{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n3\n10\n3\n2\n≤\nx\nx\nOdpowiedź:\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiąż nierówność kwadratową 3x^2-10x+3 <= 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n10\n3\nx\nx\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n100\n4 3 3\n64\nΔ =\n-⋅⋅=\ni stąd\n1\n10\n8\n1\n6\n3\nx\noraz\n2\n10\n8\n3\n6\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n10\n3\nx\nx\noraz\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= i stąd\n1\n1\n3\nx =\noraz\n2\n3\nx =\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając na wykresie\n1\n1\n3\nx =\n,\n2\n3\nx =\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n3\n10\n3\nx\nx\n+ i zapisujemy\nnierówność w postaci, np.\n2\n10\n64\n3\n0 ,\n6\n12\nx\n⎛\n⎞\n≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nstąd\n2\n10\n64\n3\n0\n6\n36\nx\n⎡\n⎤\n⎛\n⎞\n≤\n⎢\n⎥\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎢\n⎥\n⎣\n⎦\na następnie\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązanie nierówności kwadratowej\n- 4\n- 3\n- 2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n6\n-3\n6\n0\n1\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi\n6\n• przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n10\n8\n10\n8\n3\n0\n6\n6\n6\n6\nx\nx\n⎛\n⎞⎛\n⎞\n⋅\n≤\n⎜\n⎟⎜\n⎟\n⎝\n⎠⎝\n⎠\n(\n)\n1\n3\n3\n3\n0\nx\nx\n⎛\n⎞≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⋅\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości\nbezwzględnej\n2\n10\n64\n6\n36\nx\n⎛\n⎞\n≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n10\n8\n6\n6\nx -\n≤\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n1\n3\n3\nx\n≤\n≤\nlub 1 , 3\n3\nlub\n1 , 3\n3\nx∈\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n3\nx =\n,\n3\nx =\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n( )\n2\n3\n10\n3\nf x\nx\nx\n+ i na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność\no zapisze nierówność\n10\n8\n6\n6\nx -\n≤\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n10\n3\nx\nx\ni\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= lub\n1\n2\n10\n3\nx\nx\ni\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= - i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność\nKryteria oceniania odpowiedzi\n7\no błędnie zapisze nierówność, np.\n10\n8\n6\n6\nx +\n≤\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: 1 , 3\n3\nlub\n1 , 3\n3\nx∈\nlub 1\n3\n3\nx\n≤\n≤\n,\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\n3\nx ≥\n,\n3\nx ≤\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwaga\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1\n3\nx =\ni\n2\n3\nx =\ni zapisze np.\n1 , 3\n3\nx∈-\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nZadania 25. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nPonieważ\n1\na\nb\n= , więc (\n)\n2\n1\na\nb\n= , czyli\n2\n2\n2\n1\na\nab\nb\nPonieważ\n2\n2\n7\na\nb\n, więc 2\n7\n1\nab +\n= . Stąd mamy, że\n3\nab = - i\n(\n)\n2\n2\n2\n9\na b\nab\nStosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie\n4\n4\n31\na\nb\nw postaci:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n31\na\nb\na b\nczyli\n2\n7\n2 9\n31\n-⋅\nco należało uzasadnić.\nII sposób rozwiązania\nPrzekształcamy tezę w sposób równoważny:\n4\n4\n31\na\nb\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n31\na\nb\na b\n2\n2\n49\n2\n31\na b\n2\n2\n9\na b =\nRozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem\nwzorów skróconego mnożenia\n3\nx\n1\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi\n8\nKorzystając z założeń\n2\n2\n7\na\nb\ni\n1\na\nb\n= , otrzymujemy 2\n7\n1\nab +\nStąd\n3\nab = -. Zatem\n2\n2\n9\na b =\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• korzystając z założeń obliczy, że\n3\nab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełnia\nbłędy\nalbo\n• przekształci tezę w sposób równoważny do postaci\n2\n2\n9\na b =\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nTak jak w sposobie I obliczamy, że\n3\nab = -.\nKorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n4\n3\n2\n2\n3\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n6\n4\n4\n6\n4\n3\n7\n6\n3\n84\n54\n30\na\nb\na\na b\na b\nab\nb\na\nab a\nb\nab\nb\na\nb\na\nb\na\nb\n⋅+ ⋅-\nStąd\n4\n4\n31\na\nb\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• poda lub obliczy wartość wyrażenia\n3\nab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy\nalbo\n• wykorzysta\nwzór\ndwumianowy\nNewtona\ni\nzapisze\nnp.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n4\n2\n2\n4\n4\n6\na\nb\na\nab a\nb\nab\nb\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nRozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b :\n2\n2\n7\n1\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nstąd:\nKryteria oceniania odpowiedzi\n9\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nUkład równań\n2\n2\n7\n1\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nmożemy rozwiązać jednym z podanych sposobów.