{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż nierówność, którą spełnia liczba π .\nA.\n5\n1 >\nx\nB.\n1\n2\nx -\n<\nC.\n2\n4\n3\nx +\n≤\nD.\n3\n3\n1 ≥\nx\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż nierówność, którą spełnia liczba pi. A. |x+1|>5 B. |x-1|<2 C. |x+(2/3)|<=4 D. |x-(1/3|>=3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki pod pierwiastkiem\n\nSzukamy rozkładu liczby 20 na iloczyn, gdzie jeden czynnik jest **pełnym kwadratem**.\n\n\\[20 = 4 \\cdot 5\\]\n\nLiczba 4 to pełny kwadrat (\\(4 = 2^2\\)), więc:\n\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu\n\nSprawdzamy, czy \\((2\\sqrt{5})^2 = 20\\):\n\n\\[(2\\sqrt{5})^2 = 2^2 \\cdot (\\sqrt{5})^2 = 4 \\cdot 5 = 20\\]\n\nZgadza się, zatem \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Kwadrat | Błąd |\n| A | \\(5\\sqrt{2}\\) | \\((5\\sqrt{2})^2 = 25 \\cdot 2 = 50 \\neq 20\\) | Zamieniono czynniki: wzięto \\(20 = 10 \\cdot 2\\), ale \\(\\sqrt{10}\\) nie jest całkowite - i tak wyciągnięto 5 zamiast \\(\\sqrt{10}\\) |\n| B | \\(5\\sqrt{4}\\) | \\((5\\sqrt{4})^2 = 25 \\cdot 4 = 100 \\neq 20\\) | \\(5\\sqrt{4} = 5 \\cdot 2 = 10\\), a nie \\(\\sqrt{20}\\); mylenie upraszczania z podstawieniem liczb |\n| C | \\(4\\sqrt{5}\\) | \\((4\\sqrt{5})^2 = 16 \\cdot 5 = 80 \\neq 20\\) | Wyciągnięto \\(\\sqrt{16}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\) - użyto rozkładu \\(80 = 16 \\cdot 5\\) zamiast \\(20 = 4 \\cdot 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukamy **największego** pełnego kwadratu dzielącego liczbę pod pierwiastkiem. Dla 20: dzielniki to 1, 2, 4, 5, 10, 20 - pełnymi kwadratami są 1 i **4**. Bierzemy 4, nie 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(5\\sqrt{4}\\) to NIE jest uproszczona postać pierwiastka - \\(\\sqrt{4} = 2\\), więc to po prostu 10. Wyrażenie \\(a\\sqrt{b}\\) ma sens tylko gdy \\(b\\) nie zawiera pełnych kwadratów jako czynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy weryfikacji pamiętaj: \\((a\\sqrt{b})^2 = a^2 \\cdot b\\) - potęgujemy **osobno** współczynnik i część pod pierwiastkiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\\(20 = 4\\cdot 5\\), więc:\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = \\sqrt{4}\\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przybliżenie\n\\(\\sqrt{20}\\approx 4{,}47\\). Sprawdzamy opcje:\n- A. \\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}41 = 7{,}07\\) - NIE.\n- B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\) - NIE.\n- C. \\(4\\sqrt{5}\\approx 4\\cdot 2{,}24 = 8{,}94\\) - NIE.\n- D. \\(2\\sqrt{5}\\approx 2\\cdot 2{,}24 = 4{,}47\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\sqrt{2}\\)** - kwadrat \\(=50\\ne 20\\).\n- **B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\)** - kwadrat \\(=100\\ne 20\\).\n- **C. \\(4\\sqrt{5}\\)** - kwadrat \\(=80\\ne 20\\).\n\n**Trik:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{n}\\) szukaj największego kwadratu dzielącego \\(n\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (1 pkt)<br>Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π .<br>A.<br>5<br>1 &gt;<br>x<br>B.<br>1<br>2<br>x -<br>&lt;<br>C.<br>2<br>4<br>3<br>x +<br>≤<br>D.