{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPiąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego\nciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\nZadanie 28. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (klasyczna metoda)\n\nMamy dwie informacje o ciągu arytmetycznym z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\).\n\n**Warunek 1** - piąty wyraz:\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 26\\]\n\n**Warunek 2** - suma pięciu wyrazów:\n\\[S_5 = \\frac{2a_1 + 4r}{2} \\cdot 5 = 70\\]\n\nUpraszczamy warunek 2:\n\\[5 \\cdot (a_1 + 2r) = 70\\]\n\\[a_1 + 2r = 14\\]\n\nMamy układ równań:\n\\[\\begin{cases} a_1 + 4r = 26 \\\\ a_1 + 2r = 14 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie drugie od pierwszego:\n\\[2r = 12 \\implies r = 6\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[a_1 + 2 \\cdot 6 = 14 \\implies a_1 = 14 - 12 = 2\\]\n\n**Pierwszy wyraz ciągu: \\(a_1 = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Sprytny trick ze środkowym wyrazem\n\nDla ciągu arytmetycznego suma pięciu wyrazów spełnia:\n\\[S_5 = 5 \\cdot a_3\\]\nbo \\(a_3\\) jest środkowym (trzecim) wyrazem, a suma symetrycznych wyrazów jest stała:\n\\[a_1 + a_5 = a_2 + a_4 = 2a_3\\]\n\nZatem:\n\\[5 \\cdot a_3 = 70 \\implies a_3 = 14\\]\n\nTeraz korzystamy z tego, że \\(a_5 = a_3 + 2r\\):\n\\[26 = 14 + 2r \\implies r = 6\\]\n\nCofamy się do pierwszego wyrazu:\n\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 12 = 2\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[a_1 = 2,\\ a_2 = 8,\\ a_3 = 14,\\ a_4 = 20,\\ a_5 = 26\\]\n\\[S_5 = 2 + 8 + 14 + 20 + 26 = 70 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + 4r = 26\\)\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(S_5 = 70\\)\n\nOraz własność (wynikająca z karty):\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n- środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, co w Sposobie 2 pozwoliło nam skorzystać z \\(S_5 = 5 \\cdot a_3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla piątego wyrazu mnożnik przy \\(r\\) to **4**, nie 5. Błąd \\(a_5 = a_1 + 5r\\) to jedna z najczęstszych wpadek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć o dzieleniu przez 2. Bezpieczniej korzystać z postaci \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\), gdy znamy \\(a_n\\) - tu: \\(S_5 = \\frac{a_1 + 26}{2} \\cdot 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 działa tylko wtedy, gdy liczba wyrazów jest **nieparzysta** (wtedy istnieje środkowy wyraz). Dla parzystej liczby wyrazów korzystamy ze zwykłego układu równań.\n\n**Rozwiązanie:** \\(a_{1}=2\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Układ równań\nWzór ogólny: \\(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\); wzór na sumę: \\(S_{n}=\\dfrac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\\cdot n\\).\nDla \\(n=5\\):\n\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ \\dfrac{2a_{1}+4r}{2}\\cdot 5=70 \\end{cases}\\]\nUpraszczamy drugie: \\((2a_{1}+4r)\\cdot 5 = 140\\), czyli \\(2a_{1}+4r=28\\).\nUkład:\n\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ 2a_{1}+4r=28 \\end{cases}\\]\nOdejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a_{1}=2\\).\nPodstawiając: \\(2+4r=26 \\implies r=6\\).\n\n### Sposób 2 (CKE) - Suma jako średnia skrajnych\nDla ciągu arytmetycznego: \\(S_{5}=\\dfrac{a_{1}+a_{5}}{2}\\cdot 5\\).\n\\[\\dfrac{a_{1}+26}{2}\\cdot 5=70 \\implies a_{1}+26=28 \\implies a_{1}=2.\\]\n\n### Sposób 3 (CKE) - Bezpośrednie wypisanie\nCiąg: \\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},26\\). Dla ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna pięciu wyrazów równa się \\(a_{3}\\) (środkowy):\n\\(a_{3}=\\dfrac{70}{5}=14\\). Różnica: \\(r=\\dfrac{a_{5}-a_{3}}{2}=\\dfrac{26-14}{2}=6\\). Stąd \\(a_{1}=a_{3}-2r=14-12=2\\).\nCiąg: \\(2,8,14,20,26\\) - suma \\(2+8+14+20+26=70\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\n\\(a_{1}=2\\), \\(r=6\\); \\(a_{5}=2+4\\cdot 6=26\\) ✓; \\(S_{5}=\\dfrac{2+26}{2}\\cdot 5=70\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie układu równań lub równania \\(\\dfrac{a_{1}+26}{2}\\cdot 5=70\\).\n- **2 pkt**: obliczenie \\(a_{1}=2\\) (albo wypisanie 5 wyrazów: \\(2,8,14,20,26\\)).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ciagi","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego
ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
Zadanie 28. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań (klasyczna metoda)

\n

Mamy dwie informacje o ciągu arytmetycznym z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\).

