{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"19","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nDwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą\n2\n310m . Długość\ndrugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od\nszerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n15\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n16","answer":null,"answer_text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nDwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą\n2\n310m . Długość\ndrugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od\nszerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.\nRozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary I działki: x - długość, y - szerokość\nZapisujemy układ równań:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n3\n4,8\n14,4\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n,\npodstawiamy do tego równania\n310\nx y\n\n\ni wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:\n1,6\n4,8\nx\ny\n\n\nWyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania \n\n1,6\n4,8\n310\ny\ny\n\n\n\ni doprowadzamy to równanie do postaci:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, które ma dwa rozwiązania\n1\n15,5\ny \n(nie spełnia warunków zadania) i\n2\n12,5\ny \nZatem, jeżeli\n12,5\ny \n, to\n24,8\nx \ni wtedy działka I ma wymiary: 24,8 mx 12,5 m, zaś\ndziałka II: 20 m x 15,5 m .\nObliczamy obwód I działki: 2 24,8\n2 12,5\n74,6 m\n\n\n\n\nObliczamy obwód II działki: 2 20\n2 15,5\n71m\n\n\n\nZapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .\nalbo\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary II działki: x - długość, y - szerokość\nZapisujemy układ równań:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n3\n4,8\n14,4\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n,\npodstawiamy do tego równania\n310\nx y\n\n\ni wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:\n1,6\n4,8\nx\ny\n\n\nWyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania \n\n1,6\n4,8\n310\ny\ny\n\n\n\ni doprowadzamy to równanie do postaci:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, które ma dwa rozwiązania\n1\n15,5\ny \ni\n2\n12,5\ny \n(nie spełnia warunków zadania).\nZatem, jeżeli\n15,5\ny \n, to\n20\nx \ni wtedy działka II ma wymiary: 20 m x 15,5 m , zaś działka\nII: 24,8 mx 12,5 m.\nObliczamy obwód II działki: 2 20\n2 15,5\n71m\n\n\n\nObliczamy obwód I działki: 2 24,8\n2 12,5\n74,6 m\n\n\n\n\nZapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .\n18\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary I działki i zapisanie równania\n\n\n\n4,8\n3\n310\nx\ny\n\n\n\n\nalbo\n wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary II działki i zapisanie równania\n\n\n\n4,8\n3\n310\nx\ny\n\n\n\n\nUwaga\nNie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować,\nże zdający poprawnie je stosuje.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie x, y - wymiary I działki\nalbo\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie x, y - wymiary II działki\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y , np:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, gdzie y - szerokość I działki\nalbo\n2\n4,8\n496\n0\nx\nx\n\n\n\n, gdzie x, - długość I działki\nalbo\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, gdzie y - szerokość II działki\nalbo\n19\n2\n4,8\n496\n0\nx\nx\n\n\n\n, gdzie x, - długość II działki\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:\n12,5\ny \ni obliczenie długości\nI działki:\n24,8\nx \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:\n24,8\nx \ni obliczenie szerokości\nI działki:\n12,5\ny \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:\n15,5\ny \ni obliczenie długości\nII działki:\n20\nx \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:\n20\nx \ni obliczenie szerokości\nII działki:\n15,5\ny \nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nRozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne\nrozwiązanie zadania do końca.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nPodanie wymiarów działki o mniejszym obwodzie: 20 m x 15,5 m .\nUwagi\n1. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) odpowiedź: wymiary działki o mniejszym\nobwodzie, to: 20 m x 15,5 m , otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający od razu zapisze i uzasadni, że obwód drugiej działki jest mniejszy i na\ntym poprzestanie, otrzymuje 1 punkt. np.:\n\n\n1\n2\nO\nx\ny\n\n\n\ni\n\n\n\n\n2\n2\n3\n4,8\n2\n1,8\nO\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n1\n2\nO\nO\n","solution":"$20\\text{ m} \\times 15{,}5\\text{ m}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 19. (5 pkt)
Dwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą
2
310m . Długość
drugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od
szerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.

