{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (2 pkt)\nZbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego\n2 6\ncos\n7\n\ni\n1\ntg\n2\n\n. Odpowiedź\nuzasadnij.\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (2 pkt)\nZbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego\n2 6\ncos\n7\n\ni\n1\ntg\n2\n\n. Odpowiedź\nuzasadnij.\nI sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:\n2 6x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie \n7x - długość przeciwprostokątnej\nc - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: \n\n\n\n2\n2\n2\n2 6\n7\nx\nc\nx\n\n\nWtedy\n5\nc\nx\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:\n5\n5\ntg\n2 6\n2 6\nx\nx\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n1\ntg\n2\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:\nx - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \n2x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie \nc - długość przeciwprostokątnej\n8\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: \n\n2\n2\n2\n2x\nx\nc\n\n\n. Wtedy\n5\nc\nx\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:\n2\n2 5\ncos\n5\n5\nx\nx\nx\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n2 6\ncos\n7\nx \nOtrzymaliśmy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zaznaczy kąt  w trójkącie prostokątnym i wyznaczy długości jego boków\nw zależności od współczynnika proporcjonalności np.:\n5 , 2 6 , 7\nx\nx\nx lub\n, 2 ,\n5\nx\nx\nx i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nZdający może przyjąć współczynnik proporcjonalności równy 1.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n obliczy\n5\ntg\n2 6\n\n, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że\ntaki kąt nie istnieje.\nalbo\n obliczy\n2 5\ncos\n5\n\n, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że\ntaki kąt nie istnieje.\n9\nIII sposób rozwiązania\nKorzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, otrzymujemy:\n2\n2\n2 6\nsin\n1\n7\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a stąd\n5\nsin\n7\n\n. ( kąt ostry (sin\n0\n\n)).\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\n, otrzymujemy\n5\n5\n5 6\n7\ntg\n12\n2 6\n2 6\n7\n\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n1\ntg\n2\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\n, otrzymujemy\n6\nsin\n7\n\nKorzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, otrzymujemy:\n2\n2\n6\n2 6\n30\n1\n7\n7\n49\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n obliczy wartość\n5\nsin\n7\n\nkorzystając ze związku\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nalbo\n obliczy wartość\n6\nsin\n7\n\nkorzystając ze związku\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\n10\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n obliczy\n5\ntg\n2 6\n\n(gdy\n5\nsin\n7\n\n), porówna z wartością podaną w treści zadania\ni stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.\nalbo\n podstawi wartość\n6\nsin\n7\n\ndo związku\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n i stwierdzi, że taki\nkąt nie istnieje.\nV sposób rozwiązania\nDla\n2 6\ncos\n7\n\nodczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:\n46\n\n\n(akceptujemy\n45\n\n).\nDla\n1\ntg\n2\n\nodczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:\n27\n\n\n(akceptujemy\n26\n\n).\nOtrzymane wyniki (różne miary kąta  w tym samym trójkącie) pozwalają stwierdzić, że\ntaki kąt nie istnieje.\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla\n2 6\ncos\n7\n\n:\n46\n\n (akceptujemy\n45\n\n) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\n odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla\n1\ntg\n2\n\n:\n27\n\n (akceptujemy\n26\n\n) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy\n2 6\ncos\n7\n\n) odczyta z tablic wartość\ntg, porówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie\nistnieje.\nalbo\n11\n dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy\n1\ntg\n2\n\n) odczyta z tablic wartość cos,\nporówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.\nUwagi\n1. Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt  w przedstawionym\nprzez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.\n2. Jeśli zdający narysuje dwa trójkąty prostokątne, oznaczy długości boków odpowiednio:\n5, 2 6, 7 i 1, 2,\n5 (lub na jednym z nich zaznaczy długości boków obu trójkątów) bez\nwspółczynnika proporcjonalności i stwierdzi, że boki mają różną długość, zatem nie\nistnieje taki kąt, to otrzymuje 0 punktów. W takim przypadku wymagamy udowodnienia,\nże boki takich trójkątów nie są proporcjonalne.\n3. Jeśli zdający nie odrzuci odpowiedzi ujemnej, to otrzymuje 1 punkt.\n12","solution":"nie istnieje taki kąt $\\alpha$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 16. (2 pkt)
Zbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego
2 6
cos
7

i
1
tg
2

. Odpowiedź
uzasadnij.
Odpowiedź:

