{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n3\n2\n6\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nZadanie 27. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rozwiąż równanie x^3-3x^2+2x-6=0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)\n\n(Jedyne rozwiązanie rzeczywiste; pełny zapis: \\(x = 3\\) i brak innych rozwiązań rzeczywistych.)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Wielomian ma 4 wyrazy - sprawdzamy, czy można je pogrupować parami tak, by wyłączyć wspólny czynnik.\n\n\\[x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0\\]\n\n**Krok 1.** Grupujemy: pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^3 - 3x^2) + (2x - 6) = 0\\]\n\n**Krok 2.** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:\n\n\\[x^2(x - 3) + 2(x - 3) = 0\\]\n\n**Krok 3.** Teraz \\((x-3)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:\n\n\\[(x - 3)(x^2 + 2) = 0\\]\n\n**Krok 4.** Iloczyn równa się zero, gdy przynajmniej jeden czynnik równa się zero:\n\n\\[x - 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 2 = 0\\]\n\nPierwszy czynnik:\n\\[x = 3\\]\n\nDrugi czynnik:\n\\[x^2 = -2\\]\n\nAle \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Metoda pierwiastków wymiernych (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych)\n\nJeśli wielomian \\(W(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6\\) ma pierwiastek wymierny, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego \\(-6\\) (przy współczynniku wiodącym \\(1\\)).\n\n**Krok 1.** Wypisujemy kandydatów: dzielniki liczby \\(6\\):\n\\[\\pm 1, \\quad \\pm 2, \\quad \\pm 3, \\quad \\pm 6\\]\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy kolejno, podstawiając do \\(W(x)\\):\n\n\\[W(1) = 1 - 3 + 2 - 6 = -6 \\neq 0\\]\n\\[W(-1) = -1 - 3 - 2 - 6 = -12 \\neq 0\\]\n\\[W(2) = 8 - 12 + 4 - 6 = -6 \\neq 0\\]\n\\[W(3) = 27 - 27 + 6 - 6 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 3.** Skoro \\(W(3) = 0\\), to \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-3)\\) schematem Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(2\\) | \\(-6\\) |\n| \\(\\times 3\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(2\\) | \\(0\\) |\n\nObliczenia: \\(1 \\to 1\\cdot3 + (-3) = 0 \\to 0\\cdot3 + 2 = 2 \\to 2\\cdot3 + (-6) = 0\\)\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x - 3)(x^2 + 0 \\cdot x + 2) = (x-3)(x^2 + 2)\\]\n\n**Krok 4.** Rozwiązujemy \\(x^2 + 2 = 0\\):\n\\[x^2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{brak rozwiązań w } \\mathbb{R}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)** - potwierdza Sposób 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - technika wyłączania przed nawias i rozkład na czynniki, która jest podstawą obu metod\n- Znajomość definicji: \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (własność potęg, Dział 2, s. 4-5) - kluczowa do uzasadnienia, że \\(x^2 + 2 = 0\\) nie ma rozwiązań\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o zbadaniu czynnika \\(x^2 + 2 = 0\\)! Uczeń może zapisać \\((x-3)(x^2+2)=0\\) i podać odpowiedź bez sprawdzenia drugiego czynnika - to błąd formalny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie Hornera łatwo o błąd rachunkowy - zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie \\(x = 3\\) z powrotem do oryginalnego równania: \\(27 - 27 + 6 - 6 = 0\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie (Sposób 1) działa tylko wtedy, gdy wyraz wspólny \\((x-3)\\) faktycznie się pojawia w obu grupach. Jeśli grupowanie nie wychodzi, trzeba szukać pierwiastka metodą z Dz. 2 i dopiero potem dzielić wielomian.\n\n**Rozwiązanie:** \\(x=3\\) (jedyny pierwiastek rzeczywisty).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Grupowanie wyrazów\n\\[x^{3}-3x^{2}+2x-6=0\\]\n\\[x^{2}(x-3)+2(x-3)=0\\]\n\\[(x-3)(x^{2}+2)=0.\\]\nIloczyn równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem:\n- \\(x-3=0 \\implies x=3\\),\n- \\(x^{2}+2=0 \\implies x^{2}=-2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (\\(x^{2}\\ge 0>-2\\)).\n\nStąd jedyne rozwiązanie: \\(x=3\\).\n\n### Sposób 2 (CKE) - Dzielenie wielomianu\nSprawdzamy \\(W(3)=27-27+6-6=0\\) - więc \\((x-3)\\) jest dzielnikiem.\nDzielenie \\(x^{3}-3x^{2}+2x-6\\) przez \\((x-3)\\) (np. schemat Hornera lub dzielenie pisemne) daje iloraz \\(x^{2}+2\\).\nRówanie: \\((x-3)(x^{2}+2)=0\\), jak wyżej.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(x=3\\): \\(27-27+6-6=0\\) ✓.\nDla \\(x=0\\): \\(-6\\ne 0\\) - nie pierwiastek.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nWarto szukać pierwiastków wymiernych wśród dzielników wyrazu wolnego (\\(\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 6\\)). \\(x=3\\) daje zero - to \"skrót\" do rozkładu na czynniki.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: pogrupowanie wyrazów do postaci \\(x^{2}(x-3)+2(x-3)=0\\) albo dzielenie i uzyskanie \\((x-3)(x^{2}+2)=0\\).\n- **2 pkt**: podanie rozwiązania \\(x=3\\) (z uwagą: dodanie fałszywego drugiego rozwiązania → tylko \\(1\\) pkt).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
3
2
6
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Zadanie 27. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rozwiąż równanie x^3-3x^2+2x-6=0.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)

\n

(Jedyne rozwiązanie rzeczywiste; pełny zapis: \\(x = 3\\) i brak innych rozwiązań rzeczywistych.)

