 11\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające - wielokrotności liczby 3.</strong></p>\n<p>Pytamy: które liczby ze zbioru są podzielne przez 3?</p>\n<p>\\[3 = 3 \\cdot 1 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[6 = 3 \\cdot 2 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[9 = 3 \\cdot 3 \\quad \\checkmark\\]<br>\\[12 = 3 \\cdot 4 \\quad \\text{- ale } 12 \\notin \\Omega\\]</p>\n<p>Zdarzenie sprzyjające: \\(A = \\{3, 6, 9\\}\\), więc \\(|A| = 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.</strong></p>\n<p>\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{11}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez zliczanie uzupełnienia</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wynik jest sensowny, licząc liczby <strong>nie</strong> będące wielokrotnościami 3:</p>\n<p>\\[\\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 8 \\text{ liczb}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P(A&#x27;) = \\frac{8}{11}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie:<br>\\[P(A) + P(A&#x27;) = \\frac{3}{11} + \\frac{8}{11} = \\frac{11}{11} = 1 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \\(|A| = 3\\) (liczby sprzyjające), \\(|\\Omega| = 11\\) (wszystkie możliwe wyniki).</p>\n<p>Ponadto, w Sposobie 2 korzystamy z własności:<br>\\[P(A&#x27;) = 1 - P(A)\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Wpisanie \\(\\frac{3}{10}\\) - uczeń liczy elementy &quot;poza jedynką&quot;, bierze \\(|\\Omega| = 10\\) zamiast 11 |<br>| C | Wpisanie \\(\\frac{4}{11}\\) - uczeń wlicza do wielokrotności 3 również liczbę \\(1\\) (myląc z dzielnikami) lub liczy wielokrotności 2 |<br>| D | Wpisanie \\(\\frac{1}{3}\\) - uczeń zaokrągla \\(\\frac{3}{11} \\approx 0{,}27\\) i &quot;upraszcza&quot; do \\(\\frac{1}{3}\\), lub dzieli zbiór na trzy równe części |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wielokrotność liczby 3 to liczba <strong>podzielna przez 3</strong> (3, 6, 9 ), a nie np. <strong>liczba 3 i jej potęgi</strong>. Uczniowie mylą &quot;wielokrotność&quot; z &quot;potęgą&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć sprawdzić, czy dana wielokrotność należy do zbioru - liczba 12 jest wielokrotnością 3, ale <strong>nie należy</strong> do \\(\\{1, \\ldots, 11\\}\\), więc jej nie liczymy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór ma <strong>11 elementów</strong>, nie 10 - łatwo pomylić się przy liczeniu, bo kończy się na 11, ale zaczyna od 1. Zawsze warto wypisać elementy lub skorzystać ze wzoru \\(n = \\text{ostatni} - \\text{pierwszy} + 1 = 11 - 1 + 1 = 11\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - \\(p=\\dfrac{3}{11}&lt;0{,}3\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h5>\n<p>\\(|\\Omega|=11\\). Wielokrotności \\(3\\) w zbiorze: \\(3,6,9\\) - \\(|A|=3\\).<br>\\[p=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|}=\\dfrac{3}{11}.\\]</p>\n<h5>Porównanie z \\(0{,}3\\)</h5>\n<p>\\(\\dfrac{3}{11}=\\dfrac{3}{11}\\); sprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{11}&lt;\\dfrac{3}{10}\\): bo \\(11&gt;10\\), więc \\(\\dfrac{3}{11}&lt;\\dfrac{3}{10}=0{,}3\\) ✓.<br>Numerycznie: \\(\\dfrac{3}{11}\\approx 0{,}2727\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(3\\cdot 11=33\\), \\(3\\cdot 10=30\\); skoro \\(0{,}3=\\tfrac{30}{100}=\\tfrac{33}{110}\\), a \\(\\tfrac{3}{11}=\\tfrac{30}{110}\\), to istotnie \\(\\tfrac{3}{11}&lt;0{,}3\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B \\(p=0{,}3\\): wymagałoby \\(\\tfrac{3{,}3}{11}\\) lub \\(\\tfrac{3}{10}\\) - nie pasuje.</li><li>C \\(p=0{,}4\\): \\(\\tfrac{3}{11}\\ne 0{,}4\\).</li><li>D \\(p&gt;0{,}4\\): za duże.</li></ul>"}]}