<br>3<br>3<br>1 ≥<br>x<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż nierówność, którą spełnia liczba pi. A. |x+1|&gt;5 B. |x-1|&lt;2 C. |x+(2/3)|&lt;=4 D. |x-(1/3|&gt;=3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Obszar standardów<br>Opis wymagań<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Wykorzystanie pojęcia wartości<br>bezwzględnej<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozkład na czynniki pod pierwiastkiem</h4>\n<p>Szukamy rozkładu liczby 20 na iloczyn, gdzie jeden czynnik jest <strong>pełnym kwadratem</strong>.</p>\n<p>\\[20 = 4 \\cdot 5\\]</p>\n<p>Liczba 4 to pełny kwadrat (\\(4 = 2^2\\)), więc:</p>\n<p>\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(2\\sqrt{5}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\((2\\sqrt{5})^2 = 20\\):</p>\n<p>\\[(2\\sqrt{5})^2 = 2^2 \\cdot (\\sqrt{5})^2 = 4 \\cdot 5 = 20\\]</p>\n<p>Zgadza się, zatem \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - własność pierwiastka z iloczynu:<br>\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wyrażenie | Kwadrat | Błąd |<br>| A | \\(5\\sqrt{2}\\) | \\((5\\sqrt{2})^2 = 25 \\cdot 2 = 50 \\neq 20\\) | Zamieniono czynniki: wzięto \\(20 = 10 \\cdot 2\\), ale \\(\\sqrt{10}\\) nie jest całkowite - i tak wyciągnięto 5 zamiast \\(\\sqrt{10}\\) |<br>| B | \\(5\\sqrt{4}\\) | \\((5\\sqrt{4})^2 = 25 \\cdot 4 = 100 \\neq 20\\) | \\(5\\sqrt{4} = 5 \\cdot 2 = 10\\), a nie \\(\\sqrt{20}\\); mylenie upraszczania z podstawieniem liczb |<br>| C | \\(4\\sqrt{5}\\) | \\((4\\sqrt{5})^2 = 16 \\cdot 5 = 80 \\neq 20\\) | Wyciągnięto \\(\\sqrt{16}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\) - użyto rozkładu \\(80 = 16 \\cdot 5\\) zamiast \\(20 = 4 \\cdot 5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szukamy <strong>największego</strong> pełnego kwadratu dzielącego liczbę pod pierwiastkiem. Dla 20: dzielniki to 1, 2, 4, 5, 10, 20 - pełnymi kwadratami są 1 i <strong>4</strong>. Bierzemy 4, nie 1.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(5\\sqrt{4}\\) to NIE jest uproszczona postać pierwiastka - \\(\\sqrt{4} = 2\\), więc to po prostu 10. Wyrażenie \\(a\\sqrt{b}\\) ma sens tylko gdy \\(b\\) nie zawiera pełnych kwadratów jako czynników.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy weryfikacji pamiętaj: \\((a\\sqrt{b})^2 = a^2 \\cdot b\\) - potęgujemy <strong>osobno</strong> współczynnik i część pod pierwiastkiem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze</h5>\n<p>\\(20 = 4\\cdot 5\\), więc:<br>\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = \\sqrt{4}\\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przybliżenie</h5>\n<p>\\(\\sqrt{20}\\approx 4{,}47\\). Sprawdzamy opcje:</p>\n<ul><li>A. \\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}41 = 7{,}07\\) - NIE.</li><li>B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\) - NIE.</li><li>C. \\(4\\sqrt{5}\\approx 4\\cdot 2{,}24 = 8{,}94\\) - NIE.</li><li>D. \\(2\\sqrt{5}\\approx 2\\cdot 2{,}24 = 4{,}47\\) ✓.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(5\\sqrt{2}\\)</strong> - kwadrat \\(=50\\ne 20\\).</li><li><strong>B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\)</strong> - kwadrat \\(=100\\ne 20\\).</li><li><strong>C. \\(4\\sqrt{5}\\)</strong> - kwadrat \\(=80\\ne 20\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{n}\\) szukaj największego kwadratu dzielącego \\(n\\).</p>"}]}