{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę\nA.\n°\n80\nB.\n°\n100\nC. 110°\nD. 120°\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany alfa ma miarę A. 80 stopni B. 100 stopni C. 110 stopni D. 120 stopni","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nSkorzystanie ze związków między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((-2, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego\n\nRównanie okręgu w postaci kanonicznej to:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to **środek okręgu**, a \\(r\\) to promień.\n\nDane równanie:\n\\[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5\\]\n\nPrzepiszmy je tak, żeby pasowało do wzoru kanonicznego:\n\\[(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5\\]\n\nPorównując: \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), \\(r = \\sqrt{5}\\).\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-2, 3)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka\n\nSprawdzamy, czy punkt \\((-2, 3)\\) leży w centrum - tzn. czy odległość od niego do dowolnego punktu na okręgu wynosi \\(\\sqrt{5}\\).\n\nWeźmy punkt leżący na okręgu, np. sprawdźmy punkt \\((-2, 3 + \\sqrt{5})\\):\n\\[(-2+2)^2 + (3+\\sqrt{5}-3)^2 = 0 + 5 = 5 \\checkmark\\]\n\nŚrodek to jedyny punkt wewnątrz okręgu, od którego każdy punkt na okręgu jest w odległości dokładnie \\(r\\). Punkt \\((-2,3)\\) spełnia warunek środka. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) - środek okręgu, \\(r\\) - promień.\n\nDokładnie tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1 do odczytania współrzędnych środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\((2, -3)\\) | Zmieniono znak **obu** współrzędnych - wzięto liczby wprost z równania bez uwzględnienia, że we wzorze kanonicznym są znaki minus: \\((x-a)\\) i \\((y-b)\\) |\n| B: \\((-2, -3)\\) | Współrzędna \\(x\\) poprawna, ale zmieniono znak \\(y\\) - zapewne przez analogię do \\(x\\), myląc \\((y-3)\\) z \\((y+3)\\) |\n| D: \\((2, 3)\\) | Zmieniono znak tylko współrzędnej \\(x\\) - wzięto \\(+2\\) zamiast \\(-2\\), bo tak stoi w równaniu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze kanonicznym jest \\((x - a)^2\\), więc jeśli w równaniu widzisz \\((x + 2)^2\\), to \\(a = -2\\), **nie** \\(+2\\). Znak się odwraca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((y - 3)^2\\) - tu nie ma pułapki ze znakiem, bo już jest minus. Ale uczniowie często przez analogię do \\(x\\) też zmieniają znak \\(y\\), co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawa strona równania to \\(r^2 = 5\\), więc promień wynosi \\(r = \\sqrt{5}\\), a **nie** \\(5\\). W tym zadaniu nas to nie dotyczy (pytano o środek), ale o promieniu łatwo się pomylić przy innych poleceniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie okręgu: \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = r^{2}\\), gdzie \\(S=(x_{0}, y_{0})\\) to środek.\n\nTu mamy \\((x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 5\\):\n- \\(x + 2 = x - (-2)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x_{0} = -2\\).\n- \\(y - 3\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(y_{0} = 3\\).\n\nZatem \\(S = (-2, 3)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie sztucznym punktem\nŚrodek = punkt, dla którego \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = 0\\). W opcji C: \\((-2+2)^{2}+(3-3)^{2}=0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((2, -3)\\) - błędnie odczytano obie współrzędne.\n- **B.** \\((-2, -3)\\) - błędny znak \\(y\\).\n- **D.** \\((2, 3)\\) - błędny znak \\(x\\).\n\n**Trik:** W \\((x+a)^{2}\\): środek ma \\(-a\\) (bo \\(x+a = x-(-a)\\)).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę<br>A.<br>°<br>80<br>B.