Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
0
24
14
2
x
x
Odpowiedź:
Zadanie 26. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rozwiąż nierówność x^2-14x+24>0.
\\[x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)\\]
\nKrok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.
\nMamy \\(f(x) = x^2 - 14x + 24\\), czyli \\(a = 1,\\ b = -14,\\ c = 24\\).
\nLiczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 24 = 196 - 96 = 100\\]
Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{14 - 10}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{14 + 10}{2} = \\frac{24}{2} = 12\\]
Krok 2: Określamy kształt paraboli.
\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę (kształt ∪).
\nKrok 3: Odczytujemy rozwiązanie nierówności.
\nSzukamy, gdzie \\(f(x) > 0\\), czyli gdzie parabola jest powyżej osi OX.
\nParabola ∪ jest powyżej osi OX poza przedziałem między pierwiastkami:
\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)}\\]
\nKrok 1: Rozkładamy trójmian.
\nSzukamy liczb, których iloczyn = \\(24\\) i suma = \\(-14\\). To \\(-2\\) i \\(-12\\).
\n\\[x^2 - 14x + 24 = (x - 2)(x - 12)\\]
\nKrok 2: Rozwiązujemy nierówność iloczynową.
\n\\[(x-2)(x-12) > 0\\]
\nIloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak:
\n| Przedział | \\(x - 2\\) | \\(x - 12\\) | Iloczyn |
| \\(x < 2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(2 < x < 12\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x > 12\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |
Wynik: \\(x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = 2\\), \\(x_2 = 12\\).
| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń odczytuje, że parabola jest powyżej osi między pierwiastkami - tymczasem tam jest poniżej (nierówność \\(< 0\\), nie \\(> 0\\)). Mylenie kierunku nierówności z kształtem paraboli. |
| C | Błędne obliczenie pierwiastków - np. pomylenie znaku \\(b\\): traktowanie \\(-14x\\) jako \\(+14x\\), co daje inne pierwiastki. |
| D | Podanie \\(x \\in \\langle 2,\\ 12 \\rangle\\) z domkniętymi końcami - ignorowanie, że nierówność jest ostra (\\(> 0\\), nie \\(\\geq 0\\)), więc punkty \\(x = 2\\) i \\(x = 12\\) nie należą do rozwiązania. |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odwrócenie rozwiązania - uczeń wie, że pierwiastki to 2 i 12, ale podaje przedział \\((2, 12)\\) zamiast jego dopełnienia. Zapamiętaj: parabola ∪ jest nad osią OX na zewnątrz pierwiastków.\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności ostrej (\\(> 0\\)) końce przedziału (tu: \\(x = 2\\) i \\(x = 12\\)) są wykluczone - używamy nawiasów okrągłych, nie ostrych \\(\\langle\\ \\rangle\\).\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź znak współczynnika \\(a\\) przed odczytaniem rozwiązania! Gdyby \\(a < 0\\) (parabola ∩), rozwiązanie nierówności \\(> 0\\) byłoby między pierwiastkami - odwrotnie niż tutaj.\n
Rozwiązanie: \\(x\\in(-\\infty,2)\\cup(12,+\\infty)\\).
\nRozwiązujemy \\(x^{2}-14x+24=0\\):
\\[\\Delta=(-14)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 24=196-96=100, \\quad \\sqrt{\\Delta}=10.\\]
\\[x_{1}=\\dfrac{14-10}{2}=2, \\qquad x_{2}=\\dfrac{14+10}{2}=12.\\]
Trójmian \\(y=x^{2}-14x+24\\) ma ramiona skierowane ku górze (\\(a=1>0\\)), więc jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami:
\\[x\\in(-\\infty,2)\\cup(12,+\\infty).\\]
\\[x^{2}-14x+24=(x-7)^{2}-49+24=(x-7)^{2}-25.\\]
Nierówność: \\((x-7)^{2}-25>0 \\iff (x-7)^{2}>25 \\iff |x-7|>5.\\]
Stąd \\(x-7>5\\) lub \\(x-7<-5\\), czyli \\(x>12\\) lub \\(x<2\\).
\\(x_{1}+x_{2}=14\\) i \\(x_{1}\\cdot x_{2}=24\\). Liczby \\(2\\) i \\(12\\) spełniają oba warunki.
\nOś liczbowa: dwa puste kółka w \\(2\\) i \\(12\\); zaznaczone półproste \\((-\\infty,2)\\) i \\((12,+\\infty)\\).
\n\\(x=0\\): \\(0-0+24=24>0\\) ✓. \\(x=7\\): \\(49-98+24=-25<0\\) - nie należy ✓. \\(x=15\\): \\(225-210+24=39>0\\) ✓.
\n$x \\in (-\\infty, 2) \\cup (12, \\infty)$
"}]}