{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest\nrówna\nA.\n6\nB. 3\nC. 9\nD. 3 3\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek z 6 B. 3 C. 9 D. 3 pierwiastki z 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie związków miarowych\nw sześcianie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - promień podstawy wynosi \\(13\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna obrotu\n\n**Wyobraź sobie trójkąt prostokątny** z przyprostokątnymi \\(6\\) i \\(13\\). Krótszą jest \\(6\\), dłuższą - \\(13\\).\n\n**Krok 1:** Ustalamy oś obrotu.\n\nObracamy wokół krótszej przyprostokątnej, czyli wokół boku o długości \\(6\\).\n\n**Krok 2:** Rozumiemy, co się dzieje podczas obrotu.\n\n- Bok leżący **na osi obrotu** (krótka przyprostokątna = \\(6\\)) - pozostaje nieruchomy. Staje się **wysokością stożka**: \\(h = 6\\).\n- Bok **prostopadły do osi** (długa przyprostokątna = \\(13\\)) - obraca się wokół osi i zakreśla okrąg. Staje się **promieniem podstawy**: \\(r = 13\\).\n- Przeciwprostokątna zakreśla **powierzchnię boczną stożka** (tworzącą).\n\n**Krok 3:** Odpowiedź.\n\n\\[\\boxed{r = 13}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rekonstrukcję stożka\n\nMamy stożek o promieniu \\(r = 13\\) i wysokości \\(h = 6\\).\n\nSprawdzamy, czy można z niego „wyciąć\" trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(6\\) i \\(13\\):\n\nPrzekrój osiowy stożka (czyli cięcie przez oś) daje **trójkąt równoramienny**. Jego połowa to trójkąt prostokątny o:\n- jednej przyprostokątnej = \\(h = 6\\) ✓\n- drugiej przyprostokątnej = \\(r = 13\\) ✓\n\nTworzącą stożka (= przeciwprostokątna trójkąta):\n\\[l = \\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{36 + 169} = \\sqrt{205}\\]\n\nWszystko się zgadza. **Promień podstawy = \\(13\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji stożka i rozumienie, co oznacza obrót figury wokół prostej.\n\nDla potwierdzenia, tworzącą stożka liczymy ze wzoru (Dział 12, Stereometria, s. 26):\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - związek w stożku:\n\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\]\ngdzie \\(l\\) - tworząca (= przeciwprostokątna trójkąta), \\(r\\) - promień, \\(h\\) - wysokość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(6\\)) | Uczeń bierze krótszą przyprostokątną jako promień - tymczasem to ona jest **osią obrotu**, więc staje się **wysokością**, nie promieniem |\n| C (\\(6{,}5\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{13}{2} = 6{,}5\\) - ktoś dzieli dłuższą przyprostokątną na pół bez uzasadnienia |\n| D (\\(3\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{6}{2} = 3\\) - ktoś dzieli krótszą przyprostokątną na pół |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana osi obrotu z promieniem. Zapamiętaj: bok leżący **na osi** → staje się **wysokością**; bok **prostopadły do osi** → staje się **promieniem**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na słowo „krótszej\" - zadanie celowo podkreśla, wokół **której** przyprostokątnej obracamy. Gdyby obrót był wokół dłuższej (\\(13\\)), promień wyniósłby \\(6\\), a wysokość \\(13\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca stożka to **nie** żadna z przyprostokątnych - to przeciwprostokątna trójkąta, równa \\(\\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{205}\\). Nie mylić jej z promieniem ani wysokością!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Geometria obrotu\nPrzy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej, **ta przyprostokątna staje się osią/wysokością stożka**, a **druga przyprostokątna - promieniem podstawy**.\n\nKrótsza przyprostokątna: \\(6\\) (wysokość). Dłuższa: \\(13\\) (promień podstawy).\n\nZatem \\(r = 13\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza wymiarów\nObrót wokół krótszej (= 6) - punkt odległy o 6 jest osią stałą. Punkt odległy od osi o 13 (koniec dłuższej przyprostokątnej) zatacza okrąg o promieniu 13.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - to wysokość stożka.\n- **C. \\(6{,}5\\)** - połowa sumy, brak uzasadnienia.\n- **D. \\(3\\)** - połowa \\(6\\).\n\n**Trik:** Przyprostokątna, wokół której obracamy, jest wysokością stożka; druga - promieniem.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest<br>równa<br>A.