{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nObjętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa\nA. 124π\nB. 96π\nC. 64π\nD. 32π\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa A. 124pi B. 96pi C. 64pi D. 32pi","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie związków miarowych\nw bryłach obrotowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie kształtu ścian bocznych przez obliczenie krawędzi\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech sześcian ma bok \\(a\\). Przyjmijmy:\n\n\\[A=(0,0,0),\\quad B=(a,0,0),\\quad C=(a,a,0),\\quad D=(0,a,0),\\quad E=(0,0,a)\\]\n\n(E leży dokładnie nad wierzchołkiem A - to standardowe oznaczenie sześcianu ABCDEFGH, gdzie EFGH to górna ściana).\n\n**Podstawa ostrosłupa:** kwadrat ABCD z bokiem \\(a\\).\n**Wierzchołek:** \\(E\\) - leży nad A, krawędź \\(EA = a\\) (krawędź sześcianu).\n\n**Obliczamy krawędzie boczne ostrosłupa:**\n\n\\[EA = a\\]\n\\[EB = \\sqrt{a^2 + 0 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ABFE)}\\]\n\\[EC = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{3} \\quad \\text{(przekątna przestrzenna sześcianu)}\\]\n\\[ED = \\sqrt{0 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ADHE)}\\]\n\n**Teraz analizujemy każdą ścianę boczną osobno:**\n\n**Trójkąt EAB** (boki: \\(EA=a,\\ AB=a,\\ EB=a\\sqrt{2}\\)):\n\\[EA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = EB^2\\]\n➜ **Twierdzenie Pitagorasa zachodzi** → kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny równoramienny.**\n\n**Trójkąt EDA** (boki: \\(ED=a\\sqrt{2},\\ DA=a,\\ EA=a\\)):\n\\[EA^2 + DA^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = ED^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny równoramienny** (identyczny jak EAB).\n\n**Trójkąt EBC** (boki: \\(EB=a\\sqrt{2},\\ BC=a,\\ EC=a\\sqrt{3}\\)):\n\\[EB^2 + BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = (a\\sqrt{3})^2 = EC^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(B\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny różnoramienny** (przyprostokątne różne!).\n\n**Trójkąt ECD** (boki: \\(EC=a\\sqrt{3},\\ CD=a,\\ ED=a\\sqrt{2}\\)):\n\\[ED^2 + DC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = EC^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(D\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny różnoramienny** (identyczny jak EBC).\n\n**Podsumowanie ścian bocznych:**\n\n| Ściana | Typ | Kąt prosty przy | Boki |\n| EAB | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |\n| EDA | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |\n| EBC | prostokątny różnoramienny | B | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |\n| ECD | prostokątny różnoramienny | D | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |\n\n**Prawidłowa siatka (A)** to ta, w której kwadrat \\(a\\times a\\) jest otoczony przez: **dwa trójkąty prostokątne równoramienne** (przy krótszych bokach kwadratu sąsiadujących z A) i **dwa trójkąty prostokątne różnoramienne** (przy pozostałych bokach).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę symetrii sześcianu\n\n**Kluczowa obserwacja:** wierzchołek E jest nad rogiem A, więc ostrosłup nie jest symetryczny - \"lewa-prawa\" symetria względem osi przez A-C, ale NIE ma symetrii obrotu o 90°.\n\nSprawdzamy symetrię ścian parami:\n- \\(EAB \\cong EDA\\) - bo \\(EA\\) jest wspólną krawędzią i \\(AB=DA=a\\) (boki kwadratu) → obydwa przystające.\n- \\(EBC \\cong ECD\\) - bo \\(EB=ED=a\\sqrt{2}\\) i \\(BC=CD=a\\) → obydwa przystające.\n\nZatem siatka musi zawierać **dwie różne pary** trójkątów, nie cztery jednakowe. To eliminuje siatki B i D, i wskazuje jednoznacznie na siatkę **A**.\n\n> **Weryfikacja:** Jeśli siatka A jest rozwinięciem, to po złożeniu krawędzie muszą \"się zejść\": krawędzie \\(a\\sqrt{2}\\) (hipotenuzy trójkątów EAB i EDA) muszą pasować do krawędzi \\(a\\sqrt{2}\\) (krótsze przyprostokątne EBC i ECD). