{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10 (1 pkt)\nFunkcja liniowa określona jest wzorem\n4\n2\n)\n(\nx\nx\nf\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest\nliczba\nA.\n2\n2\nB.\n2\n2\nC.\n2\n2\nD.\n2\n2\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = - pierwiastek z 2 + 4 miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. -2 pierwiastki z 2 B. pierwiastek z 2 / 2 C. - pierwiastek z 2 / 2 D. 2 pierwiastki z 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie miejsca zerowego funkcji\nliniowej\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x_1 + x_2 = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków wprost\n\nRównanie \\(2(x-5)(x+7) = 0\\) jest iloczynem czynników. Iloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\nCzynnik \\(2 \\neq 0\\), więc sprawdzamy pozostałe:\n\n\\[x - 5 = 0 \\implies x_1 = 5\\]\n\\[x + 7 = 0 \\implies x_2 = -7\\]\n\nObliczamy sumę:\n\n\\[x_1 + x_2 = 5 + (-7) = \\mathbf{-2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu kwadratowego:\n\n\\[2(x-5)(x+7) = 2(x^2 + 7x - 5x - 35) = 2(x^2 + 2x - 35)\\]\n\\[= 2x^2 + 4x - 70\\]\n\nMamy więc: \\(a = 2,\\ b = 4,\\ c = -70\\).\n\nZ wzorów Viète'a:\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{2} = \\mathbf{-2}\\]\n\nWynik ten samo - potwierdza odpowiedź B.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 - po rozwinięciu iloczynu do postaci ogólnej wzór na sumę pierwiastków daje wynik natychmiast, bez liczenia pierwiastków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(2\\)) | Uczeń zsumował liczby z nawiasów: \\(5 + 7 = 12\\), a potem albo po prostu \"widzi\" \\(2\\) jako współczynnik przed nawiasami i podaje go jako wynik |\n| C (\\(12\\)) | Uczeń sumuje **wartości bezwzględne**: \\(5 + 7 = 12\\), ignorując znak drugiego pierwiastka |\n| D (\\(-12\\)) | Uczeń bierze \\(-(5+7) = -12\\), mylnie myśląc, że oba pierwiastki są ujemne, lub błędnie neguje sumę \\(12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki to \\(x_1 = 5\\) i \\(x_2 = -7\\), nie \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = -7\\). Z nawiasu \\((x-5)\\) wynika \\(x = +5\\), bo zerujemy \\(x - 5\\), nie \\(x + 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(2\\) przed nawiasami **nie ma wpływu na miejsca zerowe** - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, czy stoi przed nim \\(2\\), \\(-3\\) czy \\(100\\). Ale przy wzorach Viète'a trzeba uwzględnić współczynnik \\(a\\) po rozwinięciu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że po rozwinięciu \\(2(x^2+2x-35)\\) mamy \\(a=2\\), \\(b=4\\) - nie \\(b=2\\). Pominięcie mnożenia przez \\(2\\) to częsty błąd rachunkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie pierwiastków\nIloczyn zeruje się, gdy jeden z czynników \\(=0\\):\n\\[(x-5)(x+7) = 0 \\Rightarrow x_{1} = 5 \\text{ lub } x_{2} = -7.\\]\nSuma: \\(5 + (-7) = -2\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nRozwijamy \\(2(x-5)(x+7) = 2(x^{2} + 2x - 35) = 2x^{2} + 4x - 70\\).\nZ Viète'a: \\(x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{4}{2} = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zły znak.\n- **C. \\(12\\)** - \\(5 + 7 = 12\\), pomylone znaki pierwiastków.\n- **D. \\(-12\\)** - \\(-5 - 7 = -12\\), pomylone znaki obu.\n\n**Trik:** Z postaci iloczynowej \\((x-a)(x-b)\\): pierwiastki to \\(a, b\\) - SĄ wartościami, przy których czynniki zerują, NIE liczbami w nawiasach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10 (1 pkt)
Funkcja liniowa określona jest wzorem
4
2
)
(
x
x
f
. Miejscem zerowym tej funkcji jest
liczba
A.
2
2
B.
2
2
C.
2
2
D.
2
2
Matura podstawowa z matematyki 2011. Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = - pierwiastek z 2 + 4 miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. -2 pierwiastki z 2 B. pierwiastek z 2 / 2 C. - pierwiastek z 2 / 2 D. 2 pierwiastki z 2

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie miejsca zerowego funkcji
liniowej
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x_1 + x_2 = -2\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków wprost

\n

Równanie \\(2(x-5)(x+7) = 0\\) jest iloczynem czynników. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\n

Czynnik \\(2 \\neq 0\\), więc sprawdzamy pozostałe:

\n

\\[x - 5 = 0 \\implies x_1 = 5\\]
\\[x + 7 = 0 \\implies x_2 = -7\\]

\n

Obliczamy sumę:

\n

\\[x_1 + x_2 = 5 + (-7) = \\mathbf{-2}\\]

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a

\n

Rozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu kwadratowego:

\n

\\[2(x-5)(x+7) = 2(x^2 + 7x - 5x - 35) = 2(x^2 + 2x - 35)\\]
\\[= 2x^2 + 4x - 70\\]

\n

Mamy więc: \\(a = 2,\\ b = 4,\\ c = -70\\).

\n

Z wzorów Viète'a:

\n

\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{2} = \\mathbf{-2}\\]

\n

Wynik ten samo - potwierdza odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy ich w Sposobie 2 - po rozwinięciu iloczynu do postaci ogólnej wzór na sumę pierwiastków daje wynik natychmiast, bez liczenia pierwiastków.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(2\\)) | Uczeń zsumował liczby z nawiasów: \\(5 + 7 = 12\\), a potem albo po prostu "widzi" \\(2\\) jako współczynnik przed nawiasami i podaje go jako wynik |
| C (\\(12\\)) | Uczeń sumuje wartości bezwzględne: \\(5 + 7 = 12\\), ignorując znak drugiego pierwiastka |
| D (\\(-12\\)) | Uczeń bierze \\(-(5+7) = -12\\), mylnie myśląc, że oba pierwiastki są ujemne, lub błędnie neguje sumę \\(12\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pierwiastki to \\(x_1 = 5\\) i \\(x_2 = -7\\), nie \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = -7\\). Z nawiasu \\((x-5)\\) wynika \\(x = +5\\), bo zerujemy \\(x - 5\\), nie \\(x + 5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik \\(2\\) przed nawiasami nie ma wpływu na miejsca zerowe - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, czy stoi przed nim \\(2\\), \\(-3\\) czy \\(100\\). Ale przy wzorach Viète'a trzeba uwzględnić współczynnik \\(a\\) po rozwinięciu!
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 pamiętaj, że po rozwinięciu \\(2(x^2+2x-35)\\) mamy \\(a=2\\), \\(b=4\\) - nie \\(b=2\\). Pominięcie mnożenia przez \\(2\\) to częsty błąd rachunkowy.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Znalezienie pierwiastków
\n

Iloczyn zeruje się, gdy jeden z czynników \\(=0\\):
\\[(x-5)(x+7) = 0 \\Rightarrow x_{1} = 5 \\text{ lub } x_{2} = -7.\\]
Suma: \\(5 + (-7) = -2\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Rozwijamy \\(2(x-5)(x+7) = 2(x^{2} + 2x - 35) = 2x^{2} + 4x - 70\\).
Z Viète'a: \\(x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{4}{2} = -2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Z postaci iloczynowej \\((x-a)(x-b)\\): pierwiastki to \\(a, b\\) - SĄ wartościami, przy których czynniki zerują, NIE liczbami w nawiasach.

"}]}