{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nKolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą\no 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią\nprędkością jechał ten kolarz.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Pą_ąP-104\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma za zad. 26-34\n0\n17\n25\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n1\n9\n2\n10\n11\n3\n4\n12\n5\n13\n6\n14\n7\n15\n8\n16\n24\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nZadanie 34. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 24 km/h\n\n## Sposób 1 - Równanie z definicji czasu\n\n**Oznaczenie zmiennej:**\nNiech \\(v\\) oznacza średnią prędkość kolarza (w km/h).\n\n**Wyrażamy czasy przejazdu:**\n\nCzas przy prędkości \\(v\\):\n\\[t_1 = \\frac{60}{v} \\text{ [godz.]}\\]\n\nCzas przy prędkości \\(v + 1\\):\n\\[t_2 = \\frac{60}{v+1} \\text{ [godz.]}\\]\n\n**Przeliczamy 6 minut na godziny:**\n\\[6 \\text{ min} = \\frac{6}{60} \\text{ godz.} = \\frac{1}{10} \\text{ godz.}\\]\n\n**Zapisujemy równanie** (szybsza jazda = czas krótszy o \\(\\frac{1}{10}\\) h):\n\\[\\frac{60}{v} - \\frac{60}{v+1} = \\frac{1}{10}\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(10v(v+1)\\):**\n\\[600(v+1) - 600v = v(v+1)\\]\n\\[600v + 600 - 600v = v^2 + v\\]\n\\[600 = v^2 + v\\]\n\\[v^2 + v - 600 = 0\\]\n\n**Wyznaczamy deltę:**\n\\[\\Delta = 1^2 + 4 \\cdot 600 = 1 + 2400 = 2401 = 49^2\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\\[v = \\frac{-1 \\pm 49}{2}\\]\n\\[v_1 = \\frac{-1 + 49}{2} = \\frac{48}{2} = 24, \\qquad v_2 = \\frac{-1 - 49}{2} = -25\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -25\\) odrzucamy.\n\n**Kolarz jechał z prędkością \\(v = 24\\) km/h.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunków zadania\n\nSprawdzamy, czy \\(v = 24\\) km/h spełnia oba warunki zadania:\n\nCzas przy prędkości \\(24\\) km/h:\n\\[t_1 = \\frac{60}{24} = \\frac{5}{2} \\text{ godz.} = 150 \\text{ min}\\]\n\nCzas przy prędkości \\(24 + 1 = 25\\) km/h:\n\\[t_2 = \\frac{60}{25} = \\frac{12}{5} \\text{ godz.} = 144 \\text{ min}\\]\n\nRóżnica czasów:\n\\[t_1 - t_2 = 150 - 144 = 6 \\text{ min} \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z treścią zadania - **rozwiązanie poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania \\(v^2 + v - 600 = 0\\), gdzie \\(a=1\\), \\(b=1\\), \\(c=-600\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas \\(= \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\) - nie prędkość razy droga! Odwrotna zależność jest tutaj kluczowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 6 minut to **nie** \\(6\\) godzin! Obowiązkowo przelicz na godziny: \\(6 \\text{ min} = \\frac{1}{10}\\) h. To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie da dwa pierwiastki - jeden ujemny, jeden dodatni. Prędkość jest zawsze dodatnia, więc ujemny pierwiastek **odrzucamy** i koniecznie to zaznaczamy w rozwiązaniu (egzaminator sprawdza, czy o tym pamiętasz).\n\n**Rozwiązanie:** \\(v=24\\) km/h.\n\n### Sposób 1 (CKE) - Układ równań \\(\\to\\) równanie kwadratowe w \\(v\\)\nNiech \\(v\\) - średnia prędkość (km/h), \\(t\\) - czas (h). \\(6\\) minut \\(=0{,}1\\) h. Warunki:\n\\[\\begin{cases} v\\cdot t = 60 \\\\ (v+1)(t-0{,}1)=60 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego równania \\(t=\\dfrac{60}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[(v+1)\\left(\\dfrac{60}{v}-0{,}1\\right)=60.\\]\nMnożymy:\n\\[60-0{,}1v+\\dfrac{60}{v}-0{,}1=60,\\]\n\\[\\dfrac{60}{v}-0{,}1v-0{,}1=0 \\quad \\Big\\vert \\cdot 10v\\]\n\\[600-v^{2}-v=0 \\iff v^{2}+v-600=0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta=1+2400=2401\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=49\\).\n\\[v_{1}=\\dfrac{-1+49}{2}=24, \\qquad v_{2}=\\dfrac{-1-49}{2}=-25.\\]\nWarunek \\(v>0\\) eliminuje \\(v_{2}\\). Stąd \\(v=24\\) km/h.\n\n### Sposób 2 (CKE) - Równanie w \\(t\\)\nZ warunków: \\(v=\\dfrac{60}{t}\\) i \\(v+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1}\\). Stąd\n\\[\\dfrac{60}{t}+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1} \\quad\\big\\vert \\cdot t(t-0{,}1)\\]\n\\[60(t-0{,}1)+t(t-0{,}1)=60t\\]\n\\[60t-6+t^{2}-0{,}1t-60t=0 \\iff t^{2}-0{,}1t-6=0.\\]\n\\(\\Delta=0{,}01+24=24{,}01\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=4{,}9\\).\n\\(t_{1}=\\dfrac{0{,}1+4{,}9}{2}=2{,}5\\) h; \\(t_{2}=-2{,}4\\) h odpada (\\(t>0\\)).\nStąd \\(v=\\dfrac{60}{2{,}5}=24\\) km/h.\n\n### Weryfikacja\n\\(v=24,\\ t=2{,}5\\) h: \\(24\\cdot 2{,}5=60\\) ✓.\n\\(v+1=25,\\ t-0{,}1=2{,}4\\) h: \\(25\\cdot 2{,}4=60\\) ✓.\nSkrócenie czasu: \\(2{,}5-2{,}4=0{,}1\\) h \\(=6\\) min ✓.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nTrzeba zamienić \\(6\\) min na godziny (\\(=0{,}1\\) h), aby zachować jednostki. Częsty błąd: pisanie \\(t+0{,}1\\) zamiast \\(t-0{,}1\\) (kolarz jadący szybciej jedzie krócej).\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 5 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie jednego z równań, np. \\(60=(v+1)(t-0{,}1)\\) albo \\(v\\cdot t=60\\).\n- **2 pkt**: zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \\(v,\\ t\\).\n- **3 pkt**: sprowadzenie do jednej niewiadomej i równania wymiernego.\n- **4 pkt**: rozwiązanie do końca z drobnymi usterkami rachunkowymi albo doprowadzenie do równania kwadratowego \\(v^{2}+v-600=0\\).\n- **5 pkt**: obliczenie \\(v=24\\) km/h.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"algebra","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą
o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią
prędkością jechał ten kolarz.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
16
BRUDNOPIS

