{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania\nsumy oczek równej trzy wynosi\nA. 1\n6\nB.\n1\n9\nC.\n1\n12\nD.\n1\n18\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi A. 1/6, B. 1/9, C. 1/12, D. 1/18","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie twierdzenia znanego jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\nzdarzenia\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{6}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z własnością zdarzeń przeciwnych\n\n**Krok 1: Zapisujemy warunek z zadania.**\n\nWiemy, że \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\).\n\n**Krok 2: Korzystamy z definicji zdarzenia przeciwnego.**\n\nZdarzenia \\(A\\) i \\(A'\\) są przeciwne, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do 1:\n\\[P(A) + P(A') = 1\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy warunek do powyższego równania.**\n\nSkoro \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\), wstawiamy to za \\(P(A)\\):\n\\[6 \\cdot P(A') + P(A') = 1\\]\n\\[7 \\cdot P(A') = 1\\]\n\\[P(A') = \\frac{1}{7}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(P(A)\\).**\n\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{1}{7} = \\boxed{\\frac{6}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie i jeden krok\n\nOznaczmy \\(P(A) = p\\). Wtedy \\(P(A') = 1 - p\\).\n\nWarunek z zadania to \\(p = 6(1-p)\\). Rozwiązujemy:\n\\[p = 6 - 6p\\]\n\\[7p = 6\\]\n\\[p = \\frac{6}{7}\\]\n\n**Wynik zgodny z Odpowiedzią D. ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - własność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nco równoważnie oznacza:\n\\[P(A) + P(A') = 1\\]\n\nTo fundament całego rozwiązania - bez tej własności nie możemy zbudować równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\frac{5}{6}\\) | Uczeń mylnie zakłada, że \\(P(A) + P(A') = \\frac{6+1}{6}\\) zamiast = 1, lub błędnie liczy proporcję 5:1 |\n| B: \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń bierze odwrotność - wyznacza \\(P(A')\\) zamiast \\(P(A)\\), a przy tym błędnie zakłada mianownik 6 |\n| C: \\(\\frac{1}{7}\\) | Prawidłowo wyznaczone \\(P(A')\\), ale **pomylone z** \\(P(A)\\) - klasyczna zamiana zdarzeń miejscami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana \\(P(A)\\) z \\(P(A')\\) - uczeń poprawnie wylicza \\(\\frac{1}{7}\\), ale przypisuje to jako wynik końcowy, nie zauważając, że pytanie dotyczy \\(P(A)\\), nie \\(P(A')\\). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(P(A) + P(A') = 1\\) **zawsze** - to absolutna podstawa prawdopodobieństwa. Gdyby wynik \\(P(A)\\) wyszedł większy niż 1 lub ujemny, na pewno gdzieś jest błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\) oznacza, że \\(A\\) jest **sześć razy bardziej prawdopodobne** niż \\(A'\\) - intuicyjnie więc \\(P(A)\\) powinno być bliskie 1, co potwierdza wynik \\(\\frac{6}{7} \\approx 0{,}857\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego przeciwnego\n\\(P(A) + P(A') = 1\\). Z warunku \\(P(A) = 6\\cdot P(A')\\):\n\\[6\\cdot P(A') + P(A') = 1 \\Rightarrow 7\\cdot P(A') = 1 \\Rightarrow P(A') = \\dfrac{1}{7}.\\]\nStąd \\(P(A) = 1 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{6}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie zmiennej\nOznaczmy \\(P(A')=x\\). Wtedy \\(P(A)=6x\\). Warunek \\(P(A)+P(A')=1\\): \\(6x+x=1 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{7}\\). Zatem \\(P(A) = 6x = \\dfrac{6}{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - błąd: założono \\(P(A')=\\tfrac{1}{6}\\) bez sprawdzenia warunku.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{6}\\)**, **C. \\(\\tfrac{1}{7}\\)** - odwracanie ról \\(P(A)\\) i \\(P(A')\\).\n\n**Trik:** \\(P(A) + P(A') = 1\\) ZAWSZE. Gdy masz stosunek \\(P(A)/P(A') = k\\), udziały \\(k : 1\\) w sumie \\(k+1\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
sumy oczek równej trzy wynosi
A. 1
6
B.
1
9
C.
1
12
D.
1
18
Matura podstawowa z matematyki 2011. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi A. 1/6, B. 1/9, C. 1/12, D. 1/18

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Zastosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobieństwa
do obliczenia prawdopodobieństwa
zdarzenia
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{6}{7}\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z własnością zdarzeń przeciwnych

\n

Krok 1: Zapisujemy warunek z zadania.