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}, \\qquad \\sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\\sqrt{3}\\]\nUżyte do obliczenia krawędzi bocznych \\(EB,\\ EC,\\ ED\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\iff \\text{kąt prosty przy wierzchołku łączącym boki } a \\text{ i } b\\]\nUżyte do identyfikacji kąta prostego w każdej ścianie bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd / Co ta siatka opisuje |\n| **B** | Cztery trójkąty prostokątne **równoramienne** - byłoby tak, gdyby E leżało nad **środkiem** kwadratu, a nie nad jego rogiem. Taki ostrosłup prawidłowy nie da się \"wyjąć\" z sześcianu. |\n| **C** | Siatka z nieodpowiednim układem trójkątów - nie pasuje do obliczonych krawędzi; opis sugeruje boki \\(a\\sqrt{2}\\), ale bez właściwego dopasowania do kwadratu. |\n| **D** | Cztery trójkąty różnoboczne - żadna ze ścian bocznych nie jest różnoboczna; wszystkie mają co najmniej dwa równe boki lub kąt prosty, więc ta siatka jest błędna. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo mylić sześcian z ostrosłupem prawidłowym. Tutaj wierzchołek E NIE jest nad środkiem podstawy - jest nad rogiem A. To sprawia, że cztery ściany boczne NIE są jednakowe, co zaskakuje uczniów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna ściany to \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\) - te dwa wyniki są często mylone. Zawsze rysuj trójkąt prostokątny i stosuj Pitagorasa krok po kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Siatka musi \"domykać\" wszystkie krawędzie: każda krawędź boczna ostrosłupa pojawia się w siatce jako krawędź wspólna dwóch sąsiadujących figur. Sprawdź, czy po złożeniu każda para krawędzi tej samej długości pasuje do siebie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza geometrii ostrosłupa \\(ABCDE\\)\nOstrosłup \\(ABCDE\\): podstawa to kwadrat \\(ABCD\\) (dolna ściana sześcianu o krawędzi \\(a\\)), a wierzchołek \\(E\\) leży na górnej płaszczyźnie sześcianu **bezpośrednio nad \\(A\\)**.\n\n**Krawędzie boczne:**\n- \\(|AE| = a\\) (pionowa krawędź sześcianu).\n- \\(|BE| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{2}\\).\n- \\(|CE| = \\sqrt{|AC|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).\n- \\(|DE| = a\\sqrt{2}\\) (analogicznie jak \\(BE\\)).\n\n**Ściany boczne:**\n- \\(\\triangle ABE\\): prostokątny (\\(AE\\perp AB\\)), przyprostokątne \\(a, a\\), więc bok \\(BE = a\\sqrt{2}\\).\n- \\(\\triangle ADE\\): prostokątny, identyczny jak \\(\\triangle ABE\\).\n- \\(\\triangle BCE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - prostokątny w wierzchołku \\(B\\) (\\(\\text{bo } BC\\perp AB\\text{ oraz } BC\\perp AE\\Rightarrow BC\\perp BE\\)).\n- \\(\\triangle CDE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - analogicznie prostokątny.\n\nSiatka ma: kwadrat + dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o przyprostokątnych \\(a, a\\)) + dwa trójkąty prostokątne (o bokach \\(a, a\\sqrt{2}\\)).\n\nWzorcowa siatka (odp. A w arkuszu) pasuje do tego opisu.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (AE=AB=a, kąt prosty w A): odpowiadają ścianom \\(ABE\\) i \\(ADE\\).\n- Dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi \\(a, a\\sqrt{2}\\): odpowiadają ścianom \\(BCE\\) i \\(CDE\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPozostałe warianty (B, C, D) przedstawiają siatki niezgodne z rzeczywistymi kształtami ścian bocznych wyznaczonego ostrosłupa.\n\n**Trik:** W tego typu zadaniach oblicz wszystkie krawędzie boczne - wielkość trójkątów w siatce musi im odpowiadać.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa<br>A. 124π<br>B. 96π<br>C. 64π<br>D. 32π<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa A. 124pi B. 96pi C. 64pi D. 32pi</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wyznaczenie związków miarowych<br>w bryłach obrotowych<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie kształtu ścian bocznych przez obliczenie krawędzi</h4>\n<p><strong>Ustawiamy układ współrzędnych.