{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nLiczby\n,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym\n8\nx\ny\nOblicz x i y.\nOdpowiedź:\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie poniżej\n\nZadanie otwarte - należy udowodnić podzielność wyrażenia przez \\(10\\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \\(n\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (wyłączenie przed nawias)\n\n**Cel:** Upraszczamy wyrażenie tak, żeby dosłownie zobaczyć czynnik \\(10\\).\n\nKorzystamy z prawa potęg: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2 = 9 \\cdot 3^n\\) i \\(2^{n+2} = 4 \\cdot 2^n\\):\n\n\\[\n3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 9 \\cdot 3^n - 4 \\cdot 2^n + 3^n - 2^n\n\\]\n\nGrupujemy wyrazy z \\(3^n\\) i \\(2^n\\):\n\n\\[\n= (9+1) \\cdot 3^n - (4+1) \\cdot 2^n = 10 \\cdot 3^n - 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nWyłączamy \\(5\\) przed nawias:\n\n\\[\n= 5\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)\n\\]\n\nTeraz pokazujemy, że czynnik \\(\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)\\) jest **parzysty** (dla \\(n \\geq 1\\)):\n\n\\[\n2 \\cdot 3^n - 2^n = 2 \\cdot 3^n - 2 \\cdot 2^{n-1} = 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)\n\\]\n\n(możemy tak napisać, bo dla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(n-1 \\geq 0\\), więc \\(2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą)\n\nZatem całe wyrażenie wynosi:\n\n\\[\n5 \\cdot 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr) = \\mathbf{10\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)}\n\\]\n\nPonieważ \\(3^n\\) i \\(2^{n-1}\\) są całkowite dla każdego \\(n \\geq 1\\), wyrażenie \\(3^n - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą - nazwijmy ją \\(k\\). Stąd:\n\n\\[\n3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k \\qquad \\square\n\\]\n\n**Wyrażenie jest wielokrotnością \\(10\\).**\n\n## Sposób 2 - Indukcja matematyczna\n\n**Krok 1 (Baza indukcji, \\(n=1\\)):**\n\n\\[\n3^{3} - 2^{3} + 3^1 - 2^1 = 27 - 8 + 3 - 2 = 20 = 10 \\cdot 2 \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2 (Założenie indukcyjne):**\n\nZakładamy, że dla pewnego \\(n \\geq 1\\) zachodzi:\n\\[\nW(n) = 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k\n\\]\ndla pewnej liczby całkowitej \\(k\\).\n\n**Krok 3 (Teza indukcyjna - pokazujemy dla \\(n+1\\)):**\n\nChcemy udowodnić, że \\(W(n+1) = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}\\) jest podzielne przez \\(10\\).\n\nWyznaczamy \\(3 \\cdot W(n)\\):\n\n\\[\n3 \\cdot W(n) = 3^{n+3} - 3 \\cdot 2^{n+2} + 3^{n+1} - 3 \\cdot 2^n\n\\]\n\nObliczamy różnicę \\(W(n+1) - 3 \\cdot W(n)\\):\n\n\\[\nW(n+1) - 3 \\cdot W(n) = \\bigl(-2^{n+3} + 3\\cdot 2^{n+2} - 2^{n+1} + 3\\cdot 2^n\\bigr)\n\\]\n\n\\[\n= 2^n\\bigl(-8 + 12 - 2 + 3\\bigr) = 2^n \\cdot 5 = 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\nW(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n = 3 \\cdot 10k + 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nDla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\), więc:\n\n\\[\nW(n+1) = 30k + 10 \\cdot 2^{n-1} = 10\\bigl(3k + 2^{n-1}\\bigr)\n\\]\n\nJest to wielokrotność \\(10\\). Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie zachodzi dla każdego \\(n \\geq 1\\). \\(\\square\\)\n\n**Weryfikacja dla \\(n = 2\\) i \\(n = 3\\):**\n\n\\[\nn=2:\\quad 3^4 - 2^4 + 3^2 - 2^2 = 81 - 16 + 9 - 4 = 70 = 10 \\cdot 7 \\checkmark\n\\]\n\\[\nn=3:\\quad 3^5 - 2^5 + 3^3 - 2^3 = 243 - 32 + 27 - 8 = 230 = 10 \\cdot 23 \\checkmark\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[a^{m+n} = a^m \\cdot a^n\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2\\), \\(2^{n+2} = 2^n \\cdot 2^2\\) - bez tego nie dałoby się wyłączyć \\(3^n\\) i \\(2^n\\) przed nawias.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych konkretnych wzorów z karty - cała trudność leży w sprytnym pogrupowaniu, a nie we wzorach.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba grupowania \\((3^{n+2} - 2^{n+2}) + (3^n - 2^n)\\) i szukanie wzoru skróconego mnożenia. Takie podejście nie prowadzi wprost do czynnika \\(10\\) - dużo sprytniej jest od razu rozpisać potęgi jako \\(9 \\cdot 3^n\\) i \\(4 \\cdot 2^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W indukcji błędem jest zakładanie, że \\(W(n+1) = 2 \\cdot W(n)\\) lub podobna prosta zależność - związek między \\(W(n+1)\\) a \\(W(n)\\) trzeba **wyliczyć**, nie zgadywać. Pokaż jawnie, że \\(W(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\) pamiętaj, że to działa tylko dla \\(n \\geq 1\\) (bo wtedy \\(n-1 \\geq 0\\)). Zadanie mówi o dodatnich liczbach całkowitych - warunek jest spełniony!\n\n**Odpowiedź:** Dowód poniżej; liczba jest wielokrotnością \\(10\\).\n\n### Sposób 1 - Grupowanie i wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n} = 9\\cdot 3^{n} - 4\\cdot 2^{n} + 3^{n} - 2^{n}\\]\n\\[= 3^{n}(9+1) - 2^{n}(4+1) = 10\\cdot 3^{n} - 5\\cdot 2^{n}.\\]\nPonieważ \\(2^{n} = 2\\cdot 2^{n-1}\\), to \\(5\\cdot 2^{n} = 10\\cdot 2^{n-1}\\). Zatem:\n\\[10\\cdot 3^{n} - 10\\cdot 2^{n-1} = 10(3^{n} - 2^{n-1}).\\]\nDla każdego \\(n\\ge 1\\), \\(3^{n} - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą, więc wyrażenie dzieli się przez \\(10\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie kilku wartości (uzasadnienie nieformalne)\n- \\(n=1\\): \\(3^{3}-2^{3}+3^{1}-2^{1} = 27-8+3-2 = 20 = 10\\cdot 2\\) ✓.\n- \\(n=2\\): \\(3^{4}-2^{4}+3^{2}-2^{2} = 81-16+9-4 = 70 = 10\\cdot 7\\) ✓.\n- \\(n=3\\): \\(3^{5}-2^{5}+3^{3}-2^{3} = 243-32+27-8 = 230 = 10\\cdot 23\\) ✓.\n\nFormalne uzasadnienie: patrz Sposób 1.\n\n### Sposób 3 - Indukcja\nDla \\(n=1\\): \\(20 = 10\\cdot 2\\) ✓. Przy założeniu, że teza zachodzi dla \\(n=k\\) (\\(3^{k+2}-2^{k+2}+3^{k}-2^{k}=10m\\)), pokazujemy dla \\(n=k+1\\). Sprowadzając do \\(10\\cdot 3^{n}-5\\cdot 2^{n}\\) mamy dowód bezpośredni - indukcja nie jest konieczna.\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Sprowadzenie do \\(10\\cdot 3^{n} - 5\\cdot 2^{n}\\) bez dalszego uzasadnienia.\n- **2 pkt:** Pełne rozumowanie - np. przekształcenie do \\(10(3^{n}-2^{n-1})\\) i stwierdzenie, że \\(3^{n}-2^{n-1}\\) jest całkowite.\n\n**Trik:** Potęgi tej samej podstawy o różnych wykładnikach: wyłącz najmniejszą potęgę, zostaje sumka z mnożnikami.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Liczby
,
, 19
x y
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym
8
x
y
Oblicz x i y.
Odpowiedź:
Matura podstawowa z matematyki 2011. Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: uzasadnienie poniżej