\n

Wiemy, że \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\).

\n

Krok 2: Korzystamy z definicji zdarzenia przeciwnego.

\n

Zdarzenia \\(A\\) i \\(A'\\) są przeciwne, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do 1:
\\[P(A) + P(A') = 1\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy warunek do powyższego równania.

\n

Skoro \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\), wstawiamy to za \\(P(A)\\):
\\[6 \\cdot P(A') + P(A') = 1\\]
\\[7 \\cdot P(A') = 1\\]
\\[P(A') = \\frac{1}{7}\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy \\(P(A)\\).

\n

\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{1}{7} = \\boxed{\\frac{6}{7}}\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie i jeden krok

\n

Oznaczmy \\(P(A) = p\\). Wtedy \\(P(A') = 1 - p\\).

\n

Warunek z zadania to \\(p = 6(1-p)\\). Rozwiązujemy:
\\[p = 6 - 6p\\]
\\[7p = 6\\]
\\[p = \\frac{6}{7}\\]

\n

Wynik zgodny z Odpowiedzią D. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - własność zdarzenia przeciwnego:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
co równoważnie oznacza:
\\[P(A) + P(A') = 1\\]

\n

To fundament całego rozwiązania - bez tej własności nie możemy zbudować równania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(\\frac{5}{6}\\) | Uczeń mylnie zakłada, że \\(P(A) + P(A') = \\frac{6+1}{6}\\) zamiast = 1, lub błędnie liczy proporcję 5:1 |
| B: \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń bierze odwrotność - wyznacza \\(P(A')\\) zamiast \\(P(A)\\), a przy tym błędnie zakłada mianownik 6 |
| C: \\(\\frac{1}{7}\\) | Prawidłowo wyznaczone \\(P(A')\\), ale pomylone z \\(P(A)\\) - klasyczna zamiana zdarzeń miejscami |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zamiana \\(P(A)\\) z \\(P(A')\\) - uczeń poprawnie wylicza \\(\\frac{1}{7}\\), ale przypisuje to jako wynik końcowy, nie zauważając, że pytanie dotyczy \\(P(A)\\), nie \\(P(A')\\). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(P(A) + P(A') = 1\\) zawsze - to absolutna podstawa prawdopodobieństwa. Gdyby wynik \\(P(A)\\) wyszedł większy niż 1 lub ujemny, na pewno gdzieś jest błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\) oznacza, że \\(A\\) jest sześć razy bardziej prawdopodobne niż \\(A'\\) - intuicyjnie więc \\(P(A)\\) powinno być bliskie 1, co potwierdza wynik \\(\\frac{6}{7} \\approx 0{,}857\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego przeciwnego
\n

\\(P(A) + P(A') = 1\\). Z warunku \\(P(A) = 6\\cdot P(A')\\):
\\[6\\cdot P(A') + P(A') = 1 \\Rightarrow 7\\cdot P(A') = 1 \\Rightarrow P(A') = \\dfrac{1}{7}.\\]
Stąd \\(P(A) = 1 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{6}{7}\\).

\n
Sposób 2 - Podstawienie zmiennej
\n

Oznaczmy \\(P(A')=x\\). Wtedy \\(P(A)=6x\\). Warunek \\(P(A)+P(A')=1\\): \\(6x+x=1 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{7}\\). Zatem \\(P(A) = 6x = \\dfrac{6}{7}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(P(A) + P(A') = 1\\) ZAWSZE. Gdy masz stosunek \\(P(A)/P(A') = k\\), udziały \\(k : 1\\) w sumie \\(k+1\\).

"}]}