\n

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży
Materiały diagnostyczne z matematyki
czerwiec 2011
15
Odpowiedź:

\n

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży
Materiały diagnostyczne z matematyki
czerwiec 2011
16

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (5 pkt)
Dwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą
2
310m . Długość
drugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od
szerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.
Rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary I działki: x - długość, y - szerokość
Zapisujemy układ równań:



310
4,8
3
310
x y
x
y








Przekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:
3
4,8
14,4
310
x y
x
y





,
podstawiamy do tego równania
310
x y


i wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:
1,6
4,8
x
y


Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania 

1,6
4,8
310
y
y



i doprowadzamy to równanie do postaci:
2
1,6
4,8
310
0
y
y



, które ma dwa rozwiązania
1
15,5
y 
(nie spełnia warunków zadania) i
2
12,5
y 
Zatem, jeżeli
12,5
y 
, to
24,8
x 
i wtedy działka I ma wymiary: 24,8 mx 12,5 m, zaś
działka II: 20 m x 15,5 m .
Obliczamy obwód I działki: 2 24,8
2 12,5
74,6 m




Obliczamy obwód II działki: 2 20
2 15,5
71m



Zapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .
albo
Przyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary II działki: x - długość, y - szerokość
Zapisujemy układ równań:



310
4,8
3
310
x y
x
y








Przekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:
3
4,8
14,4
310
x y
x
y





,
podstawiamy do tego równania
310
x y


i wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:
1,6
4,8
x
y


Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania 

1,6
4,8
310
y
y



i doprowadzamy to równanie do postaci:
2
1,6
4,8
310
0
y
y



, które ma dwa rozwiązania
1
15,5
y 
i
2
12,5
y 
(nie spełnia warunków zadania).
Zatem, jeżeli
15,5
y 
, to
20
x 
i wtedy działka II ma wymiary: 20 m x 15,5 m , zaś działka
II: 24,8 mx 12,5 m.
Obliczamy obwód II działki: 2 20
2 15,5
71m



Obliczamy obwód I działki: 2 24,8
2 12,5
74,6 m




Zapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .
18
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
 wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary I działki i zapisanie równania



4,8
3
310
x
y




albo
 wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary II działki i zapisanie równania



4,8
3
310
x
y




Uwaga
Nie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować,
że zdający poprawnie je stosuje.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.:



310
4,8
3
310
x y
x
y








, gdzie x, y - wymiary I działki
albo



310
4,8
3
310
x y
x
y








, gdzie x, y - wymiary II działki
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y , np:
2
1,6
4,8
310
0
y
y



, gdzie y - szerokość I działki
albo
2
4,8
496
0
x
x



, gdzie x, - długość I działki
albo
2
1,6
4,8
310
0
y
y



, gdzie y - szerokość II działki
albo
19
2
4,8
496
0
x
x



, gdzie x, - długość II działki
Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
 rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:
12,5
y 
i obliczenie długości
I działki:
24,8
x 
albo
 rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:
24,8
x 
i obliczenie szerokości
I działki:
12,5
y 
albo
 rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:
15,5
y 
i obliczenie długości
II działki:
20
x 
albo
 rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:
20
x 
i obliczenie szerokości
II działki:
15,5
y 
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne
rozwiązanie zadania do końca.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Podanie wymiarów działki o mniejszym obwodzie: 20 m x 15,5 m .
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) odpowiedź: wymiary działki o mniejszym
\n

obwodzie, to: 20 m x 15,5 m , otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający od razu zapisze i uzasadni, że obwód drugiej działki jest mniejszy i na
\n

tym poprzestanie, otrzymuje 1 punkt. np.:


1
2
O
x
y



i




2
2
3
4,8
2
1,8
O
x
y
x
y








, zatem
1
2
O
O

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

20 m×15,5 m

"}]}