{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (\n)\nna\no wyrazach dodatnich. Wtedy\nA.\n10\n7\n4\na\na\na\nB.\n8\n3\n6\n4\na\na\na\na\nC.\n8\n3\n9\n2\na\na\na\na\nD.\n8\n7\n5\n2a\na\na\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) o wyrazach dodatnich. Wtedy A. a_4+a_7=a_10 B. a_4+a_6=a_3+a_8 C. a_2+a_9=a_3+a_8 D. a_5+a_7=2a_8","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu\narytmetycznego\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (wyrażenie równa się \\(2\\))\n\n## Sposób 1 - wzory redukcyjne (kąty dopełniające)\n\n**Kluczowa obserwacja:** w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), więc:\n\\[\\alpha + \\beta = 41° + 49° = 90° \\implies \\beta = 90° - \\alpha\\]\n\nStosujemy wzór redukcyjny:\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nUżywamy wartości z tablicy trygonometrycznej (karta CKE, s. 34):\n\\[\\cos 41° \\approx 0{,}7547, \\qquad \\sin 49° \\approx 0{,}7547\\]\n\n(Są równe - bo właśnie \\(\\sin 49° = \\cos 41°\\)!)\n\n\\[\\frac{\\cos 41° + \\sin 49°}{\\cos 41°} = \\frac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\frac{2 \\cdot 0{,}7547}{0{,}7547} = \\mathbf{2}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo kluczowy wzór w tym zadaniu - pozwolił zamienić \\(\\sin 49°\\) na \\(\\cos 41°\\) i uprościć licznik.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - suma kątów trójkąta: suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi \\(90°\\) - to uzasadnienie, że możemy użyć wzoru redukcyjnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Rozkładają ułamek poprawnie: \\(\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = 1 + \\frac{\\sin\\beta}{\\cos\\alpha}\\), ale potem **zapominają podzielić** \\(\\sin\\beta\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) i zapisują \\(1 + \\sin\\beta = 1 + \\sin 49°\\) |\n| B | Sądzą, że \\(\\cos\\alpha\\) w liczniku i mianowniku „skraca się w całości\", pozostawiając samo \\(\\sin\\beta = \\sin 49°\\) |\n| C | Ignorują \\(\\sin\\beta\\) w liczniku (np. sądzą że wynosi 0) i liczą \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 1\\), albo mylnie twierdzą, że \\(\\cos\\alpha + \\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób w ogóle nie zauważa, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To jest serce zadania - bez tego spostrzeżenia wyrażenie wygląda na nieupraszczalne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu ułamka \\(\\frac{A + B}{C} = \\frac{A}{C} + \\frac{B}{C}\\) - **obie** składowe muszą zostać podzielone przez \\(C\\). Błąd A polega na tym, że piszą \\(1 + B\\) zamiast \\(1 + \\frac{B}{C}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory redukcyjne \\(\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) są na karcie wzorów - warto je **od razu** zastosować, gdy widzisz w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność kątów dopełniających\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\) (bo trzeci kąt to \\(90^{\\circ}\\)). Tu \\(41^{\\circ}+49^{\\circ}=90^{\\circ}\\) ✓.\n\nWzór: \\(\\sin(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem \\(\\sin 49^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ}-41^{\\circ}) = \\cos 41^{\\circ} = \\cos\\alpha\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Na wartościach liczbowych\n\\(\\cos 41^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\), \\(\\sin 49^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\).\n\\[\\dfrac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\dfrac{1{,}5094}{0{,}7547} \\approx 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1 + \\sin 49^{\\circ}\\)** - zapomniano, że \\(\\tfrac{\\sin 49^{\\circ}}{\\cos 41^{\\circ}}=1\\).\n- **B. \\(\\sin 49^{\\circ}\\)** - uproszczono tylko jeden składnik.\n- **C. \\(1\\)** - zły uproszczenie.\n\n**Trik:** \\(\\sin(90^{\\circ}-x) = \\cos x\\) - najczęstsza tożsamość w zadaniach z trójkątem prostokątnym.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (
)
na
o wyrazach dodatnich. Wtedy
A.
10
7
4
a
a
a
B.
8
3
6
4
a
a
a
a
C.
8
3
9
2
a
a
a
a
D.
8
7
5
2a
a
a
Matura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) o wyrazach dodatnich. Wtedy A. a_4+a_7=a_10 B. a_4+a_6=a_3+a_8 C. a_2+a_9=a_3+a_8 D. a_5+a_7=2a_8

