{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nPierwsza rata, która stanowi %\n9\nceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje\nA. 1701 zł.\nB. 2100 zł.\nC. 1890 zł.\nD. 2091 zł.\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje 1701 zł, B. 2100 zł, C. 1890 zł, D. 2091 zł.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonanie obliczeń procentowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja ujemnego wykładnika\n\n**Kluczowa zasada:** ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi z wykładnikiem dodatnim.\n\n\\[x^{-n} = \\frac{1}{x^n}\\]\n\nStosujemy bezpośrednio do naszego wyrażenia:\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}}\\]\n\nTeraz upraszczamy - dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:\n\n\\[\\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\frac{1}{\\dfrac{a^5}{b^5}} = 1 \\cdot \\frac{b^5}{a^5} = \\frac{b^5}{a^5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Własność potęgi ułamka z ujemnym wykładnikiem\n\nMożemy od razu skorzystać z gotowej reguły: ujemny wykładnik przy ułamku **odwraca ułamek** i zmienia znak wykładnika na dodatni.\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]\n\nSkąd to wynika? Krok po kroku:\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{-(-5)} \\]\n\nalbo prościej - ze wzoru \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\dfrac{b^n}{a^n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\), co możemy zweryfikować dla prostej liczby, np. \\(n=1\\):\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-1} = \\frac{1}{\\dfrac{a}{b}} = \\frac{b}{a} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{1}\\checkmark\\]\n\n**Wynik: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\) - zgodnie z odpowiedzią B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - definicja ujemnego wykładnika:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyte w Sposobie 1 jako pierwszy krok przekształcenia.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga iloczynu/ilorazu:\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]\nUżyte przy rozpisaniu \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5 = \\dfrac{a^5}{b^5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pomylenie ujemnego wykładnika z mnożeniem przez \\(-5\\). Wyrażenie \\(-5 \\cdot \\dfrac{a}{b}\\) to iloczyn, a nie potęga. Wykładnik \\(-5\\) nie „schodzi na dół\" jako czynnik. |\n| C | Poprawna postać to \\(\\dfrac{b^5}{a^5}\\), a nie \\(\\dfrac{b^5}{a}\\). Pominięto wykładnik przy \\(a\\) w mianowniku - błąd przy potęgowaniu mianownika. |\n| D | Ujemny wykładnik nie daje minus przed wyrażeniem. \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} \\neq -\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5\\). To częste mylenie „minus przed potęgą\" z „ujemny wykładnik\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik to **odwrotność**, nie zmiana znaku! \\(2^{-3} = \\dfrac{1}{8}\\), a **nie** \\(-8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy potęgowaniu ułamka wykładnik dotyczy **i licznika, i mianownika**. Błąd w C polega właśnie na tym, że wzięto \\(b^5\\), ale zapomniano o \\(a^5\\) - zostawiając samo \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosty trik do zapamiętania - **ujemny wykładnik odwraca ułamek**: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\). Warto go zapamiętać, bo znacznie przyspiesza obliczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność potęgi ujemnej\nDla \\(x\\ne 0\\): \\(x^{-n} = \\dfrac{1}{x^{n}}\\). Dla ułamka: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\).\n\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\dfrac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{a^{5}}{b^{5}}} = \\dfrac{b^{5}}{a^{5}} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\cdot \\tfrac{a}{b}\\)** - myli potęgę z mnożeniem przez \\(-5\\).\n- **C. \\(\\tfrac{b^{5}}{a}\\)** - zapomniano potęgi \\(a\\).\n- **D. \\(-\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^{5}\\)** - myli ujemny wykładnik ze znakiem minus.\n\n**Trik:** \\(x^{-n}\\) to odwrotność \\(x^{n}\\), NIE to samo co \\(-x^{n}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Pierwsza rata, która stanowi %<br>9<br>ceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje<br>A. 1701 zł.<br>B. 2100 zł.<br>C. 1890 zł.<br>D. 2091 zł.<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje 1701 zł, B. 2100 zł, C. 1890 zł, D. 2091 zł.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykonanie obliczeń procentowych<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja ujemnego wykładnika</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi z wykładnikiem dodatnim.</p>\n<p>\\[x^{-n} = \\frac{1}{x^n}\\]</p>\n<p>Stosujemy bezpośrednio do naszego wyrażenia:</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}}\\]</p>\n<p>Teraz upraszczamy - dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:</p>\n<p>\\[\\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\frac{1}{\\dfrac{a^5}{b^5}} = 1 \\cdot \\frac{b^5}{a^5} = \\frac{b^5}{a^5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Własność potęgi ułamka z ujemnym wykładnikiem</h4>\n<p>Możemy od razu skorzystać z gotowej reguły: ujemny wykładnik przy ułamku <strong>odwraca ułamek</strong> i zmienia znak wykładnika na dodatni.</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]</p>\n<p>Skąd to wynika? Krok po kroku:</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{-(-5)} \\]</p>\n<p>albo prościej - ze wzoru \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\dfrac{b^n}{a^n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\), co możemy zweryfikować dla prostej liczby, np. \\(n=1\\):</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-1} = \\frac{1}{\\dfrac{a}{b}} = \\frac{b}{a} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{1}\\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\) - zgodnie z odpowiedzią B.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - definicja ujemnego wykładnika:<br>\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 jako pierwszy krok przekształcenia.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - potęga iloczynu/ilorazu:<br>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]<br>Użyte przy rozpisaniu \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5 = \\dfrac{a^5}{b^5}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Pomylenie ujemnego wykładnika z mnożeniem przez \\(-5\\). Wyrażenie \\(-5 \\cdot \\dfrac{a}{b}\\) to iloczyn, a nie potęga. Wykładnik \\(-5\\) nie „schodzi na dół&quot; jako czynnik. |<br>| C | Poprawna postać to \\(\\dfrac{b^5}{a^5}\\), a nie \\(\\dfrac{b^5}{a}\\). Pominięto wykładnik przy \\(a\\) w mianowniku - błąd przy potęgowaniu mianownika. |<br>| D | Ujemny wykładnik nie daje minus przed wyrażeniem. \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} \\neq -\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5\\). To częste mylenie „minus przed potęgą&quot; z „ujemny wykładnik&quot;. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny wykładnik to <strong>odwrotność</strong>, nie zmiana znaku! \\(2^{-3} = \\dfrac{1}{8}\\), a <strong>nie</strong> \\(-8\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy potęgowaniu ułamka wykładnik dotyczy <strong>i licznika, i mianownika</strong>. Błąd w C polega właśnie na tym, że wzięto \\(b^5\\), ale zapomniano o \\(a^5\\) - zostawiając samo \\(a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosty trik do zapamiętania - <strong>ujemny wykładnik odwraca ułamek</strong>: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\). Warto go zapamiętać, bo znacznie przyspiesza obliczenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność potęgi ujemnej</h5>\n<p>Dla \\(x\\ne 0\\): \\(x^{-n} = \\dfrac{1}{x^{n}}\\). Dla ułamka: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\).<br>\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Krok po kroku</h5>\n<p>\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\dfrac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{a^{5}}{b^{5}}} = \\dfrac{b^{5}}{a^{5}} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-5\\cdot \\tfrac{a}{b}\\)</strong> - myli potęgę z mnożeniem przez \\(-5\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{b^{5}}{a}\\)</strong> - zapomniano potęgi \\(a\\).</li><li><strong>D. \\(-\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^{5}\\)</strong> - myli ujemny wykładnik ze znakiem minus.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(x^{-n}\\) to odwrotność \\(x^{n}\\), NIE to samo co \\(-x^{n}\\).</p>"}]}