{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) zbiór wartości funkcji f,\nb) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n24.\n25.\n26.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\ny\nx\n0\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n-1\n-2\n-3\n-4\n-3\n-2\n-1\n-5\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n\nPoziom podstawowy\n12\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiązanie\nOdczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji:\n2, 3\nZapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca:\n2,2\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\ni na tym poprzestanie\nalbo\n• zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\ni błędnie zapisze przedział maksymalnej\ndługości, w którym ta funkcja jest malejąca\nalbo\n• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:\n2, 2\ni na tym poprzestanie\nalbo\n• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np.:\n2, 2\ni błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\noraz przedział maksymalnej długości,\nw którym funkcja f jest malejąca:\n2, 2\nUwagi\n1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,\nw postaci 2\n2\nx\n-≤\n≤\nlub\n2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n)\n2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n( 2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n(\n)\n2,2\nx ∈-\n2. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci 2\n3 lub\n2,3 .\ny\nx\n-≤\n≤\n∈-\n3. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,\nw postaci\n2,0\n0,2\n∪\n4. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym\nfunkcja f jest malejąca, w postaci {\n}\n2,2\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOdczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz\nmaksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\nZadania 27. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nLiczby ,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd 2\n19\ny\nx\nZapisujemy więc układ równań\n2\n19\n8\ny\nx\nx\ny\n⎧\n⎨+\n⎩\nktórego rozwiązaniem jest\n1\nx = - i\n9\ny =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np. 2\n19\ny\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nUwaga\nZdający może jako rozwiązanie podać ciąg (\n)\n1, 9, 19\ni wtedy również otrzymuje 2 punkty.\nII sposób rozwiązania\nLiczby ,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Niech r będzie różnicą tego\nciągu i\n1\nx\na\n,\n2\n1\ny\na\na\nr\n+ ,\n3\n1\n19\n2\na\na\nr\nOtrzymujemy układ równań\n1\n1\n1\n8\n2\n19\na\na\nr\na\nr\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązaniem tego układu jest\n1\n1\na = -,\n10\nr =\n. Stąd:\n1\n1\nx\na\n= -,\n2\n9\ny\na\nUwaga\nMożemy również otrzymać następujące układy równań:\n1\n1\n1\n2\n8\n19\n2\na\nr\na\na\nr\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\nlub 19\n2\n8\ny\nx\nr\nx\nr\nx\ny\n⎧\n⎪\n⎨\n⎪+\n⎩\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wprowadzi oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\n1\ny\na\na\nr\n+ i zapisze równanie\n1\n2\n19\na\nr\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\nlub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów\ntego ciągu\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13\nIII sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\ny\na\n,\n3\n19\na\nObliczamy:\n3\n19\n8 19\n27\nS\nx\ny\nKorzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\notrzymujemy\n1\n19 3\n27\n2\na +\n⋅=\nStąd\n1\n1\na = -, zatem\n1\nx = -,\n9\ny =\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wprowadzi oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\ny\na\n,\n3\n19\na\ni zapisze równanie\n1\n3 3\n27\n2\na\na\n⋅=\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n1\nx\ni\n9\ny\nbez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne\nrozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)\n\nCzyli \\(W(x) = -x + 1\\).\n\n## Sposób 1 - Porównanie współczynników\n\nMnożymy \\(W(x) \\cdot Q(x)\\) i przyrównujemy do \\(P(x)\\).\n\n\\[(ax + b)(2x^2 - x - 1)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[= 2ax^3 - ax^2 - ax + 2bx^2 - bx - b\\]\n\\[= 2ax^3 + (-a + 2b)x^2 + (-a - b)x - b\\]\n\nNatomiast \\(P(x) = -2x^3 + 3x^2 + 0 \\cdot x - 1\\).