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Użycie i tworzenie strategii
Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu
arytmetycznego
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D (wyrażenie równa się \\(2\\))

\n

Sposób 1 - wzory redukcyjne (kąty dopełniające)

\n

Kluczowa obserwacja: w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), więc:
\\[\\alpha + \\beta = 41° + 49° = 90° \\implies \\beta = 90° - \\alpha\\]

\n

Stosujemy wzór redukcyjny:
\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]

\n

Podstawiamy do wyrażenia:
\\[\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\mathbf{2}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja numeryczna

\n

Używamy wartości z tablicy trygonometrycznej (karta CKE, s. 34):
\\[\\cos 41° \\approx 0{,}7547, \\qquad \\sin 49° \\approx 0{,}7547\\]

\n

(Są równe - bo właśnie \\(\\sin 49° = \\cos 41°\\)!)

\n

\\[\\frac{\\cos 41° + \\sin 49°}{\\cos 41°} = \\frac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\frac{2 \\cdot 0{,}7547}{0{,}7547} = \\mathbf{2}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzory redukcyjne:
\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]

\n

To kluczowy wzór w tym zadaniu - pozwolił zamienić \\(\\sin 49°\\) na \\(\\cos 41°\\) i uprościć licznik.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - suma kątów trójkąta: suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi \\(90°\\) - to uzasadnienie, że możemy użyć wzoru redukcyjnego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Rozkładają ułamek poprawnie: \\(\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = 1 + \\frac{\\sin\\beta}{\\cos\\alpha}\\), ale potem zapominają podzielić \\(\\sin\\beta\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) i zapisują \\(1 + \\sin\\beta = 1 + \\sin 49°\\) |
| B | Sądzą, że \\(\\cos\\alpha\\) w liczniku i mianowniku „skraca się w całości", pozostawiając samo \\(\\sin\\beta = \\sin 49°\\) |
| C | Ignorują \\(\\sin\\beta\\) w liczniku (np. sądzą że wynosi 0) i liczą \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 1\\), albo mylnie twierdzą, że \\(\\cos\\alpha + \\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wiele osób w ogóle nie zauważa, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To jest serce zadania - bez tego spostrzeżenia wyrażenie wygląda na nieupraszczalne!
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładaniu ułamka \\(\\frac{A + B}{C} = \\frac{A}{C} + \\frac{B}{C}\\) - obie składowe muszą zostać podzielone przez \\(C\\). Błąd A polega na tym, że piszą \\(1 + B\\) zamiast \\(1 + \\frac{B}{C}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzory redukcyjne \\(\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) są na karcie wzorów - warto je od razu zastosować, gdy widzisz w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre naraz.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Własność kątów dopełniających
\n

W trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\) (bo trzeci kąt to \\(90^{\\circ}\\)). Tu \\(41^{\\circ}+49^{\\circ}=90^{\\circ}\\) ✓.

\n

Wzór: \\(\\sin(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem \\(\\sin 49^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ}-41^{\\circ}) = \\cos 41^{\\circ} = \\cos\\alpha\\).

\n

Podstawiamy:
\\[\\dfrac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Na wartościach liczbowych
\n

\\(\\cos 41^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\), \\(\\sin 49^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\).
\\[\\dfrac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\dfrac{1{,}5094}{0{,}7547} \\approx 2.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\sin(90^{\\circ}-x) = \\cos x\\) - najczęstsza tożsamość w zadaniach z trójkątem prostokątnym.

"}]}