{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.\n2\nx\n-4\nA.\n1\n3\nx -\n<\nB.\n1\n3\nx +\n<\nC.\n1\n3\nx +\n>\nD.\n1\n3\nx -\n>\nZadanie 4. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-1|<3 B. |x+1|<3 C. |x+1|>3 D. |x-1|>3","answer":"B","answer_text":"26\na\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPoprawna odpowiedź to **B**: \\(-4 < x < 2\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z osi liczbowej\n\nNa osi liczbowej zaznaczono przedział z końcami \\(-4\\) i \\(2\\). Kluczowa informacja: **przedział otwarty** - oba końce są wykluczone (puste kółka na osi).\n\nOdczytujemy wprost:\n\n- Lewa granica: \\(-4\\) - wykluczona → znak ostry \\(<\\)\n- Prawa granica: \\(2\\) - wykluczona → znak ostry \\(<\\)\n\nWszystkie liczby \\(x\\) należące do zaznaczonego przedziału spełniają:\n\\[-4 < x < 2\\]\n\n**To jest odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Zapis przez wartość bezwzględną (weryfikacja)\n\nPrzedział otwarty \\((-4,\\ 2)\\) można opisać przez wartość bezwzględną. Środek przedziału to:\n\\[m = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nPołowa długości przedziału to:\n\\[r = \\frac{2 - (-4)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\nWarunek należenia do przedziału: odległość od środka \\(-1\\) jest mniejsza niż \\(3\\):\n\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]\n\nSprawdzamy, że to odpowiada \\(-4 < x < 2\\):\n\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu osi liczbowej i znajomość definicji przedziału otwartego.\n\nDla zainteresowanych: zapis przez wartość bezwzględną pochodzi z:\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)**:\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Użyto znaków \\(\\leq\\) zamiast \\(<\\) - jakby końce były domknięte: \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) |\n| C | Zamieniono strony: \\(2 < x < -4\\) - nierówność bez sensu (pusty zbiór) lub pomylono kierunek |\n| D | Użyto znaków \\(\\geq\\) / \\(\\leq\\) z odwróconym kierunkiem - opis przedziału zewnętrznego lub domkniętego |\n\n*(Dokładne treści odpowiedzi A, C, D zależą od arkusza - analiza dotyczy typowych wariantów błędnych.)*\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na osi = koniec **wykluczony** = znak ostry \\(<\\) lub \\(>\\). Pełne kółko = koniec **włączony** = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapis \\(-4 < x < 2\\) oznacza, że \\(x\\) jest **między** \\(-4\\) a \\(2\\), czyli \\(x\\) jest jednocześnie większe od \\(-4\\) i mniejsze od \\(2\\). Nie mylić z \"lub\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-4, 2)\\) to **notacja matematyczna** przedziału otwartego - nie mylić z punktem o współrzędnych \\((-4, 2)\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(|x+1|<3\\).\n\n### Sposób 1 - Środek i promień przedziału\nPrzedział \\((-4,2)\\) ma środek \\(\\dfrac{-4+2}{2}=-1\\) i promień \\(\\dfrac{2-(-4)}{2}=3\\).\nZbiór liczb oddalonych od \\(-1\\) o mniej niż \\(3\\) to \\(|x-(-1)|<3\\), czyli \\(|x+1|<3\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie nierówności\n\\[|x+1|<3 \\iff -33\\) - dopełnienie, czyli \\(x<-4\\) lub \\(x>2\\).\n- D: \\(|x-1|>3 \\iff x<-2\\) lub \\(x>4\\) - nie pasuje.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
2
x
-4
A.
1
3
x -
<
B.
1
3
x +
<
C.
1
3
x +

\n
\n

D.
1
3
x -

\n
\n

Zadanie 4. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-1|<3 B. |x+1|<3 C. |x+1|>3 D. |x-1|>3

","answer_text_html":"

26
a
1

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Poprawna odpowiedź to B: \\(-4 < x < 2\\)

\n

Sposób 1 - Odczyt z osi liczbowej

\n

Na osi liczbowej zaznaczono przedział z końcami \\(-4\\) i \\(2\\). Kluczowa informacja: przedział otwarty - oba końce są wykluczone (puste kółka na osi).

\n

Odczytujemy wprost:

\n\n

Wszystkie liczby \\(x\\) należące do zaznaczonego przedziału spełniają:
\\[-4 < x < 2\\]

\n

To jest odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Zapis przez wartość bezwzględną (weryfikacja)

\n

Przedział otwarty \\((-4,\\ 2)\\) można opisać przez wartość bezwzględną. Środek przedziału to:
\\[m = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]

\n

Połowa długości przedziału to:
\\[r = \\frac{2 - (-4)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n

Warunek należenia do przedziału: odległość od środka \\(-1\\) jest mniejsza niż \\(3\\):
\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]

\n

Sprawdzamy, że to odpowiada \\(-4 < x < 2\\):
\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu osi liczbowej i znajomość definicji przedziału otwartego.

\n

Dla zainteresowanych: zapis przez wartość bezwzględną pochodzi z:

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4):
\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Użyto znaków \\(\\leq\\) zamiast \\(<\\) - jakby końce były domknięte: \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) |
| C | Zamieniono strony: \\(2 < x < -4\\) - nierówność bez sensu (pusty zbiór) lub pomylono kierunek |
| D | Użyto znaków \\(\\geq\\) / \\(\\leq\\) z odwróconym kierunkiem - opis przedziału zewnętrznego lub domkniętego |

\n

(Dokładne treści odpowiedzi A, C, D zależą od arkusza - analiza dotyczy typowych wariantów błędnych.)

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Puste kółko na osi = koniec wykluczony = znak ostry \\(<\\) lub \\(>\\). Pełne kółko = koniec włączony = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\). To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Zapis \\(-4 < x < 2\\) oznacza, że \\(x\\) jest między \\(-4\\) a \\(2\\), czyli \\(x\\) jest jednocześnie większe od \\(-4\\) i mniejsze od \\(2\\). Nie mylić z "lub"!
\n
⚠️ Uwaga: Przedział \\((-4, 2)\\) to notacja matematyczna przedziału otwartego - nie mylić z punktem o współrzędnych \\((-4, 2)\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: B - \\(|x+1|<3\\).

\n
Sposób 1 - Środek i promień przedziału
\n

Przedział \\((-4,2)\\) ma środek \\(\\dfrac{-4+2}{2}=-1\\) i promień \\(\\dfrac{2-(-4)}{2}=3\\).
Zbiór liczb oddalonych od \\(-1\\) o mniej niż \\(3\\) to \\(|x-(-1)|<3\\), czyli \\(|x+1|<3\\).

\n
Sposób 2 - Rozwiązanie nierówności
\n

\\[|x+1|<3 \\iff -3<x+1<3 \\iff -4<x<2.\\]
To dokładnie zaznaczony przedział.

\n
Weryfikacja
\n\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}