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Kluczowa obserwacja: Wielomian ma 4 wyrazy - sprawdzamy, czy można je pogrupować parami tak, by wyłączyć wspólny czynnik.

\n

\\[x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0\\]

\n

Krok 1. Grupujemy: pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:

\n

\\[(x^3 - 3x^2) + (2x - 6) = 0\\]

\n

Krok 2. Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:

\n

\\[x^2(x - 3) + 2(x - 3) = 0\\]

\n

Krok 3. Teraz \\((x-3)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:

\n

\\[(x - 3)(x^2 + 2) = 0\\]

\n

Krok 4. Iloczyn równa się zero, gdy przynajmniej jeden czynnik równa się zero:

\n

\\[x - 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 2 = 0\\]

\n

Pierwszy czynnik:
\\[x = 3\\]

\n

Drugi czynnik:
\\[x^2 = -2\\]

\n

Ale \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

\n

Odpowiedź: \\(x = 3\\)

\n

Sposób 2 - Metoda pierwiastków wymiernych (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych)

\n

Jeśli wielomian \\(W(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6\\) ma pierwiastek wymierny, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego \\(-6\\) (przy współczynniku wiodącym \\(1\\)).

\n

Krok 1. Wypisujemy kandydatów: dzielniki liczby \\(6\\):
\\[\\pm 1, \\quad \\pm 2, \\quad \\pm 3, \\quad \\pm 6\\]

\n

Krok 2. Sprawdzamy kolejno, podstawiając do \\(W(x)\\):

\n

\\[W(1) = 1 - 3 + 2 - 6 = -6 \\neq 0\\]
\\[W(-1) = -1 - 3 - 2 - 6 = -12 \\neq 0\\]
\\[W(2) = 8 - 12 + 4 - 6 = -6 \\neq 0\\]
\\[W(3) = 27 - 27 + 6 - 6 = 0 \\checkmark\\]

\n

Krok 3. Skoro \\(W(3) = 0\\), to \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-3)\\) schematem Hornera:

\n

| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(2\\) | \\(-6\\) |
| \\(\\times 3\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(2\\) | \\(0\\) |

\n

Obliczenia: \\(1 \\to 1\\cdot3 + (-3) = 0 \\to 0\\cdot3 + 2 = 2 \\to 2\\cdot3 + (-6) = 0\\)

\n

Zatem:
\\[W(x) = (x - 3)(x^2 + 0 \\cdot x + 2) = (x-3)(x^2 + 2)\\]

\n

Krok 4. Rozwiązujemy \\(x^2 + 2 = 0\\):
\\[x^2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{brak rozwiązań w } \\mathbb{R}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = 3\\) - potwierdza Sposób 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:

\n\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapomnieć o zbadaniu czynnika \\(x^2 + 2 = 0\\)! Uczeń może zapisać \\((x-3)(x^2+2)=0\\) i podać odpowiedź bez sprawdzenia drugiego czynnika - to błąd formalny.
\n
⚠️ Uwaga: Przy metodzie Hornera łatwo o błąd rachunkowy - zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie \\(x = 3\\) z powrotem do oryginalnego równania: \\(27 - 27 + 6 - 6 = 0\\) ✓
\n
⚠️ Uwaga: Grupowanie (Sposób 1) działa tylko wtedy, gdy wyraz wspólny \\((x-3)\\) faktycznie się pojawia w obu grupach. Jeśli grupowanie nie wychodzi, trzeba szukać pierwiastka metodą z Dz. 2 i dopiero potem dzielić wielomian.
\n

Rozwiązanie: \\(x=3\\) (jedyny pierwiastek rzeczywisty).

\n
Sposób 1 (CKE) - Grupowanie wyrazów
\n

\\[x^{3}-3x^{2}+2x-6=0\\]
\\[x^{2}(x-3)+2(x-3)=0\\]
\\[(x-3)(x^{2}+2)=0.\\]
Iloczyn równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem:

\n\n

Stąd jedyne rozwiązanie: \\(x=3\\).

\n
Sposób 2 (CKE) - Dzielenie wielomianu
\n

Sprawdzamy \\(W(3)=27-27+6-6=0\\) - więc \\((x-3)\\) jest dzielnikiem.
Dzielenie \\(x^{3}-3x^{2}+2x-6\\) przez \\((x-3)\\) (np. schemat Hornera lub dzielenie pisemne) daje iloraz \\(x^{2}+2\\).
Rówanie: \\((x-3)(x^{2}+2)=0\\), jak wyżej.

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(x=3\\): \\(27-27+6-6=0\\) ✓.
Dla \\(x=0\\): \\(-6\\ne 0\\) - nie pierwiastek.

\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Warto szukać pierwiastków wymiernych wśród dzielników wyrazu wolnego (\\(\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 6\\)). \\(x=3\\) daje zero - to "skrót" do rozkładu na czynniki.

\n
Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 3$

"}]}