{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n4\n0\n4\n4\nx\nx\nx\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie cztery rozwiązania.\nZadanie 8. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Równanie { x^2-4 / (x-4)(x+4) } = 0 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.","answer":"C","answer_text":"7\n8\n1\n7\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania ułamka\n\n**Kluczowa zasada:** ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0** i jednocześnie **mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę** - mianownik nie może być zerem.\n\\[(x-4)(x+4) \\neq 0 \\implies x \\neq 4 \\text{ oraz } x \\neq -4\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera.**\n\\[x^2 - 4 = 0\\]\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[(x-2)(x+2) = 0\\]\n\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy kandydaci należą do dziedziny.**\n\n- \\(x = 2\\): mianownik \\((2-4)(2+4) = (-2)(6) = -12 \\neq 0\\) ✓\n- \\(x = -2\\): mianownik \\((-2-4)(-2+4) = (-6)(2) = -12 \\neq 0\\) ✓\n\n**Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja\n\nLicznik i mianownik rozłożony na czynniki:\n\\[\\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)} = 0\\]\n\nBrak wspólnych czynników licznika i mianownika - **nie ma skrócenia**, które zmieniałoby dziedzinę.\n\nRównanie jest spełnione, gdy licznik \\((x-2)(x+2) = 0\\), tzn. \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\), pod warunkiem że \\(x \\neq \\pm 4\\).\n\n**Weryfikacja przez podstawienie:**\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\frac{4 - 4}{(2-4)(2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[\\frac{4 - 4}{(-2-4)(-2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru do rozkładu licznika: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń przyjmuje tylko jedno rozwiązanie \\(x = 2\\), zapominając o \\(x = -2\\) |\n| B | Uczeń przyjmuje tylko \\(x = -2\\), pomijając \\(x = 2\\) |\n| D | Uczeń zeruje **mianownik** zamiast licznika i podaje \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\) - to wartości **wykluczone z dziedziny**, nie rozwiązania! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zerowanie mianownika to NIE jest rozwiązanie - to wartości wykluczone z dziedziny. \\(x = \\pm 4\\) sprawia, że wyrażenie jest **niezdefiniowane**, a nie równe zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie skracaj pochopnie \\(\\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x-4)}\\) - licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników, więc skrócenie nie jest możliwe i nie zmieni rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny **przed** szukaniem rozwiązań - gdyby \\(x^2 - 4\\) miało pierwiastek \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\), byłby on odrzucony!\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - dokładnie dwa rozwiązania: \\(x=2\\) i \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 1 - Dziedzina i miejsca zerowe licznika\nDziedzina: \\((x-4)(x+4)\\ne 0\\), czyli \\(x\\ne 4\\) i \\(x\\ne -4\\).\nUłamek równy zero, gdy licznik \\(=0\\):\n\\[x^{2}-4=0 \\iff (x-2)(x+2)=0 \\iff x=2 \\text{ lub } x=-2.\\]\nOba należą do dziedziny (\\(\\pm 2\\ne\\pm 4\\)), więc są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia\n\\[\\dfrac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}=\\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)}.\\]\nRówność \\(=0\\) zachodzi, gdy licznik \\(=0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\). Pierwiastki licznika \\(\\pm 2\\) nie redukują się z mianownikiem (\\(\\pm 4\\)), więc oba są pełnoprawnymi rozwiązaniami.\n\n### Weryfikacja\n\\(x=2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-2)\\cdot 6=-12\\ne 0\\) ✓.\n\\(x=-2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-6)\\cdot 2=-12\\ne 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: pomyłka - licznik ma pierwiastki.\n- B: przeoczenie drugiego pierwiastka (\\(\\pm 2\\)).\n- D: błędne zaliczenie pierwiastków mianownika (\\(\\pm 4\\)) jako rozwiązań - są one wykluczone przez dziedzinę.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Równanie (<br>)(<br>)<br>2<br>4<br>0<br>4<br>4<br>x<br>x<br>x<br>A. nie ma rozwiązań.<br>B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.<br>C. ma dokładnie dwa rozwiązania.<br>D. ma dokładnie cztery rozwiązania.