{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (\n)\nna\n, w którym\n3\n1\na = i\n4\n2\n3\na =\n. Wtedy\nA.\n1\n2\n3\na =\nB.\n1\n4\n9\na =\nC.\n1\n3\n2\na =\nD.\n1\n9\n4\na =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), w którym a_3=1 i a_4=2/3. Wtedy A. a_1=2/3 B. a_1=4/9 C. a_1=3/2 D. a_1=9/4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiór wartości funkcji to \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu segment po segmencie\n\n**Zbiór wartości** to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja faktycznie przyjmuje. Patrzymy więc **wyłącznie na oś \\(Oy\\)** - jakie \"poziomy\" osiąga wykres.\n\n**Krok 1 - Identyfikacja odcinków i ich zakresów \\(y\\):**\n\n| Odcinek | Od punktu | Do punktu | Wartości \\(y\\) |\n| Rosnący | \\((-5,\\ -4)\\) | \\((-3,\\ -1)\\) | \\(\\langle -4,\\ -1 \\rangle\\) |\n| Poziomy | \\((-3,\\ -1)\\) | \\((-1,\\ -1)\\) | \\(\\{-1\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |\n| Rosnący | z otwartym początkiem przy \\(y=1\\) | \\((1,\\ 3)\\) | \\((1,\\ 3\\rangle\\) |\n| Poziomy | \\((1,\\ 3)\\) | \\((7,\\ 3)\\) | \\(\\{3\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |\n\n**Krok 2 - Kluczowa obserwacja:**\n\nNa wykresie widać **przerwę** (nieciągłość): między odcinkiem poziomym kończącym się przy \\(y=-1\\) a kolejnym odcinkiem rosnącym. Punkt startowy tego nowego odcinka ma **otwarte kółko** - oznacza to, że \\(y = 1\\) **nie jest osiągane**. Stąd drugi przedział zaczyna się od nawiasu okrągłego: \\((1,\\ 3\\rangle\\).\n\n**Krok 3 - Złożenie wyniku:**\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = \\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez \"rzutowanie na oś \\(Oy\\)\"\n\nWyobraź sobie poziome promienie świetlne biegnące od lewej równolegle do osi \\(Ox\\). Dla jakich wartości \\(y\\) promień **trafia w wykres**?\n\n- \\(y = -4\\): trafia w punkt \\((-5,\\ -4)\\) - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = -2\\): trafia w odcinek rosnący - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = -1\\): trafia w poziomy odcinek - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 0\\): nie trafia nigdzie - **nie osiągane** ✗\n- \\(y = 1\\): nie trafia (otwarte kółko!) - **nie osiągane** ✗\n- \\(y = 2\\): trafia w odcinek rosnący - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 3\\): trafia w poziomy odcinek \\(\\langle 1, 7\\rangle\\) - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 4\\): nie trafia - **nie osiągane** ✗\n\nZatem zbiór wartości to dokładnie \\(\\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - zakłada, że wykres jest **ciągły** i przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) do \\(3\\). Pomija nieciągłość - w przedziale \\((-1,\\ 1\\rangle\\) funkcja nie przyjmuje żadnych wartości. |\n| **B** | \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - prawie dobrze! Błąd polega na **zamkniętym nawiasie przy \\(1\\)**. Na wykresie punkt przy \\(y=1\\) ma otwarte kółko, więc \\(y=1\\) **nie jest osiągane**. |\n| **D** | \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - klasyczne pomieszanie **dziedziny** ze **zbiorem wartości**. \\(\\langle -5, 7\\rangle\\) to dziedzina (zakres \\(x\\)), a \\(6\\) w ogóle się tu nie pojawia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to zakres na osi \\(\\boldsymbol{Oy}\\), **nie** na osi \\(Ox\\). Nie czytaj przedziałów poziomych wykresów jako zbioru wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwracaj uwagę na **otwarte kółka** na wykresie - oznaczają, że dany punkt **nie należy** do wykresu, a więc dana wartość \\(y\\) **nie jest osiągana**. To właśnie ta pułapka eliminuje odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wykres jest **nieciągły** (ma przerwę), zbiór wartości będzie sumą rozłącznych przedziałów (\\(\\cup\\)), a nie jednym przedziałem. Jeśli rysunek sugeruje przerwę - zbiór wartości to zawsze **unia**, nie jeden ciągły przedział!