{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nWyznacz równanie okręgu o środku w punkcie\n(\n)\n2\n,4 -\nS\ni przechodzącego przez punkt\n(\n)\n0,0\nO =\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nZadanie 29. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(4,-2) i przechodzącego przez punkt O=(0,0).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie okręgu: \\((x-4)^2 + (y+2)^2 = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na okrąg + odległość jako promień\n\n**Krok 1: Wyznaczamy promień.**\n\nPromień to odległość od środka \\(S=(4,-2)\\) do punktu \\(O=(0,0)\\):\n\n\\[r = |SO| = \\sqrt{(4-0)^2 + (-2-0)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]\n\n**Krok 2: Podstawiamy do wzoru na okrąg.**\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nMamy \\(a=4\\), \\(b=-2\\), \\(r^2 = 20\\):\n\n\\[\\boxed{(x-4)^2 + (y+2)^2 = 20}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzamy, czy \\(O=(0,0)\\) leży na okręgu\n\nPodstawiamy \\(x=0\\), \\(y=0\\) do uzyskanego równania:\n\n\\[(0-4)^2 + (0+2)^2 = 16 + 4 = 20 \\checkmark\\]\n\nRównanie jest spełnione - punkt \\(O\\) rzeczywiście leży na okręgu.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - dwa wzory użyte łącznie:\n\n1. Długość odcinka (do obliczenia promienia):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\n2. Równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nOba wzory znajdziesz na stronach 22-23 karty. To standardowe zadanie z geometrii analitycznej - wzory stosowane jeden po drugim.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięto \\(r = 20\\) zamiast \\(r^2 = 20\\), czyli \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |\n| B | Pomylono znaki przy środku: napisano \\((x+4)^2+(y-2)^2=20\\) (minus ze wzoru potraktowano odwrotnie) |\n| D | Obliczono \\(r = \\sqrt{20}\\) poprawnie, ale wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\): \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |\n\nNajczęstszy błąd: po obliczeniu \\(r = \\sqrt{20}\\) uczeń wpisuje \\(r\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\) po prawej stronie stoi **\\(r^2\\)**, nie \\(r\\)! Skoro \\(r = \\sqrt{20}\\), to \\(r^2 = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek \\(S=(4,-2)\\) daje \\((x-4)^2 + (y-(-2))^2\\), czyli \\((y+2)^2\\) - minus i minus daje plus. Nie pisz \\((y-2)^2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie upraszczaj \\(\\sqrt{20}\\) do \\(2\\sqrt{5}\\) przed podniesieniem do kwadratu - i tak wynik \\(r^2 = 20\\) jest prostszy.\n\n**Rozwiązanie:** \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) (lub równoważnie \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\)).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie Pitagorasa w układzie\nOkrąg o środku \\(S=(4,-2)\\) ma równanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\).\nPromień to odległość środka od punktu należącego do okręgu \\(O=(0,0)\\):\n\\[r=|SO|=\\sqrt{(4-0)^{2}+(-2-0)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]\nStąd \\(r^{2}=20\\). Równanie okręgu:\n\\[(x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20.\\]\n\n### Sposób 2 (CKE) - Podstawienie punktu do wzoru\nZapisujemy ogólną postać z \\(r^{2}\\) jako niewiadomą i podstawiamy współrzędne \\(O\\):\n\\[(0-4)^{2}+(0+2)^{2}=r^{2} \\implies 16+4=r^{2} \\implies r^{2}=20.\\]\n\n### Postać ogólna\nRozwijając: \\(x^{2}-8x+16+y^{2}+4y+4=20\\), czyli \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).\n\n### Weryfikacja\nPunkt \\(O=(0,0)\\): \\((0-4)^{2}+(0+2)^{2}=16+4=20\\) ✓.\nŚrodek: \\(S=(4,-2)\\) - zgodne z postacią \\((x-4)^{2}+(y-(-2))^{2}\\).\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\) lub postaci ogólnej z niewiadomą \\(C\\) i utknięcie.\n- **2 pkt**: podanie poprawnego równania okręgu \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) lub \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"analityczna","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 29. (2 pkt)<br>Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie<br>(<br>)<br>2<br>,4 -<br>S<br>i przechodzącego przez punkt<br>(<br>)<br>0,0<br>O =<br>Odpowiedź:</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>12<br>Zadanie 29. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(4,-2) i przechodzącego przez punkt O=(0,0).