{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta k ma równanie\n2\n3\ny\nx\n-. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k\ni przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (\n)\n2,1\nA.\n2\n3\ny\nx\nB.\n2\n1\ny\nx\nC.\n2\n5\ny\nx\nD.\n1\ny\nx\nH\nG\nF\nE\nD\nA\nB\nC\nA\nO\nB\nC\nα\n160º\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Prosta k ma równanie y=2x-3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (-2,1). A. y=-2x+3 B. y=2x+1 C. y=2x+5 D. y=-x+1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZbadanie równoległości i prostopadłości\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(R = 5\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym obowiązuje prosta zasada:\n\n> **Promień okręgu opisanego = połowa przeciwprostokątnej**\n\nNajpierw wyznaczamy przeciwprostokątną \\(c\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\\]\n\n\\[c = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nStąd:\n\n\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{10}{2} = \\boxed{5}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ogólny (twierdzenie sinusów)\n\nTwierdzenie sinusów mówi, że:\n\n\\[\\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\nW trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej to \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\), więc:\n\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]\n\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\n\nDostajemy ten sam wzór co w Sposobie 1. Podstawiamy \\(c = 10\\):\n\n\\[R = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyte do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 10\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\nTo jest **gotowy wzór z karty** - wystarczy wyznaczyć przeciwprostokątną i podzielić przez 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - twierdzenie sinusów (uzasadnienie wzoru):\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(14\\) | Zsumowanie obu przyprostokątnych: \\(6 + 8 = 14\\). Brak sensu geometrycznego - promień nie może być większy niż najdłuższy bok. |\n| B - \\(8\\) | Wzięcie dłuższej przyprostokątnej jako promienia. Mylenie promienia z bokiem trójkąta. |\n| C - \\(6\\) | Wzięcie krótszej przyprostokątnej jako promienia. Ten sam błąd - promień okręgu opisanego to połowa **przeciwprostokątnej**, nie przyprostokątnej. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(R = \\frac{c}{2}\\) dotyczy tylko trójkąta **prostokątnego** - dla innych trójkątów musisz użyć twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\frac{abc}{4P}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(R\\) (promień okręgu **opisanego**) z \\(r\\) (promień okręgu **wpisanego**). W trójkącie prostokątnym \\(r = \\frac{a + b - c}{2} = \\frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\\) - zupełnie inna wartość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru \\(R = \\frac{c}{2}\\) upewnij się, że \\(c\\) to **przeciwprostokątna** (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego), a nie jedna z przyprostokątnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa dla okręgu + Pitagoras\nW trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego (Tales). Długość przeciwprostokątnej:\n\\[c = \\sqrt{6^{2}+8^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]\nPromień: \\(R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na \\(R\\) z twierdzenia sinusów\nDla kąta prostego \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\): \\(\\sin\\gamma = 1\\), więc \\(2R = \\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = c = 10\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(R = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to nieuzasadnione.\n- **B. \\(8\\)**, **C. \\(6\\)** - to długości przyprostokątnych.\n\n**Trik:** W trójkącie prostokątnym: środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej; \\(R = \\tfrac{c}{2}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Prosta k ma równanie
2
3
y
x
-. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k
i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (
)
2,1
A.
2
3
y
x
B.
2
1
y
x
C.
2
5
y
x
D.
1
y
x
H
G
F
E
D
A
B
C
A
O
B
C
α
160º

\n

Poziom podstawowy
7
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
8
Matura podstawowa z matematyki 2011. Prosta k ma równanie y=2x-3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (-2,1). A. y=-2x+3 B. y=2x+1 C. y=2x+5 D. y=-x+1

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zbadanie równoległości i prostopadłości
prostych na podstawie ich równań
kierunkowych
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(R = 5\\)

\n

Sposób 1 - wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

\n

W trójkącie prostokątnym obowiązuje prosta zasada:

\n
Promień okręgu opisanego = połowa przeciwprostokątnej
\n

Najpierw wyznaczamy przeciwprostokątną \\(c\\) z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\\]

\n

\\[c = \\sqrt{100} = 10\\]

\n

Stąd:

\n

\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{10}{2} = \\boxed{5}\\]

\n

Sposób 2 - wzór ogólny (twierdzenie sinusów)

\n

Twierdzenie sinusów mówi, że:

\n

\\[\\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]

\n

W trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej to \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\), więc:

\n

\\[2R = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]

\n

\\[R = \\frac{c}{2}\\]

\n

Dostajemy ten sam wzór co w Sposobie 1. Podstawiamy \\(c = 10\\):

\n

\\[R = \\frac{10}{2} = 5\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]
Użyte do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 10\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:
\\[R = \\frac{c}{2}\\]
To jest gotowy wzór z karty - wystarczy wyznaczyć przeciwprostokątną i podzielić przez 2.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - twierdzenie sinusów (uzasadnienie wzoru):
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(14\\) | Zsumowanie obu przyprostokątnych: \\(6 + 8 = 14\\). Brak sensu geometrycznego - promień nie może być większy niż najdłuższy bok. |
| B - \\(8\\) | Wzięcie dłuższej przyprostokątnej jako promienia. Mylenie promienia z bokiem trójkąta. |
| C - \\(6\\) | Wzięcie krótszej przyprostokątnej jako promienia. Ten sam błąd - promień okręgu opisanego to połowa przeciwprostokątnej, nie przyprostokątnej. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(R = \\frac{c}{2}\\) dotyczy tylko trójkąta prostokątnego - dla innych trójkątów musisz użyć twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\frac{abc}{4P}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(R\\) (promień okręgu opisanego) z \\(r\\) (promień okręgu wpisanego). W trójkącie prostokątnym \\(r = \\frac{a + b - c}{2} = \\frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\\) - zupełnie inna wartość!
\n
⚠️ Uwaga: Przed użyciem wzoru \\(R = \\frac{c}{2}\\) upewnij się, że \\(c\\) to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego), a nie jedna z przyprostokątnych.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Talesa dla okręgu + Pitagoras
\n

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego (Tales). Długość przeciwprostokątnej:
\\[c = \\sqrt{6^{2}+8^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]
Promień: \\(R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\).

\n
Sposób 2 - Wzór na \\(R\\) z twierdzenia sinusów
\n

Dla kąta prostego \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\): \\(\\sin\\gamma = 1\\), więc \\(2R = \\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = c = 10\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(R = 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: W trójkącie prostokątnym: środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej; \\(R = \\tfrac{c}{2}\\).

"}]}