<br>Zadanie 8. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Równanie { x^2-4 / (x-4)(x+4) } = 0 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.</p>","answer_text_html":"<p>7<br>8<br>1<br>7<br>2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek zerowania ułamka</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>licznik = 0</strong> i jednocześnie <strong>mianownik ≠ 0</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz dziedzinę</strong> - mianownik nie może być zerem.<br>\\[(x-4)(x+4) \\neq 0 \\implies x \\neq 4 \\text{ oraz } x \\neq -4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przyrównaj licznik do zera.</strong><br>\\[x^2 - 4 = 0\\]</p>\n<p>Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):<br>\\[(x-2)(x+2) = 0\\]<br>\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdź, czy kandydaci należą do dziedziny.</strong></p>\n<ul><li>\\(x = 2\\): mianownik \\((2-4)(2+4) = (-2)(6) = -12 \\neq 0\\) ✓</li><li>\\(x = -2\\): mianownik \\((-2-4)(-2+4) = (-6)(2) = -12 \\neq 0\\) ✓</li></ul>\n<p><strong>Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja</h4>\n<p>Licznik i mianownik rozłożony na czynniki:<br>\\[\\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)} = 0\\]</p>\n<p>Brak wspólnych czynników licznika i mianownika - <strong>nie ma skrócenia</strong>, które zmieniałoby dziedzinę.</p>\n<p>Równanie jest spełnione, gdy licznik \\((x-2)(x+2) = 0\\), tzn. \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\), pod warunkiem że \\(x \\neq \\pm 4\\).</p>\n<p><strong>Weryfikacja przez podstawienie:</strong></p>\n<p>Dla \\(x = 2\\):<br>\\[\\frac{4 - 4}{(2-4)(2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla \\(x = -2\\):<br>\\[\\frac{4 - 4}{(-2-4)(-2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy tego wzoru do rozkładu licznika: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń przyjmuje tylko jedno rozwiązanie \\(x = 2\\), zapominając o \\(x = -2\\) |<br>| B | Uczeń przyjmuje tylko \\(x = -2\\), pomijając \\(x = 2\\) |<br>| D | Uczeń zeruje <strong>mianownik</strong> zamiast licznika i podaje \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\) - to wartości <strong>wykluczone z dziedziny</strong>, nie rozwiązania! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zerowanie mianownika to NIE jest rozwiązanie - to wartości wykluczone z dziedziny. \\(x = \\pm 4\\) sprawia, że wyrażenie jest <strong>niezdefiniowane</strong>, a nie równe zero.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie skracaj pochopnie \\(\\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x-4)}\\) - licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników, więc skrócenie nie jest możliwe i nie zmieni rozwiązania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny <strong>przed</strong> szukaniem rozwiązań - gdyby \\(x^2 - 4\\) miało pierwiastek \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\), byłby on odrzucony!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong> - dokładnie dwa rozwiązania: \\(x=2\\) i \\(x=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Dziedzina i miejsca zerowe licznika</h5>\n<p>Dziedzina: \\((x-4)(x+4)\\ne 0\\), czyli \\(x\\ne 4\\) i \\(x\\ne -4\\).<br>Ułamek równy zero, gdy licznik \\(=0\\):<br>\\[x^{2}-4=0 \\iff (x-2)(x+2)=0 \\iff x=2 \\text{ lub } x=-2.\\]<br>Oba należą do dziedziny (\\(\\pm 2\\ne\\pm 4\\)), więc są rozwiązaniami.</p>\n<h5>Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia</h5>\n<p>\\[\\dfrac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}=\\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)}.\\]<br>Równość \\(=0\\) zachodzi, gdy licznik \\(=0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\). Pierwiastki licznika \\(\\pm 2\\) nie redukują się z mianownikiem (\\(\\pm 4\\)), więc oba są pełnoprawnymi rozwiązaniami.</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(x=2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-2)\\cdot 6=-12\\ne 0\\) ✓.<br>\\(x=-2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-6)\\cdot 2=-12\\ne 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A: pomyłka - licznik ma pierwiastki.</li><li>B: przeoczenie drugiego pierwiastka (\\(\\pm 2\\)).</li><li>D: błędne zaliczenie pierwiastków mianownika (\\(\\pm 4\\)) jako rozwiązań - są one wykluczone przez dziedzinę.</li></ul>"}]}