{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nUczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja\nrodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:\nLiczba osób\nw rodzinie\nliczba\nuczniów\n3\n6\n4\n12\nx\n2\nŚrednia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 7\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: ,,Ile osób liczy twoja rodzina?''. Wyniki przedstawiono w tabeli: 3 - 6, 4 - 12, x - 2 A. 3, B. 4, C. 5, D. 7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie średniej arytmetycznej\nD\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - uproszczenie i wzór na miejsca zerowe\n\n**Krok 1: Upraszczamy nierówność.**\n\nDzielimy obie strony przez \\(-2\\) - uwaga, przy dzieleniu przez liczbę ujemną **odwracamy znak nierówności**:\n\n\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0 \\quad \\Big| \\div (-2)\\]\n\n\\[x^2 - x - 12 \\leq 0\\]\n\n**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 - x - 12\\).**\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-12) = 1 + 48 = 49\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{1 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 - 7}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{1 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 + 7}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Analizujemy znak paraboli.**\n\nTrójmian \\(x^2 - x - 12\\) ma współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami do góry**.\n\nOznacza to, że trójmian jest **ujemny (lub równy zero) między pierwiastkami**:\n\n\\[x^2 - x - 12 \\leq 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in \\langle -3, 4 \\rangle}\\)\n\n## Sposób 2 - faktoryzacja (postać iloczynowa)\n\n**Krok 1: Wracamy do oryginalnej nierówności i wyłączamy \\(-2\\).**\n\n\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0\\]\n\n\\[-2(x^2 - x - 12) \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki.**\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-12\\), a suma to \\(-1\\):\n\n\\[-4 \\cdot 3 = -12, \\quad -4 + 3 = -1 \\checkmark\\]\n\n\\[x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy.**\n\n\\[-2(x-4)(x+3) \\geq 0\\]\n\nDzielimy przez \\(-2\\) (odwracamy znak):\n\n\\[(x-4)(x+3) \\leq 0\\]\n\n**Krok 4: Analizujemy znak iloczynu.**\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny (ujemny lub zero)**, gdy czynniki mają **przeciwne znaki lub jeden z nich = 0**:\n\n| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(-3 < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 4\\), a następnie odczytaliśmy znak paraboli między pierwiastkami.\n\n> Kluczowa obserwacja z działu 7: gdy \\(a > 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) **między** pierwiastkami; gdy \\(a < 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) **na zewnątrz** pierwiastków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu (lub mnożeniu) nierówności przez liczbę **ujemną** musisz **odwrócić znak nierówności** (\\(\\geq\\) staje się \\(\\leq\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zostawisz nierówność z \\(a = -2 < 0\\) i zapomnisz o odwróceniu kierunku, błędnie uznasz, że rozwiązanie jest **na zewnątrz** pierwiastków zamiast **między** nimi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-3\\) i \\(4\\) są **zawarte** w rozwiązaniu (nierówność niestrykta \\(\\geq 0\\)), więc przedział jest **domknięty** \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), nie otwarty.\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik\nTrójmian \\(f(x) = -2x^{2} + 2x + 24\\), \\(a = -2 < 0\\) (ramiona paraboli w dół).\n\\[\\Delta = 2^{2} - 4\\cdot (-2)\\cdot 24 = 4 + 192 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14.\\]\nPierwiastki:\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2 - 14}{-4} = \\dfrac{-16}{-4} = 4, \\qquad x_{2} = \\dfrac{-2 + 14}{-4} = \\dfrac{12}{-4} = -3.\\]\nSkoro \\(a < 0\\), nierówność \\(\\ge 0\\) spełniona jest między pierwiastkami:\n\\[x \\in \\langle -3, 4\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nDla \\(-2x^{2}+2x+24 = 0\\) dzielimy przez \\(-2\\): \\(x^{2}-x-12 = 0\\). Wtedy \\(x_{1}+x_{2}=1, x_{1}\\cdot x_{2}=-12\\). Zgadujemy \\(x_{1}=4, x_{2}=-3\\). Pierwotna nierówność \\(\\ge 0\\) (przy \\(a<0\\)): rozwiązanie \\(\\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki\n\\(-2(x-4)(x+3) \\ge 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\((x-4)(x+3) \\le 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\(x\\in\\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=4, x_{2}=-3\\) i poprzestanie.\n- **2 pkt:** Zapisanie zbioru rozwiązań \\(x\\in \\langle -3, 4\\rangle\\) lub równoważnie \\(-3\\le x\\le 4\\).\n\n**Trik:** Dla paraboli: znak wsp. \\(a\\) + pierwiastki → znak trójmianu w trzech obszarach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja
rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:
Liczba osób
w rodzinie
liczba
uczniów
3
6
4
12
x
2
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7

\n

Poziom podstawowy
9
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Matura podstawowa z matematyki 2011. Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: ,,Ile osób liczy twoja rodzina?''. Wyniki przedstawiono w tabeli: 3 - 6, 4 - 12, x - 2 A. 3, B. 4, C. 5, D. 7

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Obliczenie średniej arytmetycznej
D
Kryteria oceniania odpowiedzi
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - uproszczenie i wzór na miejsca zerowe

\n

Krok 1: Upraszczamy nierówność.