<br>°<br>100<br>C. 110°<br>D. 120°<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany alfa ma miarę A. 80 stopni B. 100 stopni C. 110 stopni D. 120 stopni</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Skorzystanie ze związków między kątem<br>środkowym i kątem wpisanym<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\((-2, 3)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego</h4>\n<p>Równanie okręgu w postaci kanonicznej to:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\(S = (a, b)\\) to <strong>środek okręgu</strong>, a \\(r\\) to promień.</p>\n<p>Dane równanie:<br>\\[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5\\]</p>\n<p>Przepiszmy je tak, żeby pasowało do wzoru kanonicznego:<br>\\[(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5\\]</p>\n<p>Porównując: \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), \\(r = \\sqrt{5}\\).</p>\n<p><strong>Środek okręgu: \\(S = (-2, 3)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy punkt \\((-2, 3)\\) leży w centrum - tzn. czy odległość od niego do dowolnego punktu na okręgu wynosi \\(\\sqrt{5}\\).</p>\n<p>Weźmy punkt leżący na okręgu, np. sprawdźmy punkt \\((-2, 3 + \\sqrt{5})\\):<br>\\[(-2+2)^2 + (3+\\sqrt{5}-3)^2 = 0 + 5 = 5 \\checkmark\\]</p>\n<p>Środek to jedyny punkt wewnątrz okręgu, od którego każdy punkt na okręgu jest w odległości dokładnie \\(r\\). Punkt \\((-2,3)\\) spełnia warunek środka. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu w postaci kanonicznej:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>gdzie \\(S = (a, b)\\) - środek okręgu, \\(r\\) - promień.</p>\n<p>Dokładnie tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1 do odczytania współrzędnych środka.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\((2, -3)\\) | Zmieniono znak <strong>obu</strong> współrzędnych - wzięto liczby wprost z równania bez uwzględnienia, że we wzorze kanonicznym są znaki minus: \\((x-a)\\) i \\((y-b)\\) |<br>| B: \\((-2, -3)\\) | Współrzędna \\(x\\) poprawna, ale zmieniono znak \\(y\\) - zapewne przez analogię do \\(x\\), myląc \\((y-3)\\) z \\((y+3)\\) |<br>| D: \\((2, 3)\\) | Zmieniono znak tylko współrzędnej \\(x\\) - wzięto \\(+2\\) zamiast \\(-2\\), bo tak stoi w równaniu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze kanonicznym jest \\((x - a)^2\\), więc jeśli w równaniu widzisz \\((x + 2)^2\\), to \\(a = -2\\), <strong>nie</strong> \\(+2\\). Znak się odwraca!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((y - 3)^2\\) - tu nie ma pułapki ze znakiem, bo już jest minus. Ale uczniowie często przez analogię do \\(x\\) też zmieniają znak \\(y\\), co jest błędem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prawa strona równania to \\(r^2 = 5\\), więc promień wynosi \\(r = \\sqrt{5}\\), a <strong>nie</strong> \\(5\\). W tym zadaniu nas to nie dotyczy (pytano o środek), ale o promieniu łatwo się pomylić przy innych poleceniach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu</h5>\n<p>Równanie okręgu: \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = r^{2}\\), gdzie \\(S=(x_{0}, y_{0})\\) to środek.</p>\n<p>Tu mamy \\((x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 5\\):</p>\n<ul><li>\\(x + 2 = x - (-2)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x_{0} = -2\\).</li><li>\\(y - 3\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(y_{0} = 3\\).</li></ul>\n<p>Zatem \\(S = (-2, 3)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie sztucznym punktem</h5>\n<p>Środek = punkt, dla którego \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = 0\\). W opcji C: \\((-2+2)^{2}+(3-3)^{2}=0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\((2, -3)\\) - błędnie odczytano obie współrzędne.</li><li><strong>B.</strong> \\((-2, -3)\\) - błędny znak \\(y\\).</li><li><strong>D.</strong> \\((2, 3)\\) - błędny znak \\(x\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W \\((x+a)^{2}\\): środek ma \\(-a\\) (bo \\(x+a = x-(-a)\\)).</p>"}]}