Zadanie 32. (4 pkt)
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6
i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
14
Zadanie 32. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych:
\nRzucamy dwiema kostkami, więc wszystkich możliwych wyników jest:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]
Analizujemy oba warunki jednocześnie.
\nWarunek 1: iloczyn jest nieparzysty
\nIloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.
\nLiczby nieparzyste na kostce: \\(1, 3, 5\\) - jest ich \\(3\\).
\nPary, gdzie obie kostki pokazują liczbę nieparzystą:
\n| Kostka 1 | Kostka 2 | Suma | Iloczyn | Suma \\(> 6\\)? |
| 1 | 1 | 2 | 1 | ❌ |
| 1 | 3 | 4 | 3 | ❌ |
| 1 | 5 | 6 | 5 | ❌ (równo 6, nie więcej) |
| 3 | 1 | 4 | 3 | ❌ |
| 3 | 3 | 6 | 9 | ❌ |
| 3 | 5 | 8 | 15 | ✓ |
| 5 | 1 | 6 | 5 | ❌ |
| 5 | 3 | 8 | 15 | ✓ |
| 5 | 5 | 10 | 25 | ✓ |
Sprzyjające zdarzenie - spełnione OBA warunki jednocześnie - to trzy wyniki: \\((3,5),\\ (5,3),\\ (5,5)\\).
\nPrawdopodobieństwo:
\\[P = \\frac{3}{36} = \\boxed{\\frac{1}{12}}\\]
Zdefiniujmy zdarzenia:
\nSzukamy \\(P(A \\cap B)\\).
\nZdarzenie \\(A\\): obie kostki z \\(\\{1,3,5\\}\\), więc:
\\[P(A) = \\frac{3}{6} \\cdot \\frac{3}{6} = \\frac{9}{36} = \\frac{1}{4}\\]
Zdarzenie \\(A \\cap B\\) - szukamy par nieparzystych \\((a,b)\\), takich że \\(a+b > 6\\).
\nDla par z \\(\\{1,3,5\\}^2\\) sumy to: \\(2, 4, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 10\\).
\nSumy większe od \\(6\\) (czyli \\(\\geq 7\\)): \\(8, 8, 10\\) - dokładnie 3 pary.
\n\\[P(A \\cap B) = \\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
gdzie \\(|A|\\) to liczba wyników sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) - liczba wszystkich wyników.
Użyliśmy tego wzoru jako podstawy: \\(|\\Omega| = 36\\), \\(|A \\cap B| = 3\\), stąd \\(P = \\frac{3}{36}\\).
\n⚠️ Uwaga: „Większy od 6" to znaczy \\(> 6\\), czyli co najmniej 7. Suma równa \\(6\\) nie spełnia warunku! Pary \\((1,5),\\ (5,1),\\ (3,3)\\) mają sumę dokładnie \\(6\\) - wielu uczniów błędnie je wlicza.\n
⚠️ Uwaga: Iloczyn jest nieparzysty tylko gdy OBA czynniki są nieparzyste. Jeśli choć jedna kostka pokaże liczbę parzystą, iloczyn od razu staje się parzysty. To częsty błąd polegający na sprawdzaniu tylko jednej kostki.\n
⚠️ Uwaga: Zdarzenia „suma \\(> 6\\)" i „iloczyn nieparzysty" są zależne - nie można mnożyć ich prawdopodobieństw jak dla zdarzeń niezależnych. Jedyna bezpieczna metoda to wypisanie wspólnych przypadków.\n
Rozwiązanie: \\(P(A)=\\dfrac{1}{12}\\).
\nZdarzenia elementarne: pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). Są równoprawdopodobne, więc mamy model klasyczny i \\(|\\Omega|=6\\cdot 6=36\\).
\nNiech \\(A\\) - suma \\(>6\\) oraz iloczyn nieparzysty.
\nWarunek iloczynu nieparzystego: iloczyn \\(x\\cdot y\\) jest nieparzysty \\(\\iff\\) oba czynniki są nieparzyste. Stąd \\(x,y\\in\\{1,3,5\\}\\).
\nWypisujemy wszystkie pary z \\(\\{1,3,5\\}^{2}\\) i sprawdzamy, które dają sumę \\(>6\\):
\nZatem \\(A=\\{(3,5),(5,3),(5,5)\\}\\), \\(|A|=3\\).
\n\\[P(A)=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|}=\\dfrac{3}{36}=\\dfrac{1}{12}.\\]
\nKażdy rzut niezależny; \\(P(\\text{konkretna para})=\\dfrac{1}{6}\\cdot\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{1}{36}\\). Trzy sprzyjające pary dają
\\[\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{36}=\\dfrac{3}{36}=\\dfrac{1}{12}.\\]
Zliczenie pasujących par jest bezpośrednie i daje dokładnie 3 z 36; \\(P(A)=\\dfrac{1}{12}\\approx 0{,}083\\).
\nUwaga: jeśli wynik \\(P(A)>1\\) - 0 pkt.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\dfrac{1}{12}$
"}]}