Zadanie 31. (2 pkt)
Wykaż, że jeżeli
0
a >
i
0
b >
oraz
2
2
a
b
a
b
, to a
b
lub
1
a
b
Poziom podstawowy
13
Zadanie 31. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz pierwiastek z a^2+b = pierwiastek z a+b^2, to a=b lub a+b=1.
To zadanie otwarte - należy przeprowadzić pełny dowód algebraiczny.
\nPunkt wyjścia: skoro obie strony są pierwiastkami liczb nieujemnych (a więc same są nieujemne), możemy podnieść równanie do kwadratu - równoważnie.
\n\\[\\sqrt{a^2 + b} = \\sqrt{a + b^2}\\]
\nPodnosimy obie strony do kwadratu (obie strony są $\\geq 0$, więc operacja jest równoważna):
\n\\[a^2 + b = a + b^2\\]
\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:
\n\\[a^2 - b^2 - a + b = 0\\]
\nGrupujemy wyraz różnicy kwadratów i resztę:
\n\\[(a^2 - b^2) - (a - b) = 0\\]
\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
\n\\[(a - b)(a + b) - (a - b) = 0\\]
\nWyciągamy $(a - b)$ przed nawias:
\n\\[(a - b)(a + b - 1) = 0\\]
\nIloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:
\n\\[a - b = 0 \\quad \\text{lub} \\quad a + b - 1 = 0\\]
\n\\[\\boxed{a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 1}\\]
\nCo ważne: nie musimy sprawdzać, czy $a + b = 1$ jest osiągalne przy $a > 0$, $b > 0$ - pytanie tylko o to, że jeśli warunek zachodzi, to wynika jedna z dwóch alternatyw. Obie są możliwe (np. $a = b = 0{,}5$ spełnia oba jednocześnie; $a = 0{,}3,\\ b = 0{,}7$ spełnia tylko $a+b=1$; $a = b = 2$ spełnia tylko $a=b$). $\\square$
\nPomysł: przepiszemy równanie jako równość wartości pewnej funkcji, a potem opiszemy, kiedy ta funkcja przyjmuje równe wartości.
\nZ kroku pośredniego (po podniesieniu do kwadratu):
\n\\[a^2 + b = a + b^2\\]
\nPrzestawiamy:
\n\\[a^2 - a = b^2 - b\\]
\nWprowadzamy funkcję \\(f(t) = t^2 - t\\). Warunek mówi, że:
\n\\[f(a) = f(b)\\]
\nKiedy funkcja kwadratowa $f(t) = t^2 - t$ przyjmuje tę samą wartość w dwóch punktach?
\nWierzchołek paraboli jest w $t = \\frac{1}{2}$, więc parabola jest symetryczna względem prostej $t = \\frac{1}{2}$.
\nDwa argumenty dają tę samą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy są symetryczne względem wierzchołka:
\n\\[a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\]
\nCzyli:
\n\\[\\boxed{a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 1} \\quad \\square\\]
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozłożenia wyrażenia $a^2 - b^2$ na czynniki, co umożliwiło wyciągnięcie wspólnego czynnika $(a - b)$ i rozstrzygnięcie, kiedy iloczyn jest zerem.
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 - oś symetrii paraboli $f(t) = t^2 - t$ to $t = \\frac{1}{2}$, co pozwoliło opisać wszystkie pary $(a, b)$ dające $f(a) = f(b)$.
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów podnosi do kwadratu bez uzasadnienia. Tutaj jest to bezpieczne, bo obie strony są pierwiastkami, więc są nieujemne - podniesienie do kwadratu jest operacją równoważną. Zawsze warto to zaznaczyć w dowodzie!\n
⚠️ Uwaga: Po otrzymaniu $a^2 - b^2 - a + b = 0$ łatwo pogubić się w grupowaniu. Kluczowe jest dostrzeżenie, że $-a + b = -(a - b)$, co pozwala wyciągnąć wspólny czynnik $(a-b)$.\n
⚠️ Uwaga: Zadanie wymaga dowodu w obie strony implikacji? Nie! Treść brzmi „wykaż, że jeżeli to" - wystarczy pokazać, że z założenia wynika konkluzja. Nie trzeba sprawdzać, kiedy oba warunki są spełnione jednocześnie.\n
Teza: przy \\(a>0,\\ b>0\\), z równości \\(\\sqrt{a^{2}+b}=\\sqrt{a+b^{2}}\\) wynika, że \\(a=b\\) lub \\(a+b=1\\).
\nZ założenia \\(a,b>0\\) wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie i pierwiastki są liczbami nieujemnymi, więc możemy podnieść obustronnie do kwadratu:
\\[\\sqrt{a^{2}+b}=\\sqrt{a+b^{2}} \\quad \\Big\\vert\\ (\\cdot)^{2}\\]
\\[a^{2}+b=a+b^{2}.\\]
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\\[a^{2}-b^{2}+b-a=0.\\]
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów \\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\\) oraz zauważamy \\(b-a=-(a-b)\\):
\\[(a-b)(a+b)-(a-b)=0.\\]
Wyłączamy \\((a-b)\\) przed nawias:
\\[(a-b)\\bigl[(a+b)-1\\bigr]=0.\\]
Iloczyn równy zeru - co najmniej jeden czynnik jest zerem:
Zatem \\(a=b\\) lub \\(a+b=1\\), co należało udowodnić. \\(\\blacksquare\\)
\nKluczowy krok: zgrupowanie \\(a^{2}-b^{2}\\) i \\(b-a\\), a następnie wyciągnięcie wspólnego czynnika \\((a-b)\\). Znak minus przy \\(a-b\\) (bo \\(b-a=-(a-b)\\)) bywa źródłem błędów.
\nUwaga: podstawienie konkretnych wartości \\(a,b\\) - 0 pkt (nie dowód).
"}]}