{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nWysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa\nA. 3 3\nB. 3\nC. 6 3\nD. 6\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 stopni jest równa A. 3 pierwiastki z 3, B. 3, C. 6 pierwiastków z 3, D. 6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich\nA\nKryteria oceniania odpowiedzi\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - dłuższy bok wynosi \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań ze stosunku boków\n\n**Oznaczamy boki prostokąta.** Stosunek boków to \\(3:4\\), więc możemy napisać:\n\\[a = 3k, \\quad b = 4k\\]\ndla pewnego \\(k > 0\\). Bok \\(b = 4k\\) jest dłuższy.\n\n**Korzystamy z obwodu prostokąta:**\n\\[2a + 2b = 28\\]\n\\[2 \\cdot 3k + 2 \\cdot 4k = 28\\]\n\\[6k + 8k = 28\\]\n\\[14k = 28\\]\n\\[k = 2\\]\n\n**Wyznaczamy dłuższy bok:**\n\\[b = 4k = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]\n\n## Sposób 2 - przez sumę boków\n\nObwód prostokąta to \\(2(a + b) = 28\\), więc:\n\\[a + b = 14\\]\n\nStosunek \\(a : b = 3 : 4\\) oznacza, że \\(a = \\frac{3}{4}b\\). Podstawiamy:\n\\[\\frac{3}{4}b + b = 14\\]\n\\[\\frac{7}{4}b = 14\\]\n\\[b = 14 \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{56}{7} = \\mathbf{8}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(a = 14 - 8 = 6\\), obwód \\(= 2(6+8) = 2 \\cdot 14 = 28\\) ✓, stosunek \\(6:8 = 3:4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta \\(O = 2(a+b)\\) i pojęcie proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(14\\) | Wzięto samą sumę boków \\(a + b = 14\\) jako jeden bok - pomylono sumę boków z długością boku |\n| C. \\(7\\) | Podzielono obwód przez 4 (zamiast przez 7), czyli \\(28 \\div 4 = 7\\) - błędne \"rozdzielenie\" obwodu |\n| D. \\(6\\) | To wynik **krótszego** boku (\\(3k = 6\\)), a zadanie pyta o **dłuższy** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić sumy boków z obwodem - obwód to \\(2(a+b)\\), więc najpierw dzielimy przez 2, żeby dostać \\(a + b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(6\\)) jest wynikiem krótszego boku - klasyczna pułapka, gdy zadanie pyta wprost o **dłuższy** bok.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosunku \\(3:4\\) całość dzielimy na \\(3+4=7\\) równych części. Tu: \\(a + b = 14 = 7 \\cdot 2\\), więc jedna \"część\" to \\(2\\), a dłuższy bok to \\(4 \\cdot 2 = 8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Parametr \\(k\\)\nOznaczmy boki: \\(a = 3k\\), \\(b = 4k\\). Obwód: \\(2(a+b) = 2\\cdot 7k = 14k = 28\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(k = 2\\).\nDłuższy bok: \\(b = 4k = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Suma boków\nPołowa obwodu: \\(\\tfrac{28}{2} = 14\\). Stosunek \\(3:4\\), suma części \\(3+4 = 7\\), więc jedna część = \\(\\tfrac{14}{7} = 2\\).\nDłuższy bok: \\(4\\cdot 2 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to suma obu boków (pół obwodu).\n- **C. \\(7\\)** - niepoprawne.\n- **D. \\(6\\)** - to krótszy bok.\n\n**Trik:** Gdy jest stosunek i obwód, oznacz boki jako \\(3k, 4k\\) i rozwiąż na \\(k\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa<br>A. 3 3<br>B. 3<br>C. 6 3<br>D. 6<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 stopni jest równa A. 3 pierwiastki z 3, B. 3, C. 6 pierwiastków z 3, D. 6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Użycie i tworzenie strategii<br>Znalezienie związków miarowych<br>w figurach płaskich<br>A<br>Kryteria oceniania odpowiedzi<br>4</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - dłuższy bok wynosi \\(8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - układ równań ze stosunku boków</h4>\n<p><strong>Oznaczamy boki prostokąta.</strong> Stosunek boków to \\(3:4\\), więc możemy napisać:<br>\\[a = 3k, \\quad b = 4k\\]<br>dla pewnego \\(k &gt; 0\\). Bok \\(b = 4k\\) jest dłuższy.</p>\n<p><strong>Korzystamy z obwodu prostokąta:</strong><br>\\[2a + 2b = 28\\]<br>\\[2 \\cdot 3k + 2 \\cdot 4k = 28\\]<br>\\[6k + 8k = 28\\]<br>\\[14k = 28\\]<br>\\[k = 2\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy dłuższy bok:</strong><br>\\[b = 4k = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - przez sumę boków</h4>\n<p>Obwód prostokąta to \\(2(a + b) = 28\\), więc:<br>\\[a + b = 14\\]</p>\n<p>Stosunek \\(a : b = 3 : 4\\) oznacza, że \\(a = \\frac{3}{4}b\\). Podstawiamy:<br>\\[\\frac{3}{4}b + b = 14\\]<br>\\[\\frac{7}{4}b = 14\\]<br>\\[b = 14 \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{56}{7} = \\mathbf{8}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(a = 14 - 8 = 6\\), obwód \\(= 2(6+8) = 2 \\cdot 14 = 28\\) ✓, stosunek \\(6:8 = 3:4\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta \\(O = 2(a+b)\\) i pojęcie proporcji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(14\\) | Wzięto samą sumę boków \\(a + b = 14\\) jako jeden bok - pomylono sumę boków z długością boku |<br>| C. \\(7\\) | Podzielono obwód przez 4 (zamiast przez 7), czyli \\(28 \\div 4 = 7\\) - błędne &quot;rozdzielenie&quot; obwodu |<br>| D. \\(6\\) | To wynik <strong>krótszego</strong> boku (\\(3k = 6\\)), a zadanie pyta o <strong>dłuższy</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić sumy boków z obwodem - obwód to \\(2(a+b)\\), więc najpierw dzielimy przez 2, żeby dostać \\(a + b\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(6\\)) jest wynikiem krótszego boku - klasyczna pułapka, gdy zadanie pyta wprost o <strong>dłuższy</strong> bok.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy stosunku \\(3:4\\) całość dzielimy na \\(3+4=7\\) równych części. Tu: \\(a + b = 14 = 7 \\cdot 2\\), więc jedna &quot;część&quot; to \\(2\\), a dłuższy bok to \\(4 \\cdot 2 = 8\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Parametr \\(k\\)</h5>\n<p>Oznaczmy boki: \\(a = 3k\\), \\(b = 4k\\). Obwód: \\(2(a+b) = 2\\cdot 7k = 14k = 28\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(k = 2\\).<br>Dłuższy bok: \\(b = 4k = 8\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Suma boków</h5>\n<p>Połowa obwodu: \\(\\tfrac{28}{2} = 14\\). Stosunek \\(3:4\\), suma części \\(3+4 = 7\\), więc jedna część = \\(\\tfrac{14}{7} = 2\\).<br>Dłuższy bok: \\(4\\cdot 2 = 8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(14\\)</strong> - to suma obu boków (pół obwodu).</li><li><strong>C. \\(7\\)</strong> - niepoprawne.</li><li><strong>D. \\(6\\)</strong> - to krótszy bok.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Gdy jest stosunek i obwód, oznacz boki jako \\(3k, 4k\\) i rozwiąż na \\(k\\).</p>"}]}