\nI sposób\nPodstawiamy\n1\nb\na\ndo równania\n2\n2\n7\na\nb\n, stąd otrzymujemy równanie\n(\n)\n2\n2\n1\n7\na\na\n, które jest równoważne równaniu\n2\n2\n2\n6\n0\na\na\n, czyli\n2\n3\n0\na\na\nObliczamy\n13\nΔ =\noraz\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nII sposób\nOznaczamy:\n1\n2\na\nx\n,\n1\n2\nb\nx\nWtedy\n2\n2\n2\n1\n2\n7\n2\na\nb\nx\n, stąd\n2\n13\n2\n2\nx =\n, czyli\n2\n13\n4\nx =\n, więc\n13\n2\nx =\n,\n13\n2\nx = -\nStąd otrzymujemy:\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nIII sposób\nObliczamy\n3\nab = - tak jak w I sposobie rozwiązania. Mamy zatem układ równań:\n1\n3\na\nb\nab\n⎧\n⎨\n⎩\nStąd otrzymujemy:\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nKryteria oceniania odpowiedzi\n10\nObliczamy\n4\n4\na\nb\n, korzystając ze wzoru (\n)\n(\n)\n4\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n12\n2\nc\nd\nc\nd\nc\nc d\nd\n:\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n2\n4\n4\n2\n1\n13\n1\n13\n2\n2\n1\n13\n1\n13\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n13\n13\n2\n12\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n13\n169\n248\n3\n31\n8\n4\n8\n8\na\nb\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n+ ⋅\nUwaga\nZdający może także obliczyć:\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n1\n13\n1\n13\n1\n2 13\n13\n14\n2 13\n7\n13\n2\n2\n4\n4\n2\n49 14 13\n13\n62 14 13\n31 7 13\n1\n13\n31 7 13\nalbo\n4\n4\n2\n2\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\noraz\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n1\n13\n1\n13\n1\n2 13\n13\n14\n2 13\n7\n13\n2\n2\n4\n4\n2\n49 14 13\n13\n62 14 13\n31 7 13\n1\n13\n31\n7 13\nalbo\n4\n4\n2\n2\n2\nb\nb\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nZatem\n4\n4\n31 7 13\n31 7 13\n31\n2\n2\na\nb\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy jedną z wartości\n1\n1\n13\n2\na\nlub\n2\n1\n13\n2\na\nlub\n1\n1\n13\n2\nb\nlub\n2\n1\n13\n2\nb\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy jedną z wartości\n1\n1\n13\n2\na\nlub\n2\n1\n13\n2\na\n, lub\n1\n1\n13\n2\nb\n,\nlub\n2\n1\n13\n2\nb\ni uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje 2 punkty.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b = 18\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie warunku \\(f(14) = 5\\)\n\nKorzystamy z definicji funkcji: skoro \\(f(14) = 5\\), to podstawiamy \\(x = 14\\) do wzoru.\n\n\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]\n\n\\[\\frac{28 - b}{5} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(5\\):\n\n\\[28 - b = 25\\]\n\n\\[-b = 25 - 28\\]\n\n\\[-b = -3\\]\n\n\\[\\boxed{b = 3}\\]\n\n**Poczekaj - sprawdźmy to!**\n\n\\[f(14) = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(b = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy \\(b = 3\\), więc wzór funkcji to:\n\\[f(x) = \\frac{2x - 3}{x - 9}\\]\n\nSprawdzamy warunek \\(f(14) = 5\\):\n\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - 3}{14 - 9} = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(b = 3\\)** jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy umiejętność podstawiania do wzoru funkcji i rozwiązywania prostego równania liniowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie podstawiaj \\(x = 9\\) - funkcja w tym punkcie **nie jest określona** (mianownik = 0). Zadanie podaje \\(f(14) = 5\\), więc podstawiamy \\(x = 14\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uproszczeniu \\(\\frac{28 - b}{5} = 5\\) łatwo zapomnieć pomnożyć **obie strony** przez 5. Błąd to przepisanie \\(28 - b = 1\\) (pomylenie \\(= 5\\) z \\(= \\frac{5}{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przeniesieniu \\(b\\) na drugą stronę - pamiętaj o zmianie znaku: \\(28 - b = 25 \\Rightarrow -b = -3 \\Rightarrow b = 3\\). Błąd ze znakiem to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.\n\n*Poprawna odpowiedź: \\(b = 3\\)*\n\n**Odpowiedź:** \\(b = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru\n\\(f(14)=5\\) oznacza:\n\\[\\dfrac{2\\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]\n\\[\\dfrac{28 - b}{5} = 5 \\quad \\big|\\cdot 5\\]\n\\[28 - b = 25 \\Rightarrow b = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nPodstawiamy \\(b=3\\) do wzoru: \\(f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-9}\\). Wtedy \\(f(14)=\\dfrac{28-3}{14-9}=\\dfrac{25}{5}=5\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Alternatywny zapis\n\\(5\\cdot (14-9) = 2\\cdot 14 - b \\Rightarrow 25 = 28 - b \\Rightarrow b = 3\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Poprawne zapisanie równania z niewiadomą \\(b\\), np. \\(5 = \\dfrac{2\\cdot 14 - b}{14-9}\\) lub \\(5\\cdot 5 = 28-b\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(b = 3\\).\n\n**Trik:** Gdy podany jest punkt \\((x_{0}, f(x_{0}))\\) i niewiadomy parametr - podstaw i rozwiąż.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
0
3
10
3
2
≤
x
x
Odpowiedź:
Matura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiąż nierówność kwadratową 3x^2-10x+3 <= 0

