{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nStyczną do okręgu (\n)\n2\n2\n1\n4\n0\nx\ny\njest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n3\nx =\nC.\n0\ny =\nD.\n4\ny =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Styczną do okręgu (x-1)^2+y^2-4=0 jest prosta o równaniu A. x=1 B. x=3 C. y=0 D. y=4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nPosłużenie się równaniem okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nr\nb\ny\na\nx\ni sprawdzanie\nczy dana prosta jest styczną\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(17\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja okręgu (bezpośrednie zastosowanie)\n\n**Co wiemy:**\n- Mniejszy okrąg ma promień \\(r = 12\\), jego środek oznaczmy \\(O_1\\).\n- Większy okrąg ma promień \\(R = 17\\), jego środek oznaczmy \\(O_2\\).\n- Większy okrąg **przechodzi przez środek** mniejszego okręgu, czyli punkt \\(O_1\\) leży **na** większym okręgu.\n\n**Kluczowy krok:** Okrąg to zbiór wszystkich punktów w odległości dokładnie \\(R\\) od środka. Skoro \\(O_1\\) leży na większym okręgu, to:\n\n\\[|O_1 O_2| = R = 17\\]\n\n**Odległość między środkami wynosi \\(17\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rysunek i wykluczenie\n\nNarysujmy sytuację: środek \\(O_2\\) większego okręgu (promień \\(17\\)) oraz środek \\(O_1\\) mniejszego okręgu (promień \\(12\\)).\n\nWarunek \"większy okrąg przechodzi przez \\(O_1\\)\" to po prostu:\n\n\\[|O_1 O_2| = R_{\\text{większy}} = 17\\]\n\nSprawdzamy, czy taka konfiguracja jest geometrycznie możliwa - tak, dwa okręgi mogą być tak położone, że jeden z nich przechodzi przez środek drugiego. Nie ma tu sprzeczności.\n\n**Wynik potwierdzony: \\(|O_1 O_2| = 17\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja okręgu**: okrąg o środku \\(S\\) i promieniu \\(r\\) to zbiór punktów w odległości równej \\(r\\) od \\(S\\). Jeśli dany punkt leży na okręgu, jego odległość od środka wynosi dokładnie \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(5\\) | Odejmowanie promieni: \\(17 - 12 = 5\\). To byłaby odległość między środkami, gdyby okręgi były **styczne wewnętrznie** (dotykają się, jeden w środku drugiego). Tu jednak warunek jest inny - chodzi o przejście przez środek, nie o styczność. |\n| B: \\(12\\) | Wzięcie promienia **mniejszego** okręgu jako odpowiedzi - mylenie promienia mniejszego z odległością między środkami. |\n| D: \\(29\\) | Dodawanie promieni: \\(12 + 17 = 29\\). To odległość przy **zewnętrznej styczności** okręgów. Tu warunek jest zupełnie inny. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Okrąg przechodzi przez punkt\" = ten punkt leży **na** okręgu = odległość tego punktu od środka **równa się promieniowi**. Nie mylić z \"okrąg zawiera punkt\" w sensie wnętrza!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić trzy różne sytuacje: styczność zewnętrzna (\\(d = r_1 + r_2\\)), styczność wewnętrzna (\\(d = |r_1 - r_2|\\)) i przejście przez środek (\\(d = R\\) - jeden z promieni). Zawsze wróć do definicji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień mniejszego okręgu (\\(12\\)) jest tu **zbędną daną** - pułapka! Zadanie daje go po to, żeby uczniowie go gdzieś \"użyli\". Umiejętność rozpoznania zbędnej informacji to ważna umiejętność maturalna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja okręgu i odległość\nNiech \\(S_{1}, S_{2}\\) to środki mniejszego i większego okręgu. Punkt \\(S_{1}\\) leży na większym okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(17\\). Zatem:\n\\[|S_{1}S_{2}| = 17.\\]\n\n### Sposób 2 - Obrazowe\nOkrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o promień. Jeśli \\(S_{1}\\) jest na okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(R=17\\), to \\(|S_{1}S_{2}| = 17\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\)** - \\(17-12=5\\), różnica promieni (odl. środków przy styczności wewnętrznej - ale tu nie jest styczne).\n- **B. \\(12\\)** - promień mniejszego okręgu.\n- **D. \\(29\\)** - \\(17+12\\), suma promieni (odl. przy styczności zewnętrznej).\n\n**Trik:** Promień = odległość od środka do każdego punktu okręgu. Liczba \\(12\\) tu nie ma zastosowania w obliczeniach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Styczną do okręgu (<br>)<br>2<br>2<br>1<br>4<br>0<br>x<br>y<br>jest prosta o równaniu<br>A.<br>1<br>x =<br>B.<br>3<br>x =<br>C.<br>0<br>y =<br>D.