\n

Warunek 1 - piąty wyraz:
\\[a_5 = a_1 + 4r = 26\\]

\n

Warunek 2 - suma pięciu wyrazów:
\\[S_5 = \\frac{2a_1 + 4r}{2} \\cdot 5 = 70\\]

\n

Upraszczamy warunek 2:
\\[5 \\cdot (a_1 + 2r) = 70\\]
\\[a_1 + 2r = 14\\]

\n

Mamy układ równań:
\\[\\begin{cases} a_1 + 4r = 26 \\\\ a_1 + 2r = 14 \\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy równanie drugie od pierwszego:
\\[2r = 12 \\implies r = 6\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:
\\[a_1 + 2 \\cdot 6 = 14 \\implies a_1 = 14 - 12 = 2\\]

\n

Pierwszy wyraz ciągu: \\(a_1 = 2\\)

\n

Sposób 2 - Sprytny trick ze środkowym wyrazem

\n

Dla ciągu arytmetycznego suma pięciu wyrazów spełnia:
\\[S_5 = 5 \\cdot a_3\\]
bo \\(a_3\\) jest środkowym (trzecim) wyrazem, a suma symetrycznych wyrazów jest stała:
\\[a_1 + a_5 = a_2 + a_4 = 2a_3\\]

\n

Zatem:
\\[5 \\cdot a_3 = 70 \\implies a_3 = 14\\]

\n

Teraz korzystamy z tego, że \\(a_5 = a_3 + 2r\\):
\\[26 = 14 + 2r \\implies r = 6\\]

\n

Cofamy się do pierwszego wyrazu:
\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 12 = 2\\]

\n

Weryfikacja:
\\[a_1 = 2,\\ a_2 = 8,\\ a_3 = 14,\\ a_4 = 20,\\ a_5 = 26\\]
\\[S_5 = 2 + 8 + 14 + 20 + 26 = 70 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzory dla ciągu arytmetycznego:

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + 4r = 26\\)

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(S_5 = 70\\)

\n

Oraz własność (wynikająca z karty):
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla piątego wyrazu mnożnik przy \\(r\\) to 4, nie 5. Błąd \\(a_5 = a_1 + 5r\\) to jedna z najczęstszych wpadek.
\n
⚠️ Uwaga: W wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć o dzieleniu przez 2. Bezpieczniej korzystać z postaci \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\), gdy znamy \\(a_n\\) - tu: \\(S_5 = \\frac{a_1 + 26}{2} \\cdot 5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sposób 2 działa tylko wtedy, gdy liczba wyrazów jest nieparzysta (wtedy istnieje środkowy wyraz). Dla parzystej liczby wyrazów korzystamy ze zwykłego układu równań.
\n

Rozwiązanie: \\(a_{1}=2\\).

\n
Sposób 1 (CKE) - Układ równań
\n

Wzór ogólny: \\(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\); wzór na sumę: \\(S_{n}=\\dfrac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\\cdot n\\).
Dla \\(n=5\\):
\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ \\dfrac{2a_{1}+4r}{2}\\cdot 5=70 \\end{cases}\\]
Upraszczamy drugie: \\((2a_{1}+4r)\\cdot 5 = 140\\), czyli \\(2a_{1}+4r=28\\).
Układ:
\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ 2a_{1}+4r=28 \\end{cases}\\]
Odejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a_{1}=2\\).
Podstawiając: \\(2+4r=26 \\implies r=6\\).

\n
Sposób 2 (CKE) - Suma jako średnia skrajnych
\n

Dla ciągu arytmetycznego: \\(S_{5}=\\dfrac{a_{1}+a_{5}}{2}\\cdot 5\\).
\\[\\dfrac{a_{1}+26}{2}\\cdot 5=70 \\implies a_{1}+26=28 \\implies a_{1}=2.\\]

\n
Sposób 3 (CKE) - Bezpośrednie wypisanie
\n

Ciąg: \\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},26\\). Dla ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna pięciu wyrazów równa się \\(a_{3}\\) (środkowy):
\\(a_{3}=\\dfrac{70}{5}=14\\). Różnica: \\(r=\\dfrac{a_{5}-a_{3}}{2}=\\dfrac{26-14}{2}=6\\). Stąd \\(a_{1}=a_{3}-2r=14-12=2\\).
Ciąg: \\(2,8,14,20,26\\) - suma \\(2+8+14+20+26=70\\) ✓.

\n
Weryfikacja
\n

\\(a_{1}=2\\), \\(r=6\\); \\(a_{5}=2+4\\cdot 6=26\\) ✓; \\(S_{5}=\\dfrac{2+26}{2}\\cdot 5=70\\) ✓.

\n
Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_{1} = 2$

"}]}