{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że trójkąt o wierzchołkach\n(\n)\n3,8\nA =\n,\n(\n)\n1,2\nB =\n,\n(\n)\n6,7\nC =\njest prostokątny.\nZadanie 30. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Trójkąt jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn skalarny wektorów\n\n**Wyznaczamy wektory boków wychodzących z wierzchołka \\(A\\):**\n\n\\[\\vec{AB} = B - A = (1-3,\\ 2-8) = (-2,\\ -6)\\]\n\\[\\vec{AC} = C - A = (6-3,\\ 7-8) = (3,\\ -1)\\]\n\n**Sprawdzamy prostopadłość za pomocą iloczynu skalarnego:**\n\nDwa wektory są prostopadłe \\(\\iff\\) ich iloczyn skalarny równa się zero.\n\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = (-2) \\cdot 3 + (-6) \\cdot (-1) = -6 + 6 = 0\\]\n\n**Iloczyn skalarny wynosi \\(0\\)**, zatem \\(\\vec{AB} \\perp \\vec{AC}\\), czyli \\(AB \\perp AC\\).\n\n> **Wniosek:** Kąt przy wierzchołku \\(A\\) jest kątem prostym, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja długościami boków)\n\n**Obliczamy kwadraty długości wszystkich boków:**\n\n\\[|AB|^2 = (1-3)^2 + (2-8)^2 = (-2)^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\\]\n\n\\[|AC|^2 = (6-3)^2 + (7-8)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\\]\n\n\\[|BC|^2 = (6-1)^2 + (7-2)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\\]\n\n**Sprawdzamy warunek Pitagorasa** - czy suma kwadratów dwóch boków równa się kwadratowi najdłuższego boku:\n\n\\[|AB|^2 + |AC|^2 = 40 + 10 = 50 = |BC|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\nWarunek twierdzenia Pitagorasa jest spełniony (odwrotnego!), zatem trójkąt jest prostokątny, a \\(BC\\) jest jego przeciwprostokątną. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia kwadratów długości boków.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wektor:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1. Iloczyn skalarny \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\\) - choć nie jest na karcie wprost, wynika bezpośrednio z warunku prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\n\\[\\text{Sposób 1.5: współczynnik kierunkowy } AB = \\frac{2-8}{1-3} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]\n\\[\\text{współczynnik kierunkowy } AC = \\frac{7-8}{6-3} = \\frac{-1}{3}\\]\n\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]\n\nWarunek prostopadłości z karty (dział 11, s. 22): **proste prostopadłe** \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 (w wersji odwrotnej: jeśli \\(a^2 + b^2 = c^2\\), to trójkąt jest prostokątny).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź **wszystkie trzy pary boków** zanim uznasz, że żaden kąt nie jest prosty - kąt prosty może być przy dowolnym wierzchołku, nie zawsze przy \"oczywistym\". Tu jest przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 musisz znaleźć **największy** bok i sprawdzić, czy pozostałe dwa dają sumę kwadratów równą jego kwadratowi. Sprawdzanie złej pary (np. \\(|AB|^2 + |BC|^2\\)) da wynik nieprawdziwy i błędny wniosek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo napisanie \"obliczam długości i sprawdzam Pitagorasa\" bez pokazania, że \\(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\\) **nie jest dowodem** - musisz jawnie zweryfikować równość i powołać się na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa.\n\n**Teza:** Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa\nObliczamy kwadraty długości boków:\n\\[|AB|^{2}=(1-3)^{2}+(2-8)^{2}=4+36=40,\\]\n\\[|AC|^{2}=(6-3)^{2}+(7-8)^{2}=9+1=10,\\]\n\\[|BC|^{2}=(6-1)^{2}+(7-2)^{2}=25+25=50.\\]\nSprawdzamy: \\(|AB|^{2}+|AC|^{2}=40+10=50=|BC|^{2}\\).\nZ twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty znajduje się naprzeciw boku \\(BC\\) - czyli przy wierzchołku \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 (CKE) - Współczynniki kierunkowe\nWspółczynniki kierunkowe prostych:\n\\[a_{AB}=\\dfrac{2-8}{1-3}=\\dfrac{-6}{-2}=3, \\quad a_{AC}=\\dfrac{7-8}{6-3}=\\dfrac{-1}{3}=-\\dfrac{1}{3}.\\]\nIloczyn: \\(3\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)=-1\\), więc \\(AB\\perp AC\\). Trójkąt jest prostokątny przy \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 (CKE) - Iloczyn skalarny wektorów\n\\(\\overrightarrow{AB}=[1-3,2-8]=[-2,-6]\\), \\(\\overrightarrow{AC}=[6-3,7-8]=[3,-1]\\).\n\\[\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=(-2)\\cdot 3+(-6)\\cdot(-1)=-6+6=0.\\]\nIloczyn skalarny zerowy oznacza prostopadłość wektorów, więc kąt \\(\\sphericalangle BAC=90^{\\circ}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Weryfikacja numeryczna\n\\(|AB|=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\approx 6{,}32\\); \\(|AC|=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); \\(|BC|=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\).\n\\(40+10=50\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: obliczenie długości boków lub współczynników kierunkowych / iloczynu skalarnego.\n- **2 pkt**: przeprowadzenie pełnego rozumowania zakończonego wnioskiem o prostokątności (np. z tw. odwrotnego do Pitagorasa).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach
(
)
3,8
A =
,
(
)
1,2
B =
,
(
)
6,7
C =
jest prostokątny.
Zadanie 30. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Trójkąt jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\)

