{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (2 pkt)\nDwa okręgi o środkach\n1S i\n2\nS są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą\nstyczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC\njest prosty.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n9","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (2 pkt)\nDwa okręgi o środkach\n1S i\n2\nS są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą\nstyczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC\njest prosty.\nI sposób rozwiązania\nOdcinki\n1S B i\n2\nS C są równoległe, bo styczna do obu okręgów jest prostopadła do promieni\npoprowadzonych do punktów styczności, stąd\n1\n2\n180\nBS A\nAS C\n\n\n\n\n\nMiara kąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego opartego\nna tym samym łuku, więc\n1\n1\n2\nCBA\nBS A\n\n\n\noraz\n2\n1\n2\nBCA\nCS A\n\n\n\nstąd wynika, że\n90\nCBA\nBCA\n\n\n\n\n\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180, zatem\n90\nBAC \n\n\n3\n1S\n2\nS\nA\nB\nC\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że odcinki\n1S B i\n2\nS C są równoległe oraz wykorzysta twierdzenie, że miara\nkąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego\nopartego na tym samym łuku. Wystarczy, że zapisze np.:\n1\n2\n180\nBS A\nAS C\n\n\n\n\n\ni\n1\n1\n2\nCBA\nBS A\n\n\n\noraz\n2\n1\n2\nBCA\nCS A\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n przeprowadzi pełne rozumowanie np.: zapisze że,\n90\nCBA\nBCA\n\n\n\n\n\n, więc\n90\nBAC \n\n\nII sposób rozwiązania\nTrójkąty\n1\nBS A\ni\n2\nCS A są równoramienne. Zatem\n1\n1\nS BA\nS AB\n\n\n\n\n\noraz\n2\n2\nCAS\nACS\n\n\n\n\n\nOdcinki\n1S B i\n2\nS C są prostopadłe do stycznej, stąd\n90\nABC\n\n\n\n\n,\n90\nBCA\n\n\n\n\nNiech\nBAC\n\n\n\nKąty ABC, BCA i BAC są kątami wewnętrznymi trójkąta BAC,\nwięc 90\n90\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n\n\n\nKąt\n1\n2\nS AS jest półpełny, więc\n1\n2\n180\nS AS\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n2\n180\n\n czyli\n90\nBAC\n\n\n\n\n4\n1S\n2\nS\nA\nB\nC\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że odcinki\n1S B i\n2\nS C są prostopadłe do stycznej, trójkąty\n1\nBS A i\n2\nCS A są\nrównoramienne i zapisze zależność 90\n90\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n\nzapisze, że\n1\n2\n180\nS AS\n\n\n\n\n\n\n\n\ni obliczy miarę kąta BAC:\n90\nBAC \n\n\nIII sposób rozwiązania\nTrójkąty\n1S AB i\n2\nAS C są równoramienne. Zatem\n1\n1\nS AB\nS BA\n\n\n\n\n\noraz\n2\n2\nS AC\nACS\n\n\n\n\n\nKąty\n1\n1\n1\n,\n,\nS AB S BA BS A są kątami wewnętrznymi trójkąta\n1S AB , więc\n1\n180\n2\nBS A\n\n\n\n\nCzworokąt\n1\n2\nS S CB jest trapezem więc\n2\n2\nAS C\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta\n2\nAS C jest równa:\n2\n2\n2\n2\n180\nAS C\nS AC\nACS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd 2\n2\n180\n\n\n\n\n, więc\n90\n\n\n\n\n.\nKąt\n1\n2\nS AS jest półpełny więc\n180\nBAC\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n90\nBAC \n\n\n5\nSchemat oceniania III sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że trójkąty\n1S AB i\n2\nAS C są równoramienne, zapisze\n1\n1\nS AB\nS BA\n\n\n\ni\n2\n2\nS AC\nACS\n\n\n\ni\n1\n180\n2\nBS A\n\n\n\n\noraz zauważy, że czworokąt\n1\n2\nS S CB jest\ntrapezem więc\n2\n2\nAS C\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n zapisze, że suma kątów trójkąta\n2\nAS C jest równa: 2\n2\n180\n\n\n\n\n, więc\n90\n\n\n\n\n\ni kąt\n1\n2\nS AS jest półpełny więc , zatem\n90\nBAC \n\n\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (2 pkt)
Dwa okręgi o środkach
1S i
2
S są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą
styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC
jest prosty.

\n

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży
Materiały diagnostyczne z matematyki
czerwiec 2011
9

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (2 pkt)
Dwa okręgi o środkach
1S i
2
S są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą
styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC
jest prosty.
I sposób rozwiązania
Odcinki
1S B i
2
S C są równoległe, bo styczna do obu okręgów jest prostopadła do promieni
poprowadzonych do punktów styczności, stąd
1
2
180
BS A
AS C





Miara kąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego opartego
na tym samym łuku, więc
1
1
2
CBA
BS A



oraz
2
1
2
BCA
CS A



stąd wynika, że
90
CBA
BCA





Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180, zatem
90
BAC 


3
1S
2
S
A
B
C




Schemat oceniania I sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zauważy, że odcinki
1S B i
2
S C są równoległe oraz wykorzysta twierdzenie, że miara
kąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego
opartego na tym samym łuku. Wystarczy, że zapisze np.:
1
2
180
BS A
AS C





i
1
1
2
CBA
BS A



oraz
2
1
2
BCA
CS A



Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:
 przeprowadzi pełne rozumowanie np.: zapisze że,
90
CBA
BCA





, więc
90
BAC 


II sposób rozwiązania
Trójkąty
1
BS A
i
2
CS A są równoramienne. Zatem
1
1
S BA
S AB





oraz
2
2
CAS
ACS





Odcinki
1S B i
2
S C są prostopadłe do stycznej, stąd
90
ABC




,
90
BCA




Niech
BAC



Kąty ABC, BCA i BAC są kątami wewnętrznymi trójkąta BAC,
więc 90
90
180








, stąd





Kąt
1
2
S AS jest półpełny, więc
1
2
180
S AS








, stąd
2
180

 czyli
90
BAC




4
1S
2
S
A
B
C




Schemat oceniania II sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zauważy, że odcinki
1S B i
2
S C są prostopadłe do stycznej, trójkąty
1
BS A i
2
CS A są
równoramienne i zapisze zależność 90
90
180








.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:

zapisze, że
1
2
180
S AS








i obliczy miarę kąta BAC:
90
BAC 


III sposób rozwiązania
Trójkąty
1S AB i
2
AS C są równoramienne. Zatem
1
1
S AB
S BA





oraz
2
2
S AC
ACS





Kąty
1
1
1
,
,
S AB S BA BS A są kątami wewnętrznymi trójkąta
1S AB , więc
1
180
2
BS A




Czworokąt
1
2
S S CB jest trapezem więc
2
2
AS C



Suma miar kątów trójkąta
2
AS C jest równa:
2
2
2
2
180
AS C
S AC
ACS













, stąd 2
2
180




, więc
90




.
Kąt
1
2
S AS jest półpełny więc
180
BAC







, zatem
90
BAC 


5
Schemat oceniania III sposób rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zauważy, że trójkąty
1S AB i
2
AS C są równoramienne, zapisze
1
1
S AB
S BA



i
2
2
S AC
ACS



i
1
180
2
BS A




oraz zauważy, że czworokąt
1
2
S S CB jest
trapezem więc
2
2
AS C



Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:
 zapisze, że suma kątów trójkąta
2
AS C jest równa: 2
2
180




, więc
90





i kąt
1
2
S AS jest półpełny więc , zatem
90
BAC 


6

","solutions":[]}