\n\n**Przyrównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:**\n\n| Potęga | Równanie | Wynik |\n| \\(x^3\\) | \\(2a = -2\\) | \\(a = -1\\) |\n| \\(x^2\\) | \\(-a + 2b = 3\\) | \\(1 + 2b = 3 \\Rightarrow b = 1\\) |\n| \\(x^1\\) | \\(-a - b = 0\\) | \\(1 - 1 = 0\\) ✓ |\n| \\(x^0\\) | \\(-b = -1\\) | \\(b = 1\\) ✓ |\n\n**Warunki ze wszystkich czterech współczynników są zgodne**, więc \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).\n\n## Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (algorytm Hornera / dzielenie pisemne)\n\nJeśli \\(P(x) = W(x) \\cdot Q(x)\\), to \\(W(x) = \\dfrac{P(x)}{Q(x)}\\). Wykonujemy dzielenie \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\):\n\n\\[\\frac{-2x^3 + 3x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}\\]\n\n**Krok 1.** Dzielimy wiodący wyraz:\n\\[\\frac{-2x^3}{2x^2} = -x\\]\n\nOdejmujemy \\((-x) \\cdot (2x^2 - x - 1) = -2x^3 + x^2 + x\\):\n\\[(-2x^3 + 3x^2 + 0x - 1) - (-2x^3 + x^2 + x) = 2x^2 - x - 1\\]\n\n**Krok 2.** Dzielimy wiodący wyraz reszty:\n\\[\\frac{2x^2}{2x^2} = +1\\]\n\nOdejmujemy \\((+1) \\cdot (2x^2 - x - 1) = 2x^2 - x - 1\\):\n\\[(2x^2 - x - 1) - (2x^2 - x - 1) = 0\\]\n\nReszta = 0, więc dzielenie jest dokładne:\n\\[W(x) = -x + 1\\]\n\n**Stąd \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość mnożenia wielomianów i porównywania współczynników (algebry podstawowej).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((ax+b)(2x^2-x-1)\\) łatwo zapomnieć o jednym z sześciu składników iloczynu - rób to metodycznie, mnożąc każdy wyraz z każdym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Masz cztery równania (przy \\(x^3, x^2, x^1, x^0\\)) i tylko dwie niewiadome (\\(a, b\\)). Musisz sprawdzić, czy układ jest **niesprzeczny** - jeśli współczynniki przy \\(x^1\\) i \\(x^0\\) nie pasują do wyznaczonych \\(a, b\\), zadanie nie miałoby rozwiązania. Tu na szczęście wszystko się zgadza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl kolejności - \\(W(x) = ax + b\\), więc \\(a\\) to współczynnik przy \\(x\\), a \\(b\\) to wyraz wolny. Pośpiech przy odczytaniu powoduje zamianę tych wartości.\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -1, b = 1\\), czyli \\(W(x) = -x + 1\\).\n\n### Sposób 1 - Mnożenie i porównanie współczynników\n\\[W(x)\\cdot Q(x) = (ax+b)(2x^{2}-x-1) = 2ax^{3}-ax^{2}-ax + 2bx^{2}-bx-b\\]\n\\[= 2ax^{3} + (2b-a)x^{2} - (a+b)x - b.\\]\n\nPorównanie z \\(P(x) = -2x^{3} + 3x^{2} + 0\\cdot x - 1\\):\n\\[\\begin{cases} 2a = -2 \\\\ 2b - a = 3 \\\\ -(a+b) = 0 \\\\ -b = -1 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego: \\(a = -1\\). Z ostatniego: \\(b = 1\\). Sprawdzenie pozostałych: \\(2\\cdot 1 - (-1) = 3\\) ✓, \\(-(-1+1)=0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianu \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\)\nWykonujemy dzielenie:\n\\[(-2x^{3}+3x^{2}-1):(2x^{2}-x-1).\\]\n- \\(-2x^{3}:2x^{2} = -x\\). Mnożymy: \\(-x\\cdot (2x^{2}-x-1) = -2x^{3}+x^{2}+x\\). Odejmujemy: \\((-2x^{3}+3x^{2}+0x-1) - (-2x^{3}+x^{2}+x) = 2x^{2}-x-1\\).\n- \\(2x^{2}:2x^{2} = 1\\). Mnożymy: \\(1\\cdot(2x^{2}-x-1) = 2x^{2}-x-1\\). Odejmujemy: \\(0\\).\n\nIloraz: \\(-x+1\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\), czyli \\(a=-1, b=1\\).\n\n### Sposób 3 - Miejsca zerowe \\(Q(x)\\)\n\\(Q(x) = 2x^{2}-x-1 = (2x+1)(x-1)\\), miejsca zerowe \\(x=1, x=-\\tfrac{1}{2}\\). Dla \\(P(x) = W(x)\\cdot Q(x)\\) muszą też zerować \\(P(x)\\):\n\\[P(1) = -2+3-1 = 0 ✓, \\quad P(-\\tfrac{1}{2}) = -2\\cdot (-\\tfrac{1}{8}) + 3\\cdot \\tfrac{1}{4} - 1 = \\tfrac{1}{4}+\\tfrac{3}{4}-1 = 0 ✓.\\]\nDzielimy \\(P(x)\\) przez \\((x-1)\\): \\((-2x^{3}+3x^{2}-1):(x-1) = -2x^{2}+x+1\\). Stąd \\(P(x) = (x-1)(-2x^{2}+x+1) = (x-1)\\cdot (-1)\\cdot (2x^{2}-x-1) = (-x+1)(2x^{2}-x-1)\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(W(x)\\cdot Q(x)\\) w postaci rozwiniętej \\(2ax^{3}+(2b-a)x^{2}-(a+b)x-b\\) LUB podzielenie \\(P(x)\\) przez \\((x-1)\\) albo przez \\(Q(x)\\) bez końcowego wyniku.\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(a=-1, b=1\\) lub zapisanie \\(W(x) = -x+1\\).\n\n**Trik:** Dwie metody: porównywanie współczynników (algebra liniowa) albo dzielenie (praktyczne gdy stopień dzielnika wysoki).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) zbiór wartości funkcji f,
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.
Odpowiedź:
Nr zadania
24.
25.
26.
Maks. liczba pkt
2
2
2
Wypełnia
egzaminator Uzyskana liczba pkt
y
x
0
1
2
3
4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
-5
4
5
6
7
8
9