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt wykresu\nWykres osiąga wartości od najniższej \\(y=-4\\) do najwyższej \\(y=3\\). Ale nie są to wszystkie wartości - widać lukę między pewnymi odcinkami.\n\nAnalizując dokładnie:\n- Między \\(y=-1\\) a \\(y=1\\) wykres nie osiąga żadnej wartości (pionowa „luka\"), przy czym wartość \\(y=1\\) występuje (np. pochodzi z odcinka rosnącego), ale jest **wyłączona** (otwarte kółko) - stąd przedział \\((1, 3\\rangle\\).\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A.** \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - fałsz, brak wartości \\(y\\in (-1, 1\\rangle\\).\n- **B.** \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - myli kółko otwarte przy \\(y=1\\) z zamkniętym.\n- **D.** \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - to dziedzina, nie zbiór wartości.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPatrz wyżej - opcja C jedyna uwzględnia wszystkie osiągane wartości i wyłącza te nieosiągane (kółko otwarte).\n\n**Trik:** Zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(OY\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (1 pkt)<br>Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (<br>)<br>na<br>, w którym<br>3<br>1<br>a = i<br>4<br>2<br>3<br>a =<br>. Wtedy<br>A.<br>1<br>2<br>3<br>a =<br>B.<br>1<br>4<br>9<br>a =<br>C.<br>1<br>3<br>2<br>a =<br>D.<br>1<br>9<br>4<br>a =<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), w którym a_3=1 i a_4=2/3. Wtedy A. a_1=2/3 B. a_1=4/9 C. a_1=3/2 D. a_1=9/4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Zastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu<br>geometrycznego<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Zbiór wartości funkcji to \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu segment po segmencie</h4>\n<p><strong>Zbiór wartości</strong> to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja faktycznie przyjmuje. Patrzymy więc <strong>wyłącznie na oś \\(Oy\\)</strong> - jakie &quot;poziomy&quot; osiąga wykres.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Identyfikacja odcinków i ich zakresów \\(y\\):</strong></p>\n<p>| Odcinek | Od punktu | Do punktu | Wartości \\(y\\) |<br>| Rosnący | \\((-5,\\ -4)\\) | \\((-3,\\ -1)\\) | \\(\\langle -4,\\ -1 \\rangle\\) |<br>| Poziomy | \\((-3,\\ -1)\\) | \\((-1,\\ -1)\\) | \\(\\{-1\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |<br>| Rosnący | z otwartym początkiem przy \\(y=1\\) | \\((1,\\ 3)\\) | \\((1,\\ 3\\rangle\\) |<br>| Poziomy | \\((1,\\ 3)\\) | \\((7,\\ 3)\\) | \\(\\{3\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |</p>\n<p><strong>Krok 2 - Kluczowa obserwacja:</strong></p>\n<p>Na wykresie widać <strong>przerwę</strong> (nieciągłość): między odcinkiem poziomym kończącym się przy \\(y=-1\\) a kolejnym odcinkiem rosnącym. Punkt startowy tego nowego odcinka ma <strong>otwarte kółko</strong> - oznacza to, że \\(y = 1\\) <strong>nie jest osiągane</strong>. Stąd drugi przedział zaczyna się od nawiasu okrągłego: \\((1,\\ 3\\rangle\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - Złożenie wyniku:</strong></p>\n<p>\\[\\text{Zbiór wartości} = \\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez &quot;rzutowanie na oś \\(Oy\\)&quot;</h4>\n<p>Wyobraź sobie poziome promienie świetlne biegnące od lewej równolegle do osi \\(Ox\\). Dla jakich wartości \\(y\\) promień <strong>trafia w wykres</strong>?