{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli\n2\n4\n13\ny\nx\nx\nleży na prostej o równaniu\nA.\n2\nx = -\nB.\n2\nx =\nC.\n4\nx =\nD.\n4\nx = -\nZadanie 9. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wierzchołek paraboli y=x^2+4x-13 leży na prostej o równaniu A. x=-2, B. x=2, C. x=4, D. x=-4.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWierzchołek paraboli \\(y = x^2 + 4x - 13\\) to punkt \\(W = (-2, -17)\\), który leży na prostej będącej odpowiedzią **A**.\n\n## Sposób 1 - wzór na współrzędne wierzchołka\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) mamy \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -13\\).\n\n**Krok 1: współrzędna \\(x\\) wierzchołka**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -\\frac{4}{2} = -2\\]\n\n**Krok 2: współrzędna \\(y\\) wierzchołka** - podstawiamy \\(x = -2\\) do równania paraboli:\n\\[q = (-2)^2 + 4 \\cdot (-2) - 13 = 4 - 8 - 13 = -17\\]\n\n**Wierzchołek paraboli:** \\(W = (-2,\\ -17)\\)\n\n**Krok 3: sprawdzamy, na której prostej leży punkt \\((-2, -17)\\)**\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\) do każdej z odpowiedzi i sprawdzamy, czy wychodzi \\(y = -17\\).\n\nDla odpowiedzi **A**: \\(y = -2 \\cdot (-2) - 21 = 4 - 21 = -17\\) ✓\n\nPunkt \\(W = (-2, -17)\\) **leży na prostej z odpowiedzi A**.\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (uzupełnienie do kwadratu)\n\nPrzekształcamy \\(y = x^2 + 4x - 13\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 + 4x - 13\\]\n\\[y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 13\\]\n\\[y = (x + 2)^2 - 17\\]\n\nPostać kanoniczna: \\(y = (x-(-2))^2 + (-17)\\)\n\nStąd wprost odczytujemy wierzchołek: \\(W = (-2,\\ -17)\\).\n\nWeryfikacja (tak jak w Sposobie 1) potwierdza odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\ngdzie \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia punktu \\(W\\).\n\nAlternatywnie z tego samego działu - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nZastosowana w Sposobie 2 przez uzupełnienie do kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Błędna współrzędna \\(x\\): wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\); punkt \\((2, -1)\\) zamiast \\((-2, -17\\)) |\n| C | Obliczenie \\(q\\) jako samego wyrazu wolnego \\(c = -13\\), tzn. utożsamienie \\(q\\) z \\(f(0)\\) zamiast \\(f(p)\\) |\n| D | Błąd znaku przy podstawieniu: \\((-2)^2\\) policzono jako \\(-4\\) zamiast \\(+4\\), co daje \\(q = -21\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest **minus** przed ułamkiem! Najczęstszy błąd to opuszczenie tego minusa i wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(p = -2\\) koniecznie podstaw do **oryginalnego równania** paraboli (lub użyj \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), żeby dostać \\(q\\). Nie wolno podstawiać do równania prostej - to właśnie to chcemy wyznaczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uzupełniając do kwadratu pamiętaj, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę - tu \\(+4\\) i \\(-4\\) - żeby nie zmienić wartości wyrażenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wierzchołek leży na prostej \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na odciętą wierzchołka\nDla \\(y=ax^{2}+bx+c\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{b}{2a}\\).\nTu \\(a=1\\), \\(b=4\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{4}{2}=-2\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[y=x^{2}+4x-13=(x+2)^{2}-4-13=(x+2)^{2}-17.\\]\nWierzchołek: \\((-2,-17)\\), więc leży na prostej pionowej \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria miejsc zerowych (pomocniczo)\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek pomiędzy pierwiastkami; dla \\(b=4\\), \\(a=1\\) otrzymujemy \\(x=-2\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: \\(x=2\\) - błąd znaku we wzorze \\(-b/(2a)\\).\n- C: \\(x=4\\) - pomyłka z wartością \\(b\\) bez dzielenia przez \\(2a\\).\n- D: \\(x=-4\\) - jak wyżej, brak dzielenia przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Wierzchołek paraboli<br>2<br>4<br>13<br>y<br>x<br>x<br>leży na prostej o równaniu<br>A.<br>2<br>x = -<br>B.<br>2<br>x =<br>C.<br>4<br>x =<br>D.<br>4<br>x = -<br>Zadanie 9. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wierzchołek paraboli y=x^2+4x-13 leży na prostej o równaniu A. x=-2, B. x=2, C. x=4, D. x=-4.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Wierzchołek paraboli \\(y = x^2 + 4x - 13\\) to punkt \\(W = (-2, -17)\\), który leży na prostej będącej odpowiedzią <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na współrzędne wierzchołka</h4>\n<p>Dla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) mamy \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -13\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: współrzędna \\(x\\) wierzchołka</strong><br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -\\frac{4}{2} = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: współrzędna \\(y\\) wierzchołka</strong> - podstawiamy \\(x = -2\\) do równania paraboli:<br>\\[q = (-2)^2 + 4 \\cdot (-2) - 13 = 4 - 8 - 13 = -17\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek paraboli:</strong> \\(W = (-2,\\ -17)\\)</p>\n<p><strong>Krok 3: sprawdzamy, na której prostej leży punkt \\((-2, -17)\\)</strong></p>\n<p>Podstawiamy \\(x = -2\\) do każdej z odpowiedzi i sprawdzamy, czy wychodzi \\(y = -17\\).</p>\n<p>Dla odpowiedzi <strong>A</strong>: \\(y = -2 \\cdot (-2) - 21 = 4 - 21 = -17\\) ✓</p>\n<p>Punkt \\(W = (-2, -17)\\) <strong>leży na prostej z odpowiedzi A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - postać kanoniczna (uzupełnienie do kwadratu)</h4>\n<p>Przekształcamy \\(y = x^2 + 4x - 13\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):</p>\n<p>\\[y = x^2 + 4x - 13\\]<br>\\[y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 13\\]<br>\\[y = (x + 2)^2 - 17\\]</p>\n<p>Postać kanoniczna: \\(y = (x-(-2))^2 + (-17)\\)</p>\n<p>Stąd wprost odczytujemy wierzchołek: \\(W = (-2,\\ -17)\\).</p>\n<p>Weryfikacja (tak jak w Sposobie 1) potwierdza odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędne wierzchołka paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]<br>gdzie \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia punktu \\(W\\).</p>\n<p>Alternatywnie z tego samego działu - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Zastosowana w Sposobie 2 przez uzupełnienie do kwadratu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B | Błędna współrzędna \\(x\\): wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\); punkt \\((2, -1)\\) zamiast \\((-2, -17\\)) |<br>| C | Obliczenie \\(q\\) jako samego wyrazu wolnego \\(c = -13\\), tzn. utożsamienie \\(q\\) z \\(f(0)\\) zamiast \\(f(p)\\) |<br>| D | Błąd znaku przy podstawieniu: \\((-2)^2\\) policzono jako \\(-4\\) zamiast \\(+4\\), co daje \\(q = -21\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest <strong>minus</strong> przed ułamkiem! Najczęstszy błąd to opuszczenie tego minusa i wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyznaczeniu \\(p = -2\\) koniecznie podstaw do <strong>oryginalnego równania</strong> paraboli (lub użyj \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), żeby dostać \\(q\\). Nie wolno podstawiać do równania prostej - to właśnie to chcemy wyznaczyć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uzupełniając do kwadratu pamiętaj, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę - tu \\(+4\\) i \\(-4\\) - żeby nie zmienić wartości wyrażenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - wierzchołek leży na prostej \\(x=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na odciętą wierzchołka</h5>\n<p>Dla \\(y=ax^{2}+bx+c\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{b}{2a}\\).<br>Tu \\(a=1\\), \\(b=4\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{4}{2}=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>\\[y=x^{2}+4x-13=(x+2)^{2}-4-13=(x+2)^{2}-17.\\]<br>Wierzchołek: \\((-2,-17)\\), więc leży na prostej pionowej \\(x=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Symetria miejsc zerowych (pomocniczo)</h5>\n<p>Oś symetrii paraboli przebiega przez środek pomiędzy pierwiastkami; dla \\(b=4\\), \\(a=1\\) otrzymujemy \\(x=-2\\).</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B: \\(x=2\\) - błąd znaku we wzorze \\(-b/(2a)\\).</li><li>C: \\(x=4\\) - pomyłka z wartością \\(b\\) bez dzielenia przez \\(2a\\).</li><li>D: \\(x=-4\\) - jak wyżej, brak dzielenia przez \\(2\\).</li></ul>"}]}