\n

Poziom podstawowy
12
Matura podstawowa z matematyki 2011. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji:
2, 3
Zapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca:
2,2
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• zapisze zbiór wartości funkcji f :
2, 3
i na tym poprzestanie
albo
• zapisze zbiór wartości funkcji f :
2, 3
i błędnie zapisze przedział maksymalnej
długości, w którym ta funkcja jest malejąca
albo
• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:
2, 2
i na tym poprzestanie
albo
• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np.:
2, 2
i błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f .
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze zbiór wartości funkcji f :
2, 3
oraz przedział maksymalnej długości,
w którym funkcja f jest malejąca:
2, 2
Uwagi

\n
  1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
\n

w postaci 2
2
x
-≤
≤
lub
2,2 ,
∈-
x
lub
)
2,2 ,
∈-
x
lub
( 2,2 ,
∈-
x
lub
(
)
2,2
x ∈-

\n
  1. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci 2
\n

3 lub
2,3 .
y
x
-≤
≤
∈-

\n
  1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,
\n

w postaci
2,0
0,2
∪

\n
  1. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym
\n

funkcja f jest malejąca, w postaci {
}
2,2
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz
maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje
Kryteria oceniania odpowiedzi
12
Zadania 27. (0-2)
I sposób rozwiązania
Liczby ,
, 19
x y
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd 2
19
y
x
Zapisujemy więc układ równań
2
19
8
y
x
x
y
⎧
⎨+
⎩
którego rozwiązaniem jest
1
x = - i
9
y =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np. 2
19
y
x
i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy:
1
x
i
9
y
Uwaga
Zdający może jako rozwiązanie podać ciąg (
)
1, 9, 19
i wtedy również otrzymuje 2 punkty.
II sposób rozwiązania
Liczby ,
, 19
x y
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Niech r będzie różnicą tego
ciągu i
1
x
a
,
2
1
y
a
a
r