<br>4<br>y =<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Styczną do okręgu (x-1)^2+y^2-4=0 jest prosta o równaniu A. x=1 B. x=3 C. y=0 D. y=4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Posłużenie się równaniem okręgu<br>(<br>)<br>(<br>)<br>2<br>2<br>2<br>r<br>b<br>y<br>a<br>x<br>i sprawdzanie<br>czy dana prosta jest styczną<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(17\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja okręgu (bezpośrednie zastosowanie)</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong></p>\n<ul><li>Mniejszy okrąg ma promień \\(r = 12\\), jego środek oznaczmy \\(O_1\\).</li><li>Większy okrąg ma promień \\(R = 17\\), jego środek oznaczmy \\(O_2\\).</li><li>Większy okrąg <strong>przechodzi przez środek</strong> mniejszego okręgu, czyli punkt \\(O_1\\) leży <strong>na</strong> większym okręgu.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowy krok:</strong> Okrąg to zbiór wszystkich punktów w odległości dokładnie \\(R\\) od środka. Skoro \\(O_1\\) leży na większym okręgu, to:</p>\n<p>\\[|O_1 O_2| = R = 17\\]</p>\n<p><strong>Odległość między środkami wynosi \\(17\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez rysunek i wykluczenie</h4>\n<p>Narysujmy sytuację: środek \\(O_2\\) większego okręgu (promień \\(17\\)) oraz środek \\(O_1\\) mniejszego okręgu (promień \\(12\\)).</p>\n<p>Warunek &quot;większy okrąg przechodzi przez \\(O_1\\)&quot; to po prostu:</p>\n<p>\\[|O_1 O_2| = R_{\\text{większy}} = 17\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy taka konfiguracja jest geometrycznie możliwa - tak, dwa okręgi mogą być tak położone, że jeden z nich przechodzi przez środek drugiego. Nie ma tu sprzeczności.</p>\n<p><strong>Wynik potwierdzony: \\(|O_1 O_2| = 17\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>definicja okręgu</strong>: okrąg o środku \\(S\\) i promieniu \\(r\\) to zbiór punktów w odległości równej \\(r\\) od \\(S\\). Jeśli dany punkt leży na okręgu, jego odległość od środka wynosi dokładnie \\(r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A: \\(5\\) | Odejmowanie promieni: \\(17 - 12 = 5\\). To byłaby odległość między środkami, gdyby okręgi były <strong>styczne wewnętrznie</strong> (dotykają się, jeden w środku drugiego). Tu jednak warunek jest inny - chodzi o przejście przez środek, nie o styczność. |<br>| B: \\(12\\) | Wzięcie promienia <strong>mniejszego</strong> okręgu jako odpowiedzi - mylenie promienia mniejszego z odległością między środkami. |<br>| D: \\(29\\) | Dodawanie promieni: \\(12 + 17 = 29\\). To odległość przy <strong>zewnętrznej styczności</strong> okręgów. Tu warunek jest zupełnie inny. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Okrąg przechodzi przez punkt&quot; = ten punkt leży <strong>na</strong> okręgu = odległość tego punktu od środka <strong>równa się promieniowi</strong>. Nie mylić z &quot;okrąg zawiera punkt&quot; w sensie wnętrza!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić trzy różne sytuacje: styczność zewnętrzna (\\(d = r_1 + r_2\\)), styczność wewnętrzna (\\(d = |r_1 - r_2|\\)) i przejście przez środek (\\(d = R\\) - jeden z promieni). Zawsze wróć do definicji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień mniejszego okręgu (\\(12\\)) jest tu <strong>zbędną daną</strong> - pułapka! Zadanie daje go po to, żeby uczniowie go gdzieś &quot;użyli&quot;. Umiejętność rozpoznania zbędnej informacji to ważna umiejętność maturalna.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja okręgu i odległość</h5>\n<p>Niech \\(S_{1}, S_{2}\\) to środki mniejszego i większego okręgu. Punkt \\(S_{1}\\) leży na większym okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(17\\). Zatem:<br>\\[|S_{1}S_{2}| = 17.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obrazowe</h5>\n<p>Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o promień. Jeśli \\(S_{1}\\) jest na okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(R=17\\), to \\(|S_{1}S_{2}| = 17\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(5\\)</strong> - \\(17-12=5\\), różnica promieni (odl. środków przy styczności wewnętrznej - ale tu nie jest styczne).</li><li><strong>B. \\(12\\)</strong> - promień mniejszego okręgu.</li><li><strong>D. \\(29\\)</strong> - \\(17+12\\), suma promieni (odl. przy styczności zewnętrznej).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Promień = odległość od środka do każdego punktu okręgu. Liczba \\(12\\) tu nie ma zastosowania w obliczeniach.</p>"}]}