\n

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży
Materiały diagnostyczne z matematyki
czerwiec 2011
11

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (2 pkt)
Zbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego
2 6
cos
7

i
1
tg
2

. Odpowiedź
uzasadnij.
I sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:
2 6x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 
7x - długość przeciwprostokątnej
c - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: 



2
2
2
2 6
7
x
c
x


Wtedy
5
c
x

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:
5
5
tg
2 6
2 6
x
x


Z treści zadania wynika, że
1
tg
2

Otrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .
II sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:
x - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 
2x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie 
c - długość przeciwprostokątnej
8
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: 

2
2
2
2x
x
c


. Wtedy
5
c
x

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:
2
2 5
cos
5
5
x
x
x


Z treści zadania wynika, że
2 6
cos
7
x 
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 zaznaczy kąt  w trójkącie prostokątnym i wyznaczy długości jego boków
w zależności od współczynnika proporcjonalności np.:
5 , 2 6 , 7
x
x
x lub
, 2 ,
5
x
x
x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Uwaga
Zdający może przyjąć współczynnik proporcjonalności równy 1.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:
 obliczy
5
tg
2 6

, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że
taki kąt nie istnieje.
albo
 obliczy
2 5
cos
5

, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że
taki kąt nie istnieje.
9
III sposób rozwiązania
Korzystamy z tożsamości
2
2
sin
cos
1



, otrzymujemy:
2
2
2 6
sin
1
7











, a stąd
5
sin
7

. ( kąt ostry (sin
0

)).
Korzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
sin
tg
cos




, otrzymujemy
5
5
5 6
7
tg
12
2 6
2 6
7



Z treści zadania wynika, że
1
tg
2

Otrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .
IV sposób rozwiązania
Korzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
sin
tg
cos




, otrzymujemy
6
sin
7

Korzystamy z tożsamości
2
2
sin
cos
1



, otrzymujemy:
2
2
6
2 6
30
1
7
7
49



















Otrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 obliczy wartość
5
sin
7

korzystając ze związku
2
2
sin
cos
1



 i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
albo
 obliczy wartość
6
sin
7

korzystając ze związku
sin
tg
cos




i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
10
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:
 obliczy
5
tg
2 6

(gdy
5
sin
7

), porówna z wartością podaną w treści zadania
i stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.
albo
 podstawi wartość
6
sin
7

do związku
2
2
sin
cos
1



 i stwierdzi, że taki
kąt nie istnieje.
V sposób rozwiązania
Dla
2 6
cos
7

odczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:
46


(akceptujemy
45

).
Dla
1
tg
2

odczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:
27


(akceptujemy
26

).
Otrzymane wyniki (różne miary kąta  w tym samym trójkącie) pozwalają stwierdzić, że
taki kąt nie istnieje.
Schemat oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 punkt
gdy:
 odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla
2 6
cos
7

:
46

 (akceptujemy
45

) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
albo
 odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla
1
tg
2

:
27

 (akceptujemy
26

) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 punkty
gdy:
 dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy
2 6
cos
7

) odczyta z tablic wartość
tg, porówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie
istnieje.
albo
11
 dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy
1
tg
2

) odczyta z tablic wartość cos,
porówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.
Uwagi

\n
  1. Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt  w przedstawionym
\n

przez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.

\n
  1. Jeśli zdający narysuje dwa trójkąty prostokątne, oznaczy długości boków odpowiednio:
\n

5, 2 6, 7 i 1, 2,
5 (lub na jednym z nich zaznaczy długości boków obu trójkątów) bez
współczynnika proporcjonalności i stwierdzi, że boki mają różną długość, zatem nie
istnieje taki kąt, to otrzymuje 0 punktów. W takim przypadku wymagamy udowodnienia,
że boki takich trójkątów nie są proporcjonalne.

\n
  1. Jeśli zdający nie odrzuci odpowiedzi ujemnej, to otrzymuje 1 punkt.
\n

12

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

nie istnieje taki kąt α

"}]}