\n\n

3
1
19
2
a
a
r
Otrzymujemy układ równań
1
1
1
8
2
19
a
a
r
a
r
⎧
⎨
⎩
Rozwiązaniem tego układu jest
1
1
a = -,
10
r =
. Stąd:
1
1
x
a
= -,
2
9
y
a
Uwaga
Możemy również otrzymać następujące układy równań:
1
1
1
2
8
19
2
a
r
a
a
r
⎧⎪⎨
⎪⎩
lub 19
2
8
y
x
r
x
r
x
y
⎧
⎪
⎨
⎪+
⎩
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia
1
x
a
,
2
1
y
a
a
r

\n\n

1
2
19
a
r
i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy:
1
x
i
9
y
Modelowanie matematyczne
Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
lub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów
tego ciągu
Kryteria oceniania odpowiedzi
13
III sposób rozwiązania
Wprowadzamy oznaczenia
1
x
a
,
2
y
a
,
3
19
a
Obliczamy:
3
19
8 19
27
S
x
y
Korzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
otrzymujemy
1
19 3
27
2
a +
⋅=
Stąd
1
1
a = -, zatem
1
x = -,
9
y =
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wprowadzi oznaczenia
1
x
a
,
2
y
a
,
3
19
a
i zapisze równanie
1
3 3
27
2
a
a
⋅=
i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy:
1
x
i
9
y
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze
1
x
i
9
y
bez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne
rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)

\n

Czyli \\(W(x) = -x + 1\\).

\n

Sposób 1 - Porównanie współczynników

\n

Mnożymy \\(W(x) \\cdot Q(x)\\) i przyrównujemy do \\(P(x)\\).

\n

\\[(ax + b)(2x^2 - x - 1)\\]

\n

Rozwijamy:
\\[= 2ax^3 - ax^2 - ax + 2bx^2 - bx - b\\]
\\[= 2ax^3 + (-a + 2b)x^2 + (-a - b)x - b\\]

\n

Natomiast \\(P(x) = -2x^3 + 3x^2 + 0 \\cdot x - 1\\).

\n

Przyrównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:

\n

| Potęga | Równanie | Wynik |
| \\(x^3\\) | \\(2a = -2\\) | \\(a = -1\\) |
| \\(x^2\\) | \\(-a + 2b = 3\\) | \\(1 + 2b = 3 \\Rightarrow b = 1\\) |
| \\(x^1\\) | \\(-a - b = 0\\) | \\(1 - 1 = 0\\) ✓ |
| \\(x^0\\) | \\(-b = -1\\) | \\(b = 1\\) ✓ |

\n

Warunki ze wszystkich czterech współczynników są zgodne, więc \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).

\n

Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (algorytm Hornera / dzielenie pisemne)

\n

Jeśli \\(P(x) = W(x) \\cdot Q(x)\\), to \\(W(x) = \\dfrac{P(x)}{Q(x)}\\). Wykonujemy dzielenie \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\):

\n

\\[\\frac{-2x^3 + 3x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}\\]

\n

Krok 1. Dzielimy wiodący wyraz:
\\[\\frac{-2x^3}{2x^2} = -x\\]

\n

Odejmujemy \\((-x) \\cdot (2x^2 - x - 1) = -2x^3 + x^2 + x\\):
\\[(-2x^3 + 3x^2 + 0x - 1) - (-2x^3 + x^2 + x) = 2x^2 - x - 1\\]

\n

Krok 2. Dzielimy wiodący wyraz reszty:
\\[\\frac{2x^2}{2x^2} = +1\\]