\n

Dzielimy obie strony przez \\(-2\\) - uwaga, przy dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności:

\n

\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0 \\quad \\Big| \\div (-2)\\]

\n

\\[x^2 - x - 12 \\leq 0\\]

\n

Krok 2: Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 - x - 12\\).

\n

\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-12) = 1 + 48 = 49\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{1 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 - 7}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{1 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 + 7}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]

\n

Krok 3: Analizujemy znak paraboli.

\n

Trójmian \\(x^2 - x - 12\\) ma współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.

\n

Oznacza to, że trójmian jest ujemny (lub równy zero) między pierwiastkami:

\n

\\[x^2 - x - 12 \\leq 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\boxed{x \\in \\langle -3, 4 \\rangle}\\)

\n

Sposób 2 - faktoryzacja (postać iloczynowa)

\n

Krok 1: Wracamy do oryginalnej nierówności i wyłączamy \\(-2\\).

\n

\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0\\]

\n

\\[-2(x^2 - x - 12) \\geq 0\\]

\n

Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki.

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-12\\), a suma to \\(-1\\):

\n

\\[-4 \\cdot 3 = -12, \\quad -4 + 3 = -1 \\checkmark\\]

\n

\\[x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy.

\n

\\[-2(x-4)(x+3) \\geq 0\\]

\n

Dzielimy przez \\(-2\\) (odwracamy znak):

\n

\\[(x-4)(x+3) \\leq 0\\]

\n

Krok 4: Analizujemy znak iloczynu.

\n

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny (ujemny lub zero), gdy czynniki mają przeciwne znaki lub jeden z nich = 0:

\n

| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |
| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |
| \\(-3 < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |
| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Miejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 4\\), a następnie odczytaliśmy znak paraboli między pierwiastkami.

\n
Kluczowa obserwacja z działu 7: gdy \\(a > 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) między pierwiastkami; gdy \\(a < 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) na zewnątrz pierwiastków.
\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu (lub mnożeniu) nierówności przez liczbę ujemną musisz odwrócić znak nierówności (\\(\\geq\\) staje się \\(\\leq\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli zostawisz nierówność z \\(a = -2 < 0\\) i zapomnisz o odwróceniu kierunku, błędnie uznasz, że rozwiązanie jest na zewnątrz pierwiastków zamiast między nimi.
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału \\(-3\\) i \\(4\\) są zawarte w rozwiązaniu (nierówność niestrykta \\(\\geq 0\\)), więc przedział jest domknięty \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), nie otwarty.
\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 4\\rangle\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik
\n

Trójmian \\(f(x) = -2x^{2} + 2x + 24\\), \\(a = -2 < 0\\) (ramiona paraboli w dół).
\\[\\Delta = 2^{2} - 4\\cdot (-2)\\cdot 24 = 4 + 192 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14.\\]
Pierwiastki:
\\[x_{1} = \\dfrac{-2 - 14}{-4} = \\dfrac{-16}{-4} = 4, \\qquad x_{2} = \\dfrac{-2 + 14}{-4} = \\dfrac{12}{-4} = -3.\\]
Skoro \\(a < 0\\), nierówność \\(\\ge 0\\) spełniona jest między pierwiastkami:
\\[x \\in \\langle -3, 4\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Dla \\(-2x^{2}+2x+24 = 0\\) dzielimy przez \\(-2\\): \\(x^{2}-x-12 = 0\\). Wtedy \\(x_{1}+x_{2}=1, x_{1}\\cdot x_{2}=-12\\). Zgadujemy \\(x_{1}=4, x_{2}=-3\\). Pierwotna nierówność \\(\\ge 0\\) (przy \\(a<0\\)): rozwiązanie \\(\\langle -3, 4\\rangle\\).

\n
Sposób 3 - Rozkład na czynniki
\n

\\(-2(x-4)(x+3) \\ge 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\((x-4)(x+3) \\le 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\(x\\in\\langle -3, 4\\rangle\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Dla paraboli: znak wsp. \\(a\\) + pierwiastki → znak trójmianu w trzech obszarach.

"}]}