\n

MMA-Pą_ąP-104
PESEL
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
WYPEŁNIA EGZAMINATOR
Suma za zad. 26-34
0
17
25
18
19
20
21
22
23
1
9
2
10
11
3
4
12
5
13
6
14
7
15
8
16
24
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJĄCEGO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowiedzi
Nr
zad.
Miejsce na naklejkę
z nr PESEL
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Zadanie 34. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 24 km/h

\n

Sposób 1 - Równanie z definicji czasu

\n

Oznaczenie zmiennej:
Niech \\(v\\) oznacza średnią prędkość kolarza (w km/h).

\n

Wyrażamy czasy przejazdu:

\n

Czas przy prędkości \\(v\\):
\\[t_1 = \\frac{60}{v} \\text{ [godz.]}\\]

\n

Czas przy prędkości \\(v + 1\\):
\\[t_2 = \\frac{60}{v+1} \\text{ [godz.]}\\]

\n

Przeliczamy 6 minut na godziny:
\\[6 \\text{ min} = \\frac{6}{60} \\text{ godz.} = \\frac{1}{10} \\text{ godz.}\\]

\n

Zapisujemy równanie (szybsza jazda = czas krótszy o \\(\\frac{1}{10}\\) h):
\\[\\frac{60}{v} - \\frac{60}{v+1} = \\frac{1}{10}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(10v(v+1)\\):
\\[600(v+1) - 600v = v(v+1)\\]
\\[600v + 600 - 600v = v^2 + v\\]
\\[600 = v^2 + v\\]
\\[v^2 + v - 600 = 0\\]

\n

Wyznaczamy deltę:
\\[\\Delta = 1^2 + 4 \\cdot 600 = 1 + 2400 = 2401 = 49^2\\]

\n

Pierwiastki:
\\[v = \\frac{-1 \\pm 49}{2}\\]
\\[v_1 = \\frac{-1 + 49}{2} = \\frac{48}{2} = 24, \\qquad v_2 = \\frac{-1 - 49}{2} = -25\\]

\n

Prędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -25\\) odrzucamy.

