{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli\n1\n+ b\na\ni\n7\n2\n2\n+ b\na\n, to\n4\n4\n31\na\nb\n\nPoziom podstawowy\n11\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2+b^2=7, to a^4+b^4=31.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nWykazujemy, że \\(|BM| = |MN|\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów\n\nOznaczmy bok trójkąta równobocznego \\(|AB| = |BC| = |CA| = a\\) oraz \\(|AM| = |CN| = x\\).\n\n**Ustalamy wszystkie potrzebne długości:**\n- \\(|MC| = a - x\\) (bo \\(M\\) na \\(AC\\), \\(|AM| = x\\))\n- \\(|BN| = |BC| + |CN| = a + x\\) (bo \\(N\\) leży za punktem \\(C\\) na prostej \\(BC\\))\n\n**Wyznaczamy \\(|BM|^2\\) - w trójkącie \\(ABM\\):**\n\nKąt przy \\(A\\): \\(\\angle BAM = 60°\\) (kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego).\n\n\\[|BM|^2 = |AB|^2 + |AM|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AM|\\cdot\\cos 60°\\]\n\\[= a^2 + x^2 - 2ax\\cdot\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\boxed{|BM|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(|MN|^2\\) - w trójkącie \\(MCN\\):**\n\nKąt przy \\(C\\): ponieważ \\(B, C, N\\) są współliniowi (i \\(N\\) leży za \\(C\\)), kąt \\(\\angle MCN\\) jest kątem przyległym do kąta trójkąta:\n\\[\\angle MCN = 180° - \\angle ACB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n\\[|MN|^2 = |MC|^2 + |CN|^2 - 2\\cdot|MC|\\cdot|CN|\\cdot\\cos 120°\\]\n\\[= (a-x)^2 + x^2 - 2(a-x)\\cdot x\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[= (a-x)^2 + x^2 + (a-x)\\cdot x\\]\n\\[= a^2 - 2ax + x^2 + x^2 + ax - x^2\\]\n\\[\\boxed{|MN|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]\n\n**Porównanie wyników:**\n\\[|BM|^2 = a^2 - ax + x^2 = |MN|^2\\]\n\nPonieważ obie długości są nieujemne:\n\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Prostopadła dwusieczna odcinka \\(BN\\)\n\nPokażemy, że \\(M\\) leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(BN\\) - z czego bezpośrednio wynika \\(|BM| = |MN|\\).\n\n**Krok 1: Rzut punktu \\(M\\) na prostą \\(BN\\).**\n\nOznaczmy przez \\(H\\) rzut prostokątny \\(M\\) na prostą \\(BN\\), tzn. \\(MH \\perp BN\\).\n\nPunkt \\(M\\) leży na \\(AC\\) w odległości \\(x\\) od \\(A\\). Odcinek \\(AC\\) jest nachylony pod kątem \\(60°\\) do prostej \\(BC\\) (kąt trójkąta przy \\(C\\)).\n\nRzut punktu \\(A\\) na prostą \\(BC\\): ponieważ trójkąt jest równoboczny, odległość pozioma od \\(B\\) do rzutu \\(A\\) wynosi:\n\\[|AB|\\cdot\\cos 60° = a\\cdot\\frac{1}{2} = \\frac{a}{2}\\]\n\nPrzesuwając się z \\(A\\) wzdłuż \\(AC\\) o odległość \\(x\\), poziomy składnik tego ruchu wynosi:\n\\[x\\cdot\\cos 60° = \\frac{x}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[|BH| = \\frac{a}{2} + \\frac{x}{2} = \\frac{a+x}{2}\\]\n\n**Krok 2: \\(H\\) jest środkiem odcinka \\(BN\\).**\n\n\\[|BN| = a + x \\implies \\frac{|BN|}{2} = \\frac{a+x}{2} = |BH|\\]\n\nPunkt \\(H\\) jest więc **środkiem odcinka \\(BN\\)**.\n\n**Wniosek:**\n\nProsta \\(MH\\) jest prostopadła do \\(BN\\) i przechodzi przez jego środek - jest to **prostopadła dwusieczna** odcinka \\(BN\\). Każdy punkt prostopadłej dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka, więc:\n\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 przy podstawianiu do twierdzenia cosinusów.