<br>6<br>B. 3<br>C. 9<br>D. 3 3<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek z 6 B. 3 C. 9 D. 3 pierwiastki z 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wyznaczenie związków miarowych<br>w sześcianie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - promień podstawy wynosi \\(13\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza geometryczna obrotu</h4>\n<p><strong>Wyobraź sobie trójkąt prostokątny</strong> z przyprostokątnymi \\(6\\) i \\(13\\). Krótszą jest \\(6\\), dłuższą - \\(13\\).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Ustalamy oś obrotu.</p>\n<p>Obracamy wokół krótszej przyprostokątnej, czyli wokół boku o długości \\(6\\).</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Rozumiemy, co się dzieje podczas obrotu.</p>\n<ul><li>Bok leżący <strong>na osi obrotu</strong> (krótka przyprostokątna = \\(6\\)) - pozostaje nieruchomy. Staje się <strong>wysokością stożka</strong>: \\(h = 6\\).</li><li>Bok <strong>prostopadły do osi</strong> (długa przyprostokątna = \\(13\\)) - obraca się wokół osi i zakreśla okrąg. Staje się <strong>promieniem podstawy</strong>: \\(r = 13\\).</li><li>Przeciwprostokątna zakreśla <strong>powierzchnię boczną stożka</strong> (tworzącą).</li></ul>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Odpowiedź.</p>\n<p>\\[\\boxed{r = 13}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez rekonstrukcję stożka</h4>\n<p>Mamy stożek o promieniu \\(r = 13\\) i wysokości \\(h = 6\\).</p>\n<p>Sprawdzamy, czy można z niego „wyciąć&quot; trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(6\\) i \\(13\\):</p>\n<p>Przekrój osiowy stożka (czyli cięcie przez oś) daje <strong>trójkąt równoramienny</strong>. Jego połowa to trójkąt prostokątny o:</p>\n<ul><li>jednej przyprostokątnej = \\(h = 6\\) ✓</li><li>drugiej przyprostokątnej = \\(r = 13\\) ✓</li></ul>\n<p>Tworzącą stożka (= przeciwprostokątna trójkąta):<br>\\[l = \\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{36 + 169} = \\sqrt{205}\\]</p>\n<p>Wszystko się zgadza. <strong>Promień podstawy = \\(13\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji stożka i rozumienie, co oznacza obrót figury wokół prostej.</p>\n<p>Dla potwierdzenia, tworzącą stożka liczymy ze wzoru (Dział 12, Stereometria, s. 26):</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - związek w stożku:<br>\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\]<br>gdzie \\(l\\) - tworząca (= przeciwprostokątna trójkąta), \\(r\\) - promień, \\(h\\) - wysokość.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(6\\)) | Uczeń bierze krótszą przyprostokątną jako promień - tymczasem to ona jest <strong>osią obrotu</strong>, więc staje się <strong>wysokością</strong>, nie promieniem |<br>| C (\\(6{,}5\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{13}{2} = 6{,}5\\) - ktoś dzieli dłuższą przyprostokątną na pół bez uzasadnienia |<br>| D (\\(3\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{6}{2} = 3\\) - ktoś dzieli krótszą przyprostokątną na pół |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zamiana osi obrotu z promieniem. Zapamiętaj: bok leżący <strong>na osi</strong> → staje się <strong>wysokością</strong>; bok <strong>prostopadły do osi</strong> → staje się <strong>promieniem</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwróć uwagę na słowo „krótszej&quot; - zadanie celowo podkreśla, wokół <strong>której</strong> przyprostokątnej obracamy. Gdyby obrót był wokół dłuższej (\\(13\\)), promień wyniósłby \\(6\\), a wysokość \\(13\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tworząca stożka to <strong>nie</strong> żadna z przyprostokątnych - to przeciwprostokątna trójkąta, równa \\(\\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{205}\\). Nie mylić jej z promieniem ani wysokością!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Geometria obrotu</h5>\n<p>Przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej, <strong>ta przyprostokątna staje się osią/wysokością stożka</strong>, a <strong>druga przyprostokątna - promieniem podstawy</strong>.</p>\n<p>Krótsza przyprostokątna: \\(6\\) (wysokość). Dłuższa: \\(13\\) (promień podstawy).</p>\n<p>Zatem \\(r = 13\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza wymiarów</h5>\n<p>Obrót wokół krótszej (= 6) - punkt odległy o 6 jest osią stałą. Punkt odległy od osi o 13 (koniec dłuższej przyprostokątnej) zatacza okrąg o promieniu 13.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(6\\)</strong> - to wysokość stożka.</li><li><strong>C. \\(6{,}5\\)</strong> - połowa sumy, brak uzasadnienia.</li><li><strong>D. \\(3\\)</strong> - połowa \\(6\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przyprostokątna, wokół której obracamy, jest wysokością stożka; druga - promieniem.</p>"}]}