{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n2\n2\n2\nsin 38\ncos 38\n1\nsin 52\ncos 52\n1\n°+\n°-\n°+\n°+ jest równa\nA. 1\n2\nB. 0\nC.\n1\n2\nD. 1\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wartość wyrażenia sin^2 38 + cos^2 38 - 1 / sin^2 52 + cos^2 52 + 1 A. 1/2, B. 0, C. -1/2, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie prostych związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_1 = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Iloraz ciągu i cofnięcie o jeden wyraz\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez \\(q\\), więc:\n\n\\[q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}\\]\n\nDzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność:\n\n\\[q = -1 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2\\sqrt{2}}{2} = -\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(a_1\\) - \"cofamy się\" o jeden wyraz.**\n\nSkoro \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\), to:\n\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{-2\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (wzór ogólny)\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\):\n\n\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 \\cdot q^1 = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ a_3 = a_1 \\cdot q^2 = -1 \\end{cases}\\]\n\nDzielimy stronami równanie drugie przez pierwsze:\n\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1 \\cdot q} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}} \\implies q = -\\sqrt{2}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[a_1 \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\implies a_1 = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(a_1 = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(q = -\\sqrt{2}\\)\n\n\\[a_2 = -\\frac{1}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\checkmark\\]\n\\[a_3 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{-2}{2} = -1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz własność, że iloraz to:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - do wyznaczenia \\(q\\) z ilorazu \\(\\frac{a_3}{a_2}\\), a następnie \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Zgubiono znak minusa przy dzieleniu: uczeń liczy \\(\\dfrac{\\sqrt{2}/2}{\\sqrt{2}}\\) zamiast przez \\(-\\sqrt{2}\\) |\n| **C** \\(-\\sqrt{2}\\) | Zatrzymano się na ilorazie - wyznaczono \\(q\\) i uznano je za \\(a_1\\) |\n| **D** \\(\\sqrt{2}\\) | Wzięto wartość bezwzględną \\(|q|\\) lub pomylono znak, nie przenosząc go do \\(a_1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q\\) może być **ujemny** - wtedy wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak. To jest poprawny ciąg geometryczny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez ułamek pamiętaj: \\(\\dfrac{a}{\\frac{b}{c}} = a \\cdot \\dfrac{c}{b}\\). Tutaj \\(\\dfrac{-1}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = -1 \\cdot \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}\\) - ten krok jest źródłem wielu błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(q\\) z \\(a_1\\)! Iloraz ciągu to stosunek sąsiednich wyrazów, a nie pierwszy wyraz. Zawsze sprawdzaj, czego szuka zadanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloraz \\(q\\) i wzór wstecz\nW ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\):\n\\[q = \\dfrac{-1}{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}} = -\\dfrac{2}{\\sqrt{2}} = -\\sqrt{2}.\\]\nWtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Własność ciągu geometrycznego\n\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2} = a_{1}\\cdot (-1)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\tfrac{2}{4} = -a_{1}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(a_{1} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - brak znaku minus. Ale \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)\\cdot q^{2} = a_{3}\\) wymaga \\(q^{2}=-2\\), nie \\(\\in \\mathbb{R}\\).\n- **C. \\(-\\sqrt{2}\\)** - to \\(q\\), nie \\(a_{1}\\).\n- **D. \\(\\sqrt{2}\\)** - błędne obliczenie.\n\n**Trik:** W ciągu geometrycznym: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli średnia geometryczna sąsiadów.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Wartość wyrażenia<br>2<br>2<br>2<br>2<br>sin 38<br>cos 38<br>1<br>sin 52<br>cos 52<br>1<br>°+<br>°-<br>°+<br>°+ jest równa<br>A. 1<br>2<br>B. 0<br>C.<br>1<br>2<br>D. 1<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Wartość wyrażenia sin^2 38 + cos^2 38 - 1 / sin^2 52 + cos^2 52 + 1 A. 1/2, B. 0, C. -1/2, D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Zastosowanie prostych związków między<br>funkcjami trygonometrycznymi kąta<br>ostrego<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(a_1 = -\\dfrac{1}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Iloraz ciągu i cofnięcie o jeden wyraz</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).</strong></p>\n<p>W ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez \\(q\\), więc:</p>\n<p>\\[q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}\\]</p>\n<p>Dzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność:</p>\n<p>\\[q = -1 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2\\sqrt{2}}{2} = -\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy \\(a_1\\) - &quot;cofamy się&quot; o jeden wyraz.</strong></p>\n<p>Skoro \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\), to:</p>\n<p>\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{-2\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań (wzór ogólny)</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\):</p>\n<p>\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 \\cdot q^1 = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ a_3 = a_1 \\cdot q^2 = -1 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Dzielimy stronami równanie drugie przez pierwsze:</p>\n<p>\\[\\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1 \\cdot q} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}} \\implies q = -\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszego równania:</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\implies a_1 = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(a_1 = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(q = -\\sqrt{2}\\)</p>\n<p>\\[a_2 = -\\frac{1}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\checkmark\\]<br>\\[a_3 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{-2}{2} = -1 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>oraz własność, że iloraz to:<br>\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w obu sposobach - do wyznaczenia \\(q\\) z ilorazu \\(\\frac{a_3}{a_2}\\), a następnie \\(a_1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>B</strong> \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Zgubiono znak minusa przy dzieleniu: uczeń liczy \\(\\dfrac{\\sqrt{2}/2}{\\sqrt{2}}\\) zamiast przez \\(-\\sqrt{2}\\) |<br>| <strong>C</strong> \\(-\\sqrt{2}\\) | Zatrzymano się na ilorazie - wyznaczono \\(q\\) i uznano je za \\(a_1\\) |<br>| <strong>D</strong> \\(\\sqrt{2}\\) | Wzięto wartość bezwzględną \\(|q|\\) lub pomylono znak, nie przenosząc go do \\(a_1\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloraz \\(q\\) może być <strong>ujemny</strong> - wtedy wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak. To jest poprawny ciąg geometryczny!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu przez ułamek pamiętaj: \\(\\dfrac{a}{\\frac{b}{c}} = a \\cdot \\dfrac{c}{b}\\). Tutaj \\(\\dfrac{-1}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = -1 \\cdot \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}\\) - ten krok jest źródłem wielu błędów rachunkowych.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(q\\) z \\(a_1\\)! Iloraz ciągu to stosunek sąsiednich wyrazów, a nie pierwszy wyraz. Zawsze sprawdzaj, czego szuka zadanie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Iloraz \\(q\\) i wzór wstecz</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\):<br>\\[q = \\dfrac{-1}{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}} = -\\dfrac{2}{\\sqrt{2}} = -\\sqrt{2}.\\]<br>Wtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = -\\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Własność ciągu geometrycznego</h5>\n<p>\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2} = a_{1}\\cdot (-1)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\tfrac{2}{4} = -a_{1}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(a_{1} = -\\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - brak znaku minus. Ale \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)\\cdot q^{2} = a_{3}\\) wymaga \\(q^{2}=-2\\), nie \\(\\in \\mathbb{R}\\).</li><li><strong>C. \\(-\\sqrt{2}\\)</strong> - to \\(q\\), nie \\(a_{1}\\).</li><li><strong>D. \\(\\sqrt{2}\\)</strong> - błędne obliczenie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W ciągu geometrycznym: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli średnia geometryczna sąsiadów.</p>"}]}