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nZastosowane dwukrotnie: raz dla trójkąta \\(ABM\\) (kąt \\(60°\\)), raz dla trójkąta \\(MCN\\) (kąt \\(120°\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle MCN\\) to **NIE** \\(60°\\)! Punkt \\(N\\) leży poza trójkątem, więc kąt między \\(CM\\) a \\(CN\\) jest kątem przyległym do \\(60°\\), czyli wynosi \\(120°\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) - pamiętaj o znaku minus! Wtedy człon \\(-2bc\\cos 120°\\) staje się **dodatni** i daje \\(+(a-x)\\cdot x\\) po obliczeniach. Błędny znak niszczy cały dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|BN| = a + x\\), nie \\(a - x\\). Punkt \\(N\\) leży **za** punktem \\(C\\), więc odcinki \\(BC\\) i \\(CN\\) sumują się, nie odejmują.\n\n**Odpowiedź:** \\(|BM| = |MN|\\) - dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Rysunek pomocniczy + przystawanie (bkb)\nRysujemy przez \\(M\\) odcinek \\(MD\\parallel AB\\), gdzie \\(D\\) leży na boku \\(BC\\). Wówczas:\n- Trójkąt \\(MCD\\) jest **równoboczny** (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\), bo \\(\\angle MCD = 60^{\\circ}\\) i \\(MD\\parallel AB\\) daje \\(\\angle MDC = 60^{\\circ}\\), stąd \\(\\angle CMD=60^{\\circ}\\)).\n\n**Krok 1 - równe boki.**\n\\[|BD| = |BC| - |DC|.\\]\nZe wzoru \\(|DC| = |MC|\\) (trójkąt równoboczny) oraz \\(|MC| = |AC| - |AM| = |AB| - |AM|\\), więc \\(|BD| = |AB| - |MC| = |AB| - (|AB|-|AM|) = |AM|\\).\n\nZ warunku zadania \\(|AM| = |CN|\\), więc \\(|BD| = |CN|\\).\n\n**Krok 2 - drugi pary równych boków.**\n\\(|MD| = |CM|\\) (trójkąt równoboczny \\(MCD\\)).\n\n**Krok 3 - kąty przy wierzchołkach \\(D\\) i \\(C\\).**\n\\(\\angle BDM = 180^{\\circ} - \\angle MDC = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\).\n\\(\\angle MCN = 180^{\\circ} - \\angle MCB = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\) (bo \\(B, C, N\\) współliniowe).\nStąd \\(\\angle BDM = \\angle MCN = 120^{\\circ}\\).\n\n**Krok 4 - przystawanie \\(\\triangle BDM \\cong \\triangle MCN\\) (cecha bkb):**\n\\[|BD|=|MC|, \\quad \\angle BDM=\\angle MCN, \\quad |DM|=|CN|.\\]\nZ przystawania \\(|BM| = |MN|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów\nOznaczmy \\(|AM|=|CN|=m\\), \\(|AB|=a\\).\n\nDla \\(\\triangle ABM\\) (kąt przy \\(A\\) = \\(60^{\\circ}\\)):\n\\[|BM|^{2} = m^{2} + a^{2} - 2ma\\cos 60^{\\circ} = m^{2} + a^{2} - ma.\\]\n\nDla \\(\\triangle MCN\\) (kąt przy \\(C\\) = \\(180^{\\circ}-60^{\\circ}=120^{\\circ}\\)):\n\\[|MN|^{2} = |MC|^{2} + |CN|^{2} - 2|MC|\\cdot |CN|\\cos 120^{\\circ}.\\]\n\\(|MC| = a - m\\), \\(|CN|=m\\), \\(\\cos 120^{\\circ} = -\\tfrac{1}{2}\\):\n\\[|MN|^{2} = (a-m)^{2} + m^{2} + m(a-m) = a^{2}-2am+m^{2}+m^{2}+am-m^{2} = a^{2}-am+m^{2}.\\]\n\nPorównanie: \\(|BM|^{2} = |MN|^{2}\\), więc \\(|BM|=|MN|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zauważenie przystawania trójkątów \\(BDM\\) i \\(MCN\\) lub zastosowanie twierdzenia cosinusów z poprawnie obliczonym kwadratem jednego z odcinków.\n- **2 pkt:** Pełne uzasadnienie \\(|BM|=|MN|\\).\n\n**Trik:** Przy punkcie poza trójkątem równobocznym - dorysuj odcinek równoległy do boku, powstaje mniejszy trójkąt równoboczny.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (2 pkt)
Uzasadnij, że jeżeli
1