\n

Kolarz jechał z prędkością \\(v = 24\\) km/h.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunków zadania

\n

Sprawdzamy, czy \\(v = 24\\) km/h spełnia oba warunki zadania:

\n

Czas przy prędkości \\(24\\) km/h:
\\[t_1 = \\frac{60}{24} = \\frac{5}{2} \\text{ godz.} = 150 \\text{ min}\\]

\n

Czas przy prędkości \\(24 + 1 = 25\\) km/h:
\\[t_2 = \\frac{60}{25} = \\frac{12}{5} \\text{ godz.} = 144 \\text{ min}\\]

\n

Różnica czasów:
\\[t_1 - t_2 = 150 - 144 = 6 \\text{ min} \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się z treścią zadania - rozwiązanie poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tego do rozwiązania równania \\(v^2 + v - 600 = 0\\), gdzie \\(a=1\\), \\(b=1\\), \\(c=-600\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Czas \\(= \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\) - nie prędkość razy droga! Odwrotna zależność jest tutaj kluczowa.
\n
⚠️ Uwaga: 6 minut to nie \\(6\\) godzin! Obowiązkowo przelicz na godziny: \\(6 \\text{ min} = \\frac{1}{10}\\) h. To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie da dwa pierwiastki - jeden ujemny, jeden dodatni. Prędkość jest zawsze dodatnia, więc ujemny pierwiastek odrzucamy i koniecznie to zaznaczamy w rozwiązaniu (egzaminator sprawdza, czy o tym pamiętasz).
\n

Rozwiązanie: \\(v=24\\) km/h.

\n
Sposób 1 (CKE) - Układ równań \\(\\to\\) równanie kwadratowe w \\(v\\)
\n

Niech \\(v\\) - średnia prędkość (km/h), \\(t\\) - czas (h). \\(6\\) minut \\(=0{,}1\\) h. Warunki:
\\[\\begin{cases} v\\cdot t = 60 \\\\ (v+1)(t-0{,}1)=60 \\end{cases}\\]
Z pierwszego równania \\(t=\\dfrac{60}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[(v+1)\\left(\\dfrac{60}{v}-0{,}1\\right)=60.\\]
Mnożymy:
\\[60-0{,}1v+\\dfrac{60}{v}-0{,}1=60,\\]
\\[\\dfrac{60}{v}-0{,}1v-0{,}1=0 \\quad \\Big\\vert \\cdot 10v\\]
\\[600-v^{2}-v=0 \\iff v^{2}+v-600=0.\\]
Wyróżnik: \\(\\Delta=1+2400=2401\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=49\\).
\\[v_{1}=\\dfrac{-1+49}{2}=24, \\qquad v_{2}=\\dfrac{-1-49}{2}=-25.\\]
Warunek \\(v>0\\) eliminuje \\(v_{2}\\). Stąd \\(v=24\\) km/h.

\n
Sposób 2 (CKE) - Równanie w \\(t\\)
\n

Z warunków: \\(v=\\dfrac{60}{t}\\) i \\(v+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1}\\). Stąd
\\[\\dfrac{60}{t}+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1} \\quad\\big\\vert \\cdot t(t-0{,}1)\\]
\\[60(t-0{,}1)+t(t-0{,}1)=60t\\]
\\[60t-6+t^{2}-0{,}1t-60t=0 \\iff t^{2}-0{,}1t-6=0.\\]
\\(\\Delta=0{,}01+24=24{,}01\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=4{,}9\\).
\\(t_{1}=\\dfrac{0{,}1+4{,}9}{2}=2{,}5\\) h; \\(t_{2}=-2{,}4\\) h odpada (\\(t>0\\)).
Stąd \\(v=\\dfrac{60}{2{,}5}=24\\) km/h.

\n
Weryfikacja
\n

\\(v=24,\\ t=2{,}5\\) h: \\(24\\cdot 2{,}5=60\\) ✓.
\\(v+1=25,\\ t-0{,}1=2{,}4\\) h: \\(25\\cdot 2{,}4=60\\) ✓.
Skrócenie czasu: \\(2{,}5-2{,}4=0{,}1\\) h \\(=6\\) min ✓.

\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Trzeba zamienić \\(6\\) min na godziny (\\(=0{,}1\\) h), aby zachować jednostki. Częsty błąd: pisanie \\(t+0{,}1\\) zamiast \\(t-0{,}1\\) (kolarz jadący szybciej jedzie krócej).

\n
Schemat oceniania (CKE, max 5 pkt)
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$24$ km/h

"}]}