</strong> Niech sześcian ma bok \\(a\\). Przyjmijmy:</p>\n<p>\\[A=(0,0,0),\\quad B=(a,0,0),\\quad C=(a,a,0),\\quad D=(0,a,0),\\quad E=(0,0,a)\\]</p>\n<p>(E leży dokładnie nad wierzchołkiem A - to standardowe oznaczenie sześcianu ABCDEFGH, gdzie EFGH to górna ściana).</p>\n<p><strong>Podstawa ostrosłupa:</strong> kwadrat ABCD z bokiem \\(a\\).<br><strong>Wierzchołek:</strong> \\(E\\) - leży nad A, krawędź \\(EA = a\\) (krawędź sześcianu).</p>\n<p><strong>Obliczamy krawędzie boczne ostrosłupa:</strong></p>\n<p>\\[EA = a\\]<br>\\[EB = \\sqrt{a^2 + 0 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ABFE)}\\]<br>\\[EC = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{3} \\quad \\text{(przekątna przestrzenna sześcianu)}\\]<br>\\[ED = \\sqrt{0 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ADHE)}\\]</p>\n<p><strong>Teraz analizujemy każdą ścianę boczną osobno:</strong></p>\n<p><strong>Trójkąt EAB</strong> (boki: \\(EA=a,\\ AB=a,\\ EB=a\\sqrt{2}\\)):<br>\\[EA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = EB^2\\]<br>➜ <strong>Twierdzenie Pitagorasa zachodzi</strong> → kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).<br><strong>Trójkąt prostokątny równoramienny.</strong></p>\n<p><strong>Trójkąt EDA</strong> (boki: \\(ED=a\\sqrt{2},\\ DA=a,\\ EA=a\\)):<br>\\[EA^2 + DA^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = ED^2\\]<br>➜ Kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).<br><strong>Trójkąt prostokątny równoramienny</strong> (identyczny jak EAB).</p>\n<p><strong>Trójkąt EBC</strong> (boki: \\(EB=a\\sqrt{2},\\ BC=a,\\ EC=a\\sqrt{3}\\)):<br>\\[EB^2 + BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = (a\\sqrt{3})^2 = EC^2\\]<br>➜ Kąt prosty przy \\(B\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).<br><strong>Trójkąt prostokątny różnoramienny</strong> (przyprostokątne różne!).</p>\n<p><strong>Trójkąt ECD</strong> (boki: \\(EC=a\\sqrt{3},\\ CD=a,\\ ED=a\\sqrt{2}\\)):<br>\\[ED^2 + DC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = EC^2\\]<br>➜ Kąt prosty przy \\(D\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).<br><strong>Trójkąt prostokątny różnoramienny</strong> (identyczny jak EBC).</p>\n<p><strong>Podsumowanie ścian bocznych:</strong></p>\n<p>| Ściana | Typ | Kąt prosty przy | Boki |<br>| EAB | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |<br>| EDA | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |<br>| EBC | prostokątny różnoramienny | B | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |<br>| ECD | prostokątny różnoramienny | D | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |</p>\n<p><strong>Prawidłowa siatka (A)</strong> to ta, w której kwadrat \\(a\\times a\\) jest otoczony przez: <strong>dwa trójkąty prostokątne równoramienne</strong> (przy krótszych bokach kwadratu sąsiadujących z A) i <strong>dwa trójkąty prostokątne różnoramienne</strong> (przy pozostałych bokach).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę symetrii sześcianu</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> wierzchołek E jest nad rogiem A, więc ostrosłup nie jest symetryczny - &quot;lewa-prawa&quot; symetria względem osi przez A-C, ale NIE ma symetrii obrotu o 90°.</p>\n<p>Sprawdzamy symetrię ścian parami:</p>\n<ul><li>\\(EAB \\cong EDA\\) - bo \\(EA\\) jest wspólną krawędzią i \\(AB=DA=a\\) (boki kwadratu) → obydwa przystające.</li><li>\\(EBC \\cong ECD\\) - bo \\(EB=ED=a\\sqrt{2}\\) i \\(BC=CD=a\\) → obydwa przystające.</li></ul>\n<p>Zatem siatka musi zawierać <strong>dwie różne pary</strong> trójkątów, nie cztery jednakowe. To eliminuje siatki B i D, i wskazuje jednoznacznie na siatkę <strong>A</strong>.