\n\n

a
i
7
2
2

\n\n

a
, to
4
4
31
a
b

\n

Poziom podstawowy
11
Matura podstawowa z matematyki 2011. Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2+b^2=7, to a^4+b^4=31.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

\n

Wykazujemy, że \\(|BM| = |MN|\\).

\n

Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów

\n

Oznaczmy bok trójkąta równobocznego \\(|AB| = |BC| = |CA| = a\\) oraz \\(|AM| = |CN| = x\\).

\n

Ustalamy wszystkie potrzebne długości:

\n\n

Wyznaczamy \\(|BM|^2\\) - w trójkącie \\(ABM\\):

\n

Kąt przy \\(A\\): \\(\\angle BAM = 60°\\) (kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego).

\n

\\[|BM|^2 = |AB|^2 + |AM|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AM|\\cdot\\cos 60°\\]
\\[= a^2 + x^2 - 2ax\\cdot\\frac{1}{2}\\]
\\[\\boxed{|BM|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]

\n

Wyznaczamy \\(|MN|^2\\) - w trójkącie \\(MCN\\):

\n

Kąt przy \\(C\\): ponieważ \\(B, C, N\\) są współliniowi (i \\(N\\) leży za \\(C\\)), kąt \\(\\angle MCN\\) jest kątem przyległym do kąta trójkąta:
\\[\\angle MCN = 180° - \\angle ACB = 180° - 60° = 120°\\]

\n

\\[|MN|^2 = |MC|^2 + |CN|^2 - 2\\cdot|MC|\\cdot|CN|\\cdot\\cos 120°\\]
\\[= (a-x)^2 + x^2 - 2(a-x)\\cdot x\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]
\\[= (a-x)^2 + x^2 + (a-x)\\cdot x\\]
\\[= a^2 - 2ax + x^2 + x^2 + ax - x^2\\]
\\[\\boxed{|MN|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]

\n

Porównanie wyników:
\\[|BM|^2 = a^2 - ax + x^2 = |MN|^2\\]

\n

Ponieważ obie długości są nieujemne:
\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]

\n

Sposób 2 - Prostopadła dwusieczna odcinka \\(BN\\)

\n

Pokażemy, że \\(M\\) leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(BN\\) - z czego bezpośrednio wynika \\(|BM| = |MN|\\).

\n

Krok 1: Rzut punktu \\(M\\) na prostą \\(BN\\).

\n

Oznaczmy przez \\(H\\) rzut prostokątny \\(M\\) na prostą \\(BN\\), tzn. \\(MH \\perp BN\\).

\n

Punkt \\(M\\) leży na \\(AC\\) w odległości \\(x\\) od \\(A\\). Odcinek \\(AC\\) jest nachylony pod kątem \\(60°\\) do prostej \\(BC\\) (kąt trójkąta przy \\(C\\)).

\n

Rzut punktu \\(A\\) na prostą \\(BC\\): ponieważ trójkąt jest równoboczny, odległość pozioma od \\(B\\) do rzutu \\(A\\) wynosi:
\\[|AB|\\cdot\\cos 60° = a\\cdot\\frac{1}{2} = \\frac{a}{2}\\]

\n

Przesuwając się z \\(A\\) wzdłuż \\(AC\\) o odległość \\(x\\), poziomy składnik tego ruchu wynosi:
\\[x\\cdot\\cos 60° = \\frac{x}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[|BH| = \\frac{a}{2} + \\frac{x}{2} = \\frac{a+x}{2}\\]

\n

Krok 2: \\(H\\) jest środkiem odcinka \\(BN\\).

\n

\\[|BN| = a + x \\implies \\frac{|BN|}{2} = \\frac{a+x}{2} = |BH|\\]

\n

Punkt \\(H\\) jest więc środkiem odcinka \\(BN\\).