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Równanie okręgu: \\((x-4)^2 + (y+2)^2 = 20\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na okrąg + odległość jako promień</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy promień.</strong></p>\n<p>Promień to odległość od środka \\(S=(4,-2)\\) do punktu \\(O=(0,0)\\):</p>\n<p>\\[r = |SO| = \\sqrt{(4-0)^2 + (-2-0)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Podstawiamy do wzoru na okrąg.</strong></p>\n<p>Wzór kanoniczny okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):<br>\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]</p>\n<p>Mamy \\(a=4\\), \\(b=-2\\), \\(r^2 = 20\\):</p>\n<p>\\[\\boxed{(x-4)^2 + (y+2)^2 = 20}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzamy, czy \\(O=(0,0)\\) leży na okręgu</h4>\n<p>Podstawiamy \\(x=0\\), \\(y=0\\) do uzyskanego równania:</p>\n<p>\\[(0-4)^2 + (0+2)^2 = 16 + 4 = 20 \\checkmark\\]</p>\n<p>Równanie jest spełnione - punkt \\(O\\) rzeczywiście leży na okręgu.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - dwa wzory użyte łącznie:</p>\n<ol><li>Długość odcinka (do obliczenia promienia):</li></ol>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]</p>\n<ol><li>Równanie okręgu w postaci kanonicznej:</li></ol>\n<p>\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]</p>\n<p>Oba wzory znajdziesz na stronach 22-23 karty. To standardowe zadanie z geometrii analitycznej - wzory stosowane jeden po drugim.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Wzięto \\(r = 20\\) zamiast \\(r^2 = 20\\), czyli \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |<br>| B | Pomylono znaki przy środku: napisano \\((x+4)^2+(y-2)^2=20\\) (minus ze wzoru potraktowano odwrotnie) |<br>| D | Obliczono \\(r = \\sqrt{20}\\) poprawnie, ale wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\): \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |</p>\n<p>Najczęstszy błąd: po obliczeniu \\(r = \\sqrt{20}\\) uczeń wpisuje \\(r\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania!</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze \\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\) po prawej stronie stoi <strong>\\(r^2\\)</strong>, nie \\(r\\)! Skoro \\(r = \\sqrt{20}\\), to \\(r^2 = 20\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środek \\(S=(4,-2)\\) daje \\((x-4)^2 + (y-(-2))^2\\), czyli \\((y+2)^2\\) - minus i minus daje plus. Nie pisz \\((y-2)^2\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie upraszczaj \\(\\sqrt{20}\\) do \\(2\\sqrt{5}\\) przed podniesieniem do kwadratu - i tak wynik \\(r^2 = 20\\) jest prostszy.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong> \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) (lub równoważnie \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\)).</p>\n<h5>Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie Pitagorasa w układzie</h5>\n<p>Okrąg o środku \\(S=(4,-2)\\) ma równanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\).<br>Promień to odległość środka od punktu należącego do okręgu \\(O=(0,0)\\):<br>\\[r=|SO|=\\sqrt{(4-0)^{2}+(-2-0)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]<br>Stąd \\(r^{2}=20\\). Równanie okręgu:<br>\\[(x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (CKE) - Podstawienie punktu do wzoru</h5>\n<p>Zapisujemy ogólną postać z \\(r^{2}\\) jako niewiadomą i podstawiamy współrzędne \\(O\\):<br>\\[(0-4)^{2}+(0+2)^{2}=r^{2} \\implies 16+4=r^{2} \\implies r^{2}=20.\\]</p>\n<h5>Postać ogólna</h5>\n<p>Rozwijając: \\(x^{2}-8x+16+y^{2}+4y+4=20\\), czyli \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Punkt \\(O=(0,0)\\): \\((0-4)^{2}+(0+2)^{2}=16+4=20\\) ✓.<br>Środek: \\(S=(4,-2)\\) - zgodne z postacią \\((x-4)^{2}+(y-(-2))^{2}\\).</p>\n<h5>Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong>: zapisanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\) lub postaci ogólnej z niewiadomą \\(C\\) i utknięcie.</li><li><strong>2 pkt</strong>: podanie poprawnego równania okręgu \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) lub \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).</li></ul>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$(x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20$ lub $x^{2}+y^{2}-8x+4y=0$</p>"}]}