{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n5\ncos\n13\nα =\n. Wtedy\nA.\n12\nsin\n13\nα =\noraz\n12\ntg\n5\nα =\nB.\n12\nsin\n13\nα =\noraz\n5\ntg\n12\nα =\nC.\n12\nsin\n5\nα =\noraz\n12\ntg\n13\nα =\nD.\n5\nsin\n12\nα =\noraz\n12\ntg\n13\nα =\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry i cos a = 5/13. Wtedy A. sin a = 12/13 oraz tg a = 12/5 B. sin a = 12/13 oraz tg a = 5/12 C. sin a = 12/5 oraz tg a = 12/13 D. sin a = 5/12 oraz tg a = 12/13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie wartości pozostałych\nfunkcji tego samego kąta ostrego, gdy\ndana jest wartość jednej z nich\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - różnica ciągu wynosi \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie różnicy ze wzoru na wyraz ogólny\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego to \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(r\\) to różnica ciągu.\n\nMamy dany wzór \\(a_n = 2n - 1\\). Zapiszmy go w postaci zgodnej ze wzorem ogólnym:\n\n\\[a_n = 2n - 1 = 2(n-1) + 1\\]\n\nPorównując z \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n- \\(a_1 = 1\\) (wyraz wolny)\n- **\\(r = 2\\)** (współczynnik przy \\((n-1)\\))\n\nZatem różnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{r = 2}\\).\n\n## Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{n+1} - a_n\\)\n\nRóżnica ciągu to stała wartość \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (kolejny wyraz minus poprzedni).\n\nObliczamy:\n\\[a_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1\\]\n\\[a_n = 2n - 1\\]\n\n\\[r = a_{n+1} - a_n = (2n+1) - (2n-1) = 2n + 1 - 2n + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\nDla pewności sprawdzamy na konkretnych wyrazach:\n- \\(a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\)\n- \\(a_2 = 2 \\cdot 2 - 1 = 3\\)\n- \\(a_3 = 2 \\cdot 3 - 1 = 5\\)\n\nRóżnice: \\(3 - 1 = 2\\), \\(5 - 3 = 2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do identyfikacji różnicy przez porównanie postaci wzoru z danym wyrażeniem \\(2n - 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 - a_2 = 1 - 3 = -2\\) lub pomylił kolejność odejmowania (poprzedni minus następny) |\n| B \\((1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 = 1\\) i uznał je za różnicę, myląc pierwszy wyraz z różnicą ciągu |\n| D \\((3)\\) | Uczeń wziął wartość \\(a_2 = 3\\) i uznał ją za różnicę, lub pomylył \\(a_1 + r\\) z samym \\(r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz \\(a_1\\) to NIE jest różnica ciągu! Tu \\(a_1 = 1\\), a \\(r = 2\\) - to dwie różne rzeczy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu różnicy zawsze odejmujemy **następny minus poprzedni** (\\(a_{n+1} - a_n\\)), nie odwrotnie. Odwrócenie kolejności da błędny znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przy \\(n\\) we wzorze liniowym \\(a_n = 2n - 1\\) to zawsze różnica ciągu arytmetycznego - to szybki sposób na jej odczytanie bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja różnicy\nRóżnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_{n+1} - a_{n}\\).\n\\[r = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2n+2-1-2n+1 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Współczynnik przy \\(n\\)\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r = rn + (a_{1} - r)\\). Porównujemy z \\(a_{n} = 2n - 1\\): współczynnik przy \\(n\\) to \\(r = 2\\).\n\n### Sposób 3 - Wypisanie kilku wyrazów\n\\(a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=5, a_{4}=7\\). Różnice kolejne: \\(3-1=2\\), \\(5-3=2\\), \\(7-5=2\\). Stała \\(r=2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)**, **B. \\(1\\)**, **D. \\(3\\)** - nie zgadzają się z obliczoną różnicą.\n\n**Trik:** W \\(a_{n}=An+B\\) współczynnik przy \\(n\\) zawsze równy jest różnicy \\(r\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
5
cos
13
α =
. Wtedy
A.
12
sin
13
α =
oraz
12
tg
5
α =
B.
12
sin
13
α =
oraz
5
tg
12
α =
C.
12
sin
5
α =
oraz
12
tg
13
α =
D.
5
sin
12
α =
oraz
12
tg
13
α =

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
Matura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry i cos a = 5/13. Wtedy A. sin a = 12/13 oraz tg a = 12/5 B. sin a = 12/13 oraz tg a = 5/12 C. sin a = 12/5 oraz tg a = 12/13 D. sin a = 5/12 oraz tg a = 12/13

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczenie wartości pozostałych
funkcji tego samego kąta ostrego, gdy
dana jest wartość jednej z nich
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - różnica ciągu wynosi \\(2\\)

\n

Sposób 1 - Obliczenie różnicy ze wzoru na wyraz ogólny

\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(r\\) to różnica ciągu.

\n

Mamy dany wzór \\(a_n = 2n - 1\\). Zapiszmy go w postaci zgodnej ze wzorem ogólnym:

\n

\\[a_n = 2n - 1 = 2(n-1) + 1\\]

\n

Porównując z \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):

\n\n

Zatem różnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{r = 2}\\).

\n

Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{n+1} - a_n\\)

\n

Różnica ciągu to stała wartość \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (kolejny wyraz minus poprzedni).

\n

Obliczamy:
\\[a_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1\\]
\\[a_n = 2n - 1\\]

\n

\\[r = a_{n+1} - a_n = (2n+1) - (2n-1) = 2n + 1 - 2n + 1 = \\mathbf{2}\\]

\n

Dla pewności sprawdzamy na konkretnych wyrazach:

\n\n

Różnice: \\(3 - 1 = 2\\), \\(5 - 3 = 2\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do identyfikacji różnicy przez porównanie postaci wzoru z danym wyrażeniem \\(2n - 1\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((-1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 - a_2 = 1 - 3 = -2\\) lub pomylił kolejność odejmowania (poprzedni minus następny) |
| B \\((1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 = 1\\) i uznał je za różnicę, myląc pierwszy wyraz z różnicą ciągu |
| D \\((3)\\) | Uczeń wziął wartość \\(a_2 = 3\\) i uznał ją za różnicę, lub pomylył \\(a_1 + r\\) z samym \\(r\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pierwszy wyraz \\(a_1\\) to NIE jest różnica ciągu! Tu \\(a_1 = 1\\), a \\(r = 2\\) - to dwie różne rzeczy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu różnicy zawsze odejmujemy następny minus poprzedni (\\(a_{n+1} - a_n\\)), nie odwrotnie. Odwrócenie kolejności da błędny znak.
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik przy \\(n\\) we wzorze liniowym \\(a_n = 2n - 1\\) to zawsze różnica ciągu arytmetycznego - to szybki sposób na jej odczytanie bez żadnych obliczeń.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja różnicy
\n

Różnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_{n+1} - a_{n}\\).
\\[r = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2n+2-1-2n+1 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Współczynnik przy \\(n\\)
\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r = rn + (a_{1} - r)\\). Porównujemy z \\(a_{n} = 2n - 1\\): współczynnik przy \\(n\\) to \\(r = 2\\).

\n
Sposób 3 - Wypisanie kilku wyrazów
\n

\\(a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=5, a_{4}=7\\). Różnice kolejne: \\(3-1=2\\), \\(5-3=2\\), \\(7-5=2\\). Stała \\(r=2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: W \\(a_{n}=An+B\\) współczynnik przy \\(n\\) zawsze równy jest różnicy \\(r\\).

"}]}