{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW prostopadłościanie ABCDEFGH mamy:\n5\nAB\n,\n4\nAD\n,\n3\nAE\n. Który z odcinków\nAB, BG, GE, EB jest najdłuższy?\nA. AB\nB. BG\nC. GE\nD. EB\nMatura podstawowa z matematyki 2011. W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3. Który odcinek AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnalezienie związków miarowych\nw przestrzeni\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(a = -\\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nMamy dwa punkty: \\(A = (-2, 2)\\) i \\(B = (4, -2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[a = \\frac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Zatem współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez równanie prostej\n\nSkoro \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\), wyznaczymy pełne równanie prostej \\(AB\\) i sprawdzimy, czy oba punkty na niej leżą.\n\nRównanie kierunkowe: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + b\\)\n\nPodstawiamy punkt \\(A = (-2, 2)\\):\n\n\\[2 = -\\frac{2}{3} \\cdot (-2) + b = \\frac{4}{3} + b\\]\n\n\\[b = 2 - \\frac{4}{3} = \\frac{6}{3} - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRównanie prostej: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}\\)\n\n**Sprawdzamy punkt \\(B = (4, -2)\\):**\n\n\\[y = -\\frac{2}{3} \\cdot 4 + \\frac{2}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} = -2 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(B\\) leży na prostej - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy wyznaczamy jako iloraz różnicy rzędnych i różnicy odciętych dwóch punktów prostej:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(a = -\\dfrac{3}{2}\\) - zamieniono miejscami licznik i mianownik: obliczono \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{6}{-4}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |\n| C | \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) - jak błąd B, dodatkowo pominięto znak minus |\n| D | \\(a = \\dfrac{2}{3}\\) - poprawna wartość bezwzględna, ale pominięto znak minus (zapomniano, że \\(y_B - y_A = -4 < 0\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów musi być **spójna** - jeśli w liczniku bierzesz \\(y_B - y_A\\), w mianowniku musisz brać \\(x_B - x_A\\) (ten sam kierunek: od \\(A\\) do \\(B\\)). Zamiana kolejności w liczniku przy tej samej w mianowniku da ten sam wynik - ale mieszanie jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o odejmowaniu **ujemnych** liczb: \\(x_B - x_A = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu z ujemnymi współrzędnymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny współczynnik kierunkowy oznacza, że prosta jest **malejąca** - im większe \\(x\\), tym mniejsze \\(y\\). Sprawdź intuicyjnie: od \\(A\\) do \\(B\\) idziemy w prawo (rośnie \\(x\\)) i w dół (maleje \\(y\\)), więc \\(a < 0\\). To szybka kontrola znaku!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy\n\\[a = \\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \\dfrac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\dfrac{-4}{6} = -\\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Równanie prostej i odczyt\nRównanie przez punkty \\(A, B\\):\n\\[\\dfrac{x - x_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}\\]\n\\[\\dfrac{x+2}{6} = \\dfrac{y-2}{-4}\\]\n\\[-4(x+2) = 6(y-2)\\]\n\\[-4x - 8 = 6y - 12\\]\n\\[6y = -4x + 4 \\Rightarrow y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}.\\]\nWspółczynnik kierunkowy: \\(-\\tfrac{2}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{3}{2}\\)** - zamieniono miejscami wyróżnik.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - źle (zarówno znak, jak i odwrotność).\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** \\(a = \\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), NIE \\(\\tfrac{\\Delta x}{\\Delta y}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy:<br>5<br>AB<br>,<br>4<br>AD<br>,<br>3<br>AE<br>. Który z odcinków<br>AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?<br>A. AB<br>B. BG<br>C. GE<br>D. EB<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3. Który odcinek AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Użycie i tworzenie strategii<br>Znalezienie związków miarowych<br>w przestrzeni<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(a = -\\dfrac{2}{3}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów</h4>\n<p>Mamy dwa punkty: \\(A = (-2, 2)\\) i \\(B = (4, -2)\\).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:</p>\n<p>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>\\[a = \\frac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]</p>\n<p><strong>Zatem współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez równanie prostej</h4>\n<p>Skoro \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\), wyznaczymy pełne równanie prostej \\(AB\\) i sprawdzimy, czy oba punkty na niej leżą.</p>\n<p>Równanie kierunkowe: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + b\\)</p>\n<p>Podstawiamy punkt \\(A = (-2, 2)\\):</p>\n<p>\\[2 = -\\frac{2}{3} \\cdot (-2) + b = \\frac{4}{3} + b\\]</p>\n<p>\\[b = 2 - \\frac{4}{3} = \\frac{6}{3} - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Równanie prostej: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}\\)</p>\n<p><strong>Sprawdzamy punkt \\(B = (4, -2)\\):</strong></p>\n<p>\\[y = -\\frac{2}{3} \\cdot 4 + \\frac{2}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} = -2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Punkt \\(B\\) leży na prostej - wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy wyznaczamy jako iloraz różnicy rzędnych i różnicy odciętych dwóch punktów prostej:<br>\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(a = -\\dfrac{3}{2}\\) - zamieniono miejscami licznik i mianownik: obliczono \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{6}{-4}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |<br>| C | \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) - jak błąd B, dodatkowo pominięto znak minus |<br>| D | \\(a = \\dfrac{2}{3}\\) - poprawna wartość bezwzględna, ale pominięto znak minus (zapomniano, że \\(y_B - y_A = -4 &lt; 0\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność punktów musi być <strong>spójna</strong> - jeśli w liczniku bierzesz \\(y_B - y_A\\), w mianowniku musisz brać \\(x_B - x_A\\) (ten sam kierunek: od \\(A\\) do \\(B\\)). Zamiana kolejności w liczniku przy tej samej w mianowniku da ten sam wynik - ale mieszanie jest błędem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o odejmowaniu <strong>ujemnych</strong> liczb: \\(x_B - x_A = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu z ujemnymi współrzędnymi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny współczynnik kierunkowy oznacza, że prosta jest <strong>malejąca</strong> - im większe \\(x\\), tym mniejsze \\(y\\). Sprawdź intuicyjnie: od \\(A\\) do \\(B\\) idziemy w prawo (rośnie \\(x\\)) i w dół (maleje \\(y\\)), więc \\(a &lt; 0\\). To szybka kontrola znaku!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy</h5>\n<p>\\[a = \\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \\dfrac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\dfrac{-4}{6} = -\\dfrac{2}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Równanie prostej i odczyt</h5>\n<p>Równanie przez punkty \\(A, B\\):<br>\\[\\dfrac{x - x_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}\\]<br>\\[\\dfrac{x+2}{6} = \\dfrac{y-2}{-4}\\]<br>\\[-4(x+2) = 6(y-2)\\]<br>\\[-4x - 8 = 6y - 12\\]<br>\\[6y = -4x + 4 \\Rightarrow y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}.\\]<br>Współczynnik kierunkowy: \\(-\\tfrac{2}{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-\\tfrac{3}{2}\\)</strong> - zamieniono miejscami wyróżnik.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{3}{2}\\)</strong> - źle (zarówno znak, jak i odwrotność).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)</strong> - zły znak.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a = \\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), NIE \\(\\tfrac{\\Delta x}{\\Delta y}\\).</p>"}]}