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-2)
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
3
10
3
x
x
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
100
4 3 3
64
Δ =
-⋅⋅=
i stąd
1
10
8
1
6
3
x
oraz
2
10
8
3
6
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
1
2
10
3
x
x
oraz
1
2
1
x
x
⋅
= i stąd
1
1
3
x =
oraz
2
3
x =
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając na wykresie
1
1
3
x =
,
2
3
x =
lub
(
)
1
3
3
3
x
x
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
lub
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego
2
3
10
3
x
x

\n\n

nierówność w postaci, np.
2
10
64
3
0 ,
6
12
x
⎛
⎞
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
stąd
2
10
64
3
0
6
36
x
⎡
⎤
⎛
⎞
≤
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
a następnie
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązanie nierówności kwadratowej

\n\n

-1
1
2
3
4
5
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
6
-3
6
0
1
3
Kryteria oceniania odpowiedzi
6
• przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
10
8
10
8
3
0
6
6
6
6
x
x
⎛
⎞⎛
⎞
⋅
≤
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
(
)
1
3
3
3
0
x
x
⎛
⎞≤
⎜
⎟
⎝
⎠
⋅
albo
• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
2
10
64
6
36
x
⎛
⎞
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
10
8
6
6
x -
≤
Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:
1
3
3
x
≤
≤
lub 1 , 3
3
lub
1 , 3
3
x∈
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
3
x =
,
3
x =
i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji
( )
2
3
10
3
f x
x
x