</p>\n<ul><li>\\(y = -4\\): trafia w punkt \\((-5,\\ -4)\\) - <strong>tak</strong>, osiągane ✓</li><li>\\(y = -2\\): trafia w odcinek rosnący - <strong>tak</strong>, osiągane ✓</li><li>\\(y = -1\\): trafia w poziomy odcinek - <strong>tak</strong>, osiągane ✓</li><li>\\(y = 0\\): nie trafia nigdzie - <strong>nie osiągane</strong> ✗</li><li>\\(y = 1\\): nie trafia (otwarte kółko!) - <strong>nie osiągane</strong> ✗</li><li>\\(y = 2\\): trafia w odcinek rosnący - <strong>tak</strong>, osiągane ✓</li><li>\\(y = 3\\): trafia w poziomy odcinek \\(\\langle 1, 7\\rangle\\) - <strong>tak</strong>, osiągane ✓</li><li>\\(y = 4\\): nie trafia - <strong>nie osiągane</strong> ✗</li></ul>\n<p>Zatem zbiór wartości to dokładnie \\(\\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - zakłada, że wykres jest <strong>ciągły</strong> i przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) do \\(3\\). Pomija nieciągłość - w przedziale \\((-1,\\ 1\\rangle\\) funkcja nie przyjmuje żadnych wartości. |<br>| <strong>B</strong> | \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - prawie dobrze! Błąd polega na <strong>zamkniętym nawiasie przy \\(1\\)</strong>. Na wykresie punkt przy \\(y=1\\) ma otwarte kółko, więc \\(y=1\\) <strong>nie jest osiągane</strong>. |<br>| <strong>D</strong> | \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - klasyczne pomieszanie <strong>dziedziny</strong> ze <strong>zbiorem wartości</strong>. \\(\\langle -5, 7\\rangle\\) to dziedzina (zakres \\(x\\)), a \\(6\\) w ogóle się tu nie pojawia. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór wartości to zakres na osi \\(\\boldsymbol{Oy}\\), <strong>nie</strong> na osi \\(Ox\\). Nie czytaj przedziałów poziomych wykresów jako zbioru wartości!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwracaj uwagę na <strong>otwarte kółka</strong> na wykresie - oznaczają, że dany punkt <strong>nie należy</strong> do wykresu, a więc dana wartość \\(y\\) <strong>nie jest osiągana</strong>. To właśnie ta pułapka eliminuje odpowiedź B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy wykres jest <strong>nieciągły</strong> (ma przerwę), zbiór wartości będzie sumą rozłącznych przedziałów (\\(\\cup\\)), a nie jednym przedziałem. Jeśli rysunek sugeruje przerwę - zbiór wartości to zawsze <strong>unia</strong>, nie jeden ciągły przedział!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt wykresu</h5>\n<p>Wykres osiąga wartości od najniższej \\(y=-4\\) do najwyższej \\(y=3\\). Ale nie są to wszystkie wartości - widać lukę między pewnymi odcinkami.</p>\n<p>Analizując dokładnie:</p>\n<ul><li>Między \\(y=-1\\) a \\(y=1\\) wykres nie osiąga żadnej wartości (pionowa „luka&quot;), przy czym wartość \\(y=1\\) występuje (np. pochodzi z odcinka rosnącego), ale jest <strong>wyłączona</strong> (otwarte kółko) - stąd przedział \\((1, 3\\rangle\\).</li></ul>\n<p>Zbiór wartości: \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - fałsz, brak wartości \\(y\\in (-1, 1\\rangle\\).</li><li><strong>B.</strong> \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - myli kółko otwarte przy \\(y=1\\) z zamkniętym.</li><li><strong>D.</strong> \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - to dziedzina, nie zbiór wartości.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Patrz wyżej - opcja C jedyna uwzględnia wszystkie osiągane wartości i wyłącza te nieosiągane (kółko otwarte).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(OY\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.</p>"}]}