</p>\n<blockquote><strong>Weryfikacja:</strong> Jeśli siatka A jest rozwinięciem, to po złożeniu krawędzie muszą &quot;się zejść&quot;: krawędzie \\(a\\sqrt{2}\\) (hipotenuzy trójkątów EAB i EDA) muszą pasować do krawędzi \\(a\\sqrt{2}\\) (krótsze przyprostokątne EBC i ECD). ✓</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - działania na pierwiastkach:<br>\\[\\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}, \\qquad \\sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\\sqrt{3}\\]<br>Użyte do obliczenia krawędzi bocznych \\(EB,\\ EC,\\ ED\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2 \\iff \\text{kąt prosty przy wierzchołku łączącym boki } a \\text{ i } b\\]<br>Użyte do identyfikacji kąta prostego w każdej ścianie bocznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd / Co ta siatka opisuje |<br>| <strong>B</strong> | Cztery trójkąty prostokątne <strong>równoramienne</strong> - byłoby tak, gdyby E leżało nad <strong>środkiem</strong> kwadratu, a nie nad jego rogiem. Taki ostrosłup prawidłowy nie da się &quot;wyjąć&quot; z sześcianu. |<br>| <strong>C</strong> | Siatka z nieodpowiednim układem trójkątów - nie pasuje do obliczonych krawędzi; opis sugeruje boki \\(a\\sqrt{2}\\), ale bez właściwego dopasowania do kwadratu. |<br>| <strong>D</strong> | Cztery trójkąty różnoboczne - żadna ze ścian bocznych nie jest różnoboczna; wszystkie mają co najmniej dwa równe boki lub kąt prosty, więc ta siatka jest błędna. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo mylić sześcian z ostrosłupem prawidłowym. Tutaj wierzchołek E NIE jest nad środkiem podstawy - jest nad rogiem A. To sprawia, że cztery ściany boczne NIE są jednakowe, co zaskakuje uczniów.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna ściany to \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\) - te dwa wyniki są często mylone. Zawsze rysuj trójkąt prostokątny i stosuj Pitagorasa krok po kroku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Siatka musi &quot;domykać&quot; wszystkie krawędzie: każda krawędź boczna ostrosłupa pojawia się w siatce jako krawędź wspólna dwóch sąsiadujących figur. Sprawdź, czy po złożeniu każda para krawędzi tej samej długości pasuje do siebie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza geometrii ostrosłupa \\(ABCDE\\)</h5>\n<p>Ostrosłup \\(ABCDE\\): podstawa to kwadrat \\(ABCD\\) (dolna ściana sześcianu o krawędzi \\(a\\)), a wierzchołek \\(E\\) leży na górnej płaszczyźnie sześcianu <strong>bezpośrednio nad \\(A\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krawędzie boczne:</strong></p>\n<ul><li>\\(|AE| = a\\) (pionowa krawędź sześcianu).</li><li>\\(|BE| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{2}\\).</li><li>\\(|CE| = \\sqrt{|AC|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).</li><li>\\(|DE| = a\\sqrt{2}\\) (analogicznie jak \\(BE\\)).</li></ul>\n<p><strong>Ściany boczne:</strong></p>\n<ul><li>\\(\\triangle ABE\\): prostokątny (\\(AE\\perp AB\\)), przyprostokątne \\(a, a\\), więc bok \\(BE = a\\sqrt{2}\\).</li><li>\\(\\triangle ADE\\): prostokątny, identyczny jak \\(\\triangle ABE\\).</li><li>\\(\\triangle BCE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - prostokątny w wierzchołku \\(B\\) (\\(\\text{bo } BC\\perp AB\\text{ oraz } BC\\perp AE\\Rightarrow BC\\perp BE\\)).</li><li>\\(\\triangle CDE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - analogicznie prostokątny.</li></ul>\n<p>Siatka ma: kwadrat + dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o przyprostokątnych \\(a, a\\)) + dwa trójkąty prostokątne (o bokach \\(a, a\\sqrt{2}\\)).</p>\n<p>Wzorcowa siatka (odp. A w arkuszu) pasuje do tego opisu.</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<ul><li>Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (AE=AB=a, kąt prosty w A): odpowiadają ścianom \\(ABE\\) i \\(ADE\\).</li><li>Dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi \\(a, a\\sqrt{2}\\): odpowiadają ścianom \\(BCE\\) i \\(CDE\\).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Pozostałe warianty (B, C, D) przedstawiają siatki niezgodne z rzeczywistymi kształtami ścian bocznych wyznaczonego ostrosłupa.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> W tego typu zadaniach oblicz wszystkie krawędzie boczne - wielkość trójkątów w siatce musi im odpowiadać.</p>"}]}