\n\n

poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.
(
)
1
3
3
3
x
x
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
i na
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność
o zapisze nierówność
10
8
6
6
x -
≤
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze
zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
1
2
10
3
x
x
i
1
2
1
x
x
⋅
= lub
1
2
10
3
x
x
i
1
2
1
x
x
⋅
= - i konsekwentnie do popełnionego
błędu rozwiąże nierówność
Kryteria oceniania odpowiedzi
7
o błędnie zapisze nierówność, np.
10
8
6
6
x +
≤
i konsekwentnie do popełnionego
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: 1 , 3
3
lub
1 , 3
3
x∈
lub 1
3
3
x
≤
≤
,
albo
• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
1
3
x ≥
,
3
x ≤
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwaga
Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
1
1
3
x =
i
2
3
x =
i zapisze np.
1 , 3
3
x∈-
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za
takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
Zadania 25. (0-2)
I sposób rozwiązania
Ponieważ
1
a
b
= , więc (
)
2
1
a
b
= , czyli
2
2
2
1
a
ab
b
Ponieważ
2
2
7
a
b
, więc 2
7
1
ab +
= . Stąd mamy, że
3
ab = - i
(
)
2
2
2
9
a b
ab
Stosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie
4
4
31
a
b
w postaci:
(
)
2
2
2
2
2
2
31
a
b
a b
czyli
2
7
2 9
31
-⋅
co należało uzasadnić.
II sposób rozwiązania
Przekształcamy tezę w sposób równoważny:
4
4
31
a
b
(
)
2
2
2
2
2
2
31
a
b
a b
2
2
49
2
31
a b
2
2
9
a b =
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia
3
x
1
3
Kryteria oceniania odpowiedzi
8
Korzystając z założeń
2
2
7
a
b
i
1
a
b
= , otrzymujemy 2
7
1
ab +
Stąd
3
ab = -. Zatem
2
2
9
a b =
, co kończy dowód.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• korzystając z założeń obliczy, że
3
ab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełnia
błędy
albo
• przekształci tezę w sposób równoważny do postaci
2
2
9
a b =
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
III sposób rozwiązania
Tak jak w sposobie I obliczamy, że
3
ab = -.
Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
4
3
2
2
3
4
4
2
2
4
2
4
4
4
4
4
4
4
6
4
4
6
4
3
7
6
3
84
54
30
a
b
a
a b
a b
ab
b
a
ab a
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
⋅+ ⋅-
Stąd
4
4
31
a
b
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• poda lub obliczy wartość wyrażenia
3
ab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy
albo
• wykorzysta
wzór
dwumianowy
Newtona
i
zapisze
np.
(
)
(
)
(
)
4
2
4
2
2
4
4
6
a
b
a
ab a
b
ab
b
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
IV sposób rozwiązania
Rozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b :
2
2
7
1
a
b
a
b
⎧
⎨
⎩
stąd:
Kryteria oceniania odpowiedzi
9
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
lub
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
Układ równań
2
2
7
1
a
b
a
b
⎧
⎨
⎩
możemy rozwiązać jednym z podanych sposobów.
I sposób
Podstawiamy
1
b
a
do równania
2
2
7
a
b
, stąd otrzymujemy równanie
(
)
2
2
1
7
a
a
, które jest równoważne równaniu
2
2
2
6
0
a
a
, czyli
2
3
0
a
a
Obliczamy
13
Δ =
oraz
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
lub
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
II sposób
Oznaczamy:
1
2
a
x
,
1
2
b
x
Wtedy
2
2
2
1
2
7
2
a
b
x
, stąd
2
13
2
2
x =
, czyli
2
13
4
x =
, więc
13
2
x =
,
13
2
x = -
Stąd otrzymujemy:
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
lub
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
III sposób
Obliczamy
3
ab = - tak jak w I sposobie rozwiązania. Mamy zatem układ równań:
1
3
a
b
ab
⎧
⎨
⎩
Stąd otrzymujemy:
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
lub
1
13
2
1
13
2
a
b
⎧
⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
Kryteria oceniania odpowiedzi
10
Obliczamy
4
4
a
b
, korzystając ze wzoru (
)
(
)
4
4
4
2
2
4
2
12
2
c
d
c
d
c
c d
d
:
4
4
4
4
4
4
2
4
4
2
1
13
1
13
2
2
1
13
1
13
2
2
2
2
1
1
13
13
2
12
2
2
2
2
2
1
13
169
248
3
31
8
4
8
8
a
b
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