\n

Sposób 1 - Iloczyn skalarny wektorów

\n

Wyznaczamy wektory boków wychodzących z wierzchołka \\(A\\):

\n

\\[\\vec{AB} = B - A = (1-3,\\ 2-8) = (-2,\\ -6)\\]
\\[\\vec{AC} = C - A = (6-3,\\ 7-8) = (3,\\ -1)\\]

\n

Sprawdzamy prostopadłość za pomocą iloczynu skalarnego:

\n

Dwa wektory są prostopadłe \\(\\iff\\) ich iloczyn skalarny równa się zero.

\n

\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = (-2) \\cdot 3 + (-6) \\cdot (-1) = -6 + 6 = 0\\]

\n

Iloczyn skalarny wynosi \\(0\\), zatem \\(\\vec{AB} \\perp \\vec{AC}\\), czyli \\(AB \\perp AC\\).

\n
Wniosek: Kąt przy wierzchołku \\(A\\) jest kątem prostym, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. \\(\\blacksquare\\)
\n

Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja długościami boków)

\n

Obliczamy kwadraty długości wszystkich boków:

\n

\\[|AB|^2 = (1-3)^2 + (2-8)^2 = (-2)^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\\]

\n

\\[|AC|^2 = (6-3)^2 + (7-8)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\\]

\n

\\[|BC|^2 = (6-1)^2 + (7-2)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\\]

\n

Sprawdzamy warunek Pitagorasa - czy suma kwadratów dwóch boków równa się kwadratowi najdłuższego boku:

\n

\\[|AB|^2 + |AC|^2 = 40 + 10 = 50 = |BC|^2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Warunek twierdzenia Pitagorasa jest spełniony (odwrotnego!), zatem trójkąt jest prostokątny, a \\(BC\\) jest jego przeciwprostokątną. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia kwadratów długości boków.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wektor:
\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]
Użyliśmy w Sposobie 1. Iloczyn skalarny \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\\) - choć nie jest na karcie wprost, wynika bezpośrednio z warunku prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):

\n

\\[\\text{Sposób 1.5: współczynnik kierunkowy } AB = \\frac{2-8}{1-3} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]
\\[\\text{współczynnik kierunkowy } AC = \\frac{7-8}{6-3} = \\frac{-1}{3}\\]
\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]

\n

Warunek prostopadłości z karty (dział 11, s. 22): proste prostopadłe \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 (w wersji odwrotnej: jeśli \\(a^2 + b^2 = c^2\\), to trójkąt jest prostokątny).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź wszystkie trzy pary boków zanim uznasz, że żaden kąt nie jest prosty - kąt prosty może być przy dowolnym wierzchołku, nie zawsze przy "oczywistym". Tu jest przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 musisz znaleźć największy bok i sprawdzić, czy pozostałe dwa dają sumę kwadratów równą jego kwadratowi. Sprawdzanie złej pary (np. \\(|AB|^2 + |BC|^2\\)) da wynik nieprawdziwy i błędny wniosek.
\n
⚠️ Uwaga: Samo napisanie "obliczam długości i sprawdzam Pitagorasa" bez pokazania, że \\(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\\) nie jest dowodem - musisz jawnie zweryfikować równość i powołać się na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa.
\n

Teza: Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\).

\n
Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa
\n

Obliczamy kwadraty długości boków:
\\[|AB|^{2}=(1-3)^{2}+(2-8)^{2}=4+36=40,\\]
\\[|AC|^{2}=(6-3)^{2}+(7-8)^{2}=9+1=10,\\]
\\[|BC|^{2}=(6-1)^{2}+(7-2)^{2}=25+25=50.\\]
Sprawdzamy: \\(|AB|^{2}+|AC|^{2}=40+10=50=|BC|^{2}\\).
Z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty znajduje się naprzeciw boku \\(BC\\) - czyli przy wierzchołku \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 (CKE) - Współczynniki kierunkowe
\n

Współczynniki kierunkowe prostych:
\\[a_{AB}=\\dfrac{2-8}{1-3}=\\dfrac{-6}{-2}=3, \\quad a_{AC}=\\dfrac{7-8}{6-3}=\\dfrac{-1}{3}=-\\dfrac{1}{3}.\\]
Iloczyn: \\(3\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)=-1\\), więc \\(AB\\perp AC\\). Trójkąt jest prostokątny przy \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 3 (CKE) - Iloczyn skalarny wektorów
\n

\\(\\overrightarrow{AB}=[1-3,2-8]=[-2,-6]\\), \\(\\overrightarrow{AC}=[6-3,7-8]=[3,-1]\\).
\\[\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=(-2)\\cdot 3+(-6)\\cdot(-1)=-6+6=0.\\]
Iloczyn skalarny zerowy oznacza prostopadłość wektorów, więc kąt \\(\\sphericalangle BAC=90^{\\circ}\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Weryfikacja numeryczna
\n

\\(|AB|=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\approx 6{,}32\\); \\(|AC|=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); \\(|BC|=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\).
\\(40+10=50\\) ✓.

\n
Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)
\n"}]}