\n

Odejmujemy \\((+1) \\cdot (2x^2 - x - 1) = 2x^2 - x - 1\\):
\\[(2x^2 - x - 1) - (2x^2 - x - 1) = 0\\]

\n

Reszta = 0, więc dzielenie jest dokładne:
\\[W(x) = -x + 1\\]

\n

Stąd \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość mnożenia wielomianów i porównywania współczynników (algebry podstawowej).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((ax+b)(2x^2-x-1)\\) łatwo zapomnieć o jednym z sześciu składników iloczynu - rób to metodycznie, mnożąc każdy wyraz z każdym.
\n
⚠️ Uwaga: Masz cztery równania (przy \\(x^3, x^2, x^1, x^0\\)) i tylko dwie niewiadome (\\(a, b\\)). Musisz sprawdzić, czy układ jest niesprzeczny - jeśli współczynniki przy \\(x^1\\) i \\(x^0\\) nie pasują do wyznaczonych \\(a, b\\), zadanie nie miałoby rozwiązania. Tu na szczęście wszystko się zgadza.
\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl kolejności - \\(W(x) = ax + b\\), więc \\(a\\) to współczynnik przy \\(x\\), a \\(b\\) to wyraz wolny. Pośpiech przy odczytaniu powoduje zamianę tych wartości.
\n

Odpowiedź: \\(a = -1, b = 1\\), czyli \\(W(x) = -x + 1\\).

\n
Sposób 1 - Mnożenie i porównanie współczynników
\n

\\[W(x)\\cdot Q(x) = (ax+b)(2x^{2}-x-1) = 2ax^{3}-ax^{2}-ax + 2bx^{2}-bx-b\\]
\\[= 2ax^{3} + (2b-a)x^{2} - (a+b)x - b.\\]

\n

Porównanie z \\(P(x) = -2x^{3} + 3x^{2} + 0\\cdot x - 1\\):
\\[\\begin{cases} 2a = -2 \\\\ 2b - a = 3 \\\\ -(a+b) = 0 \\\\ -b = -1 \\end{cases}\\]
Z pierwszego: \\(a = -1\\). Z ostatniego: \\(b = 1\\). Sprawdzenie pozostałych: \\(2\\cdot 1 - (-1) = 3\\) ✓, \\(-(-1+1)=0\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Dzielenie wielomianu \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\)
\n

Wykonujemy dzielenie:
\\[(-2x^{3}+3x^{2}-1):(2x^{2}-x-1).\\]

\n\n

Iloraz: \\(-x+1\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\), czyli \\(a=-1, b=1\\).

\n
Sposób 3 - Miejsca zerowe \\(Q(x)\\)
\n

\\(Q(x) = 2x^{2}-x-1 = (2x+1)(x-1)\\), miejsca zerowe \\(x=1, x=-\\tfrac{1}{2}\\). Dla \\(P(x) = W(x)\\cdot Q(x)\\) muszą też zerować \\(P(x)\\):
\\[P(1) = -2+3-1 = 0 ✓, \\quad P(-\\tfrac{1}{2}) = -2\\cdot (-\\tfrac{1}{8}) + 3\\cdot \\tfrac{1}{4} - 1 = \\tfrac{1}{4}+\\tfrac{3}{4}-1 = 0 ✓.\\]
Dzielimy \\(P(x)\\) przez \\((x-1)\\): \\((-2x^{3}+3x^{2}-1):(x-1) = -2x^{2}+x+1\\). Stąd \\(P(x) = (x-1)(-2x^{2}+x+1) = (x-1)\\cdot (-1)\\cdot (2x^{2}-x-1) = (-x+1)(2x^{2}-x-1)\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Dwie metody: porównywanie współczynników (algebra liniowa) albo dzielenie (praktyczne gdy stopień dzielnika wysoki).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Zbiór wartości: $\\langle -2, 3 \\rangle$, przedział malejący: $\\langle -2, 2 \\rangle$

"}]}