\n

Wniosek:

\n

Prosta \\(MH\\) jest prostopadła do \\(BN\\) i przechodzi przez jego środek - jest to prostopadła dwusieczna odcinka \\(BN\\). Każdy punkt prostopadłej dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka, więc:
\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\]
Użyte w Sposobie 1 przy podstawianiu do twierdzenia cosinusów.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Zastosowane dwukrotnie: raz dla trójkąta \\(ABM\\) (kąt \\(60°\\)), raz dla trójkąta \\(MCN\\) (kąt \\(120°\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle MCN\\) to NIE \\(60°\\)! Punkt \\(N\\) leży poza trójkątem, więc kąt między \\(CM\\) a \\(CN\\) jest kątem przyległym do \\(60°\\), czyli wynosi \\(120°\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) - pamiętaj o znaku minus! Wtedy człon \\(-2bc\\cos 120°\\) staje się dodatni i daje \\(+(a-x)\\cdot x\\) po obliczeniach. Błędny znak niszczy cały dowód.
\n
⚠️ Uwaga: \\(|BN| = a + x\\), nie \\(a - x\\). Punkt \\(N\\) leży za punktem \\(C\\), więc odcinki \\(BC\\) i \\(CN\\) sumują się, nie odejmują.
\n

Odpowiedź: \\(|BM| = |MN|\\) - dowód poniżej.

\n
Sposób 1 - Rysunek pomocniczy + przystawanie (bkb)
\n

Rysujemy przez \\(M\\) odcinek \\(MD\\parallel AB\\), gdzie \\(D\\) leży na boku \\(BC\\). Wówczas:

\n\n

Krok 1 - równe boki.
\\[|BD| = |BC| - |DC|.\\]
Ze wzoru \\(|DC| = |MC|\\) (trójkąt równoboczny) oraz \\(|MC| = |AC| - |AM| = |AB| - |AM|\\), więc \\(|BD| = |AB| - |MC| = |AB| - (|AB|-|AM|) = |AM|\\).

\n

Z warunku zadania \\(|AM| = |CN|\\), więc \\(|BD| = |CN|\\).

\n

Krok 2 - drugi pary równych boków.
\\(|MD| = |CM|\\) (trójkąt równoboczny \\(MCD\\)).

\n

Krok 3 - kąty przy wierzchołkach \\(D\\) i \\(C\\).
\\(\\angle BDM = 180^{\\circ} - \\angle MDC = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\).
\\(\\angle MCN = 180^{\\circ} - \\angle MCB = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\) (bo \\(B, C, N\\) współliniowe).
Stąd \\(\\angle BDM = \\angle MCN = 120^{\\circ}\\).

\n

Krok 4 - przystawanie \\(\\triangle BDM \\cong \\triangle MCN\\) (cecha bkb):
\\[|BD|=|MC|, \\quad \\angle BDM=\\angle MCN, \\quad |DM|=|CN|.\\]
Z przystawania \\(|BM| = |MN|\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów
\n

Oznaczmy \\(|AM|=|CN|=m\\), \\(|AB|=a\\).

\n

Dla \\(\\triangle ABM\\) (kąt przy \\(A\\) = \\(60^{\\circ}\\)):
\\[|BM|^{2} = m^{2} + a^{2} - 2ma\\cos 60^{\\circ} = m^{2} + a^{2} - ma.\\]

\n

Dla \\(\\triangle MCN\\) (kąt przy \\(C\\) = \\(180^{\\circ}-60^{\\circ}=120^{\\circ}\\)):
\\[|MN|^{2} = |MC|^{2} + |CN|^{2} - 2|MC|\\cdot |CN|\\cos 120^{\\circ}.\\]
\\(|MC| = a - m\\), \\(|CN|=m\\), \\(\\cos 120^{\\circ} = -\\tfrac{1}{2}\\):
\\[|MN|^{2} = (a-m)^{2} + m^{2} + m(a-m) = a^{2}-2am+m^{2}+m^{2}+am-m^{2} = a^{2}-am+m^{2}.\\]

\n

Porównanie: \\(|BM|^{2} = |MN|^{2}\\), więc \\(|BM|=|MN|\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Przy punkcie poza trójkątem równobocznym - dorysuj odcinek równoległy do boku, powstaje mniejszy trójkąt równoboczny.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Uzasadnienie.

"}]}