\n\n

Uwaga
Zdający może także obliczyć:
2
4
2
2
2
2
4
4
4
1
13
1
13
1
2 13
13
14
2 13
7
13
2
2
4
4
2
49 14 13
13
62 14 13
31 7 13
1
13
31 7 13
albo
4
4
2
2
2
a
a
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
oraz
2
4
2
2
2
2
4
4
4
1
13
1
13
1
2 13
13
14
2 13
7
13
2
2
4
4
2
49 14 13
13
62 14 13
31 7 13
1
13
31
7 13
albo
4
4
2
2
2
b
b
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Zatem
4
4
31 7 13
31 7 13
31
2
2
a
b
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy obliczy jedną z wartości
1
1
13
2
a
lub
2
1
13
2
a
lub
1
1
13
2
b
lub
2
1
13
2
b
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości
1
1
13
2
a
lub
2
1
13
2
a
, lub
1
1
13
2
b
,
lub
2
1
13
2
b
i uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje 2 punkty.
Kryteria oceniania odpowiedzi
11

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(b = 18\\)

\n

Sposób 1 - podstawienie warunku \\(f(14) = 5\\)

\n

Korzystamy z definicji funkcji: skoro \\(f(14) = 5\\), to podstawiamy \\(x = 14\\) do wzoru.

\n

\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]

\n

\\[\\frac{28 - b}{5} = 5\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(5\\):

\n

\\[28 - b = 25\\]

\n

\\[-b = 25 - 28\\]

\n

\\[-b = -3\\]

\n

\\[\\boxed{b = 3}\\]

\n

Poczekaj - sprawdźmy to!

\n

\\[f(14) = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]

\n

Zatem \\(b = 3\\).

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

\n

Mamy \\(b = 3\\), więc wzór funkcji to:
\\[f(x) = \\frac{2x - 3}{x - 9}\\]

\n

Sprawdzamy warunek \\(f(14) = 5\\):
\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - 3}{14 - 9} = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - \\(b = 3\\) jest poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania do wzoru funkcji i rozwiązywania prostego równania liniowego.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie podstawiaj \\(x = 9\\) - funkcja w tym punkcie nie jest określona (mianownik = 0). Zadanie podaje \\(f(14) = 5\\), więc podstawiamy \\(x = 14\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po uproszczeniu \\(\\frac{28 - b}{5} = 5\\) łatwo zapomnieć pomnożyć obie strony przez 5. Błąd to przepisanie \\(28 - b = 1\\) (pomylenie \\(= 5\\) z \\(= \\frac{5}{5}\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Przy przeniesieniu \\(b\\) na drugą stronę - pamiętaj o zmianie znaku: \\(28 - b = 25 \\Rightarrow -b = -3 \\Rightarrow b = 3\\). Błąd ze znakiem to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(b = 3\\)

\n

Odpowiedź: \\(b = 3\\).

\n
Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru
\n

\\(f(14)=5\\) oznacza:
\\[\\dfrac{2\\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]
\\[\\dfrac{28 - b}{5} = 5 \\quad \\big|\\cdot 5\\]
\\[28 - b = 25 \\Rightarrow b = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Podstawiamy \\(b=3\\) do wzoru: \\(f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-9}\\). Wtedy \\(f(14)=\\dfrac{28-3}{14-9}=\\dfrac{25}{5}=5\\) ✓.

\n
Sposób 3 - Alternatywny zapis
\n

\\(5\\cdot (14-9) = 2\\cdot 14 - b \\Rightarrow 25 = 28 - b \\Rightarrow b = 3\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Gdy podany jest punkt \\((x_{0}, f(x_{0}))\\) i niewiadomy parametr - podstaw i rozwiąż.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left\\langle \\dfrac{1}{3}, 3 \\right\\rangle$

"}]}