\n

Zadanie otwarte - należy udowodnić podzielność wyrażenia przez \\(10\\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \\(n\\).

\n

Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (wyłączenie przed nawias)

\n

Cel: Upraszczamy wyrażenie tak, żeby dosłownie zobaczyć czynnik \\(10\\).

\n

Korzystamy z prawa potęg: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2 = 9 \\cdot 3^n\\) i \\(2^{n+2} = 4 \\cdot 2^n\\):

\n

\\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 9 \\cdot 3^n - 4 \\cdot 2^n + 3^n - 2^n
\\]

\n

Grupujemy wyrazy z \\(3^n\\) i \\(2^n\\):

\n

\\[
= (9+1) \\cdot 3^n - (4+1) \\cdot 2^n = 10 \\cdot 3^n - 5 \\cdot 2^n
\\]

\n

Wyłączamy \\(5\\) przed nawias:

\n

\\[
= 5\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)
\\]

\n

Teraz pokazujemy, że czynnik \\(\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)\\) jest parzysty (dla \\(n \\geq 1\\)):

\n

\\[
2 \\cdot 3^n - 2^n = 2 \\cdot 3^n - 2 \\cdot 2^{n-1} = 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)
\\]

\n

(możemy tak napisać, bo dla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(n-1 \\geq 0\\), więc \\(2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą)

\n

Zatem całe wyrażenie wynosi:

\n

\\[
5 \\cdot 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr) = \\mathbf{10\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)}
\\]

\n

Ponieważ \\(3^n\\) i \\(2^{n-1}\\) są całkowite dla każdego \\(n \\geq 1\\), wyrażenie \\(3^n - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą - nazwijmy ją \\(k\\). Stąd:

\n

\\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k \\qquad \\square
\\]

\n

Wyrażenie jest wielokrotnością \\(10\\).

\n

Sposób 2 - Indukcja matematyczna

\n

Krok 1 (Baza indukcji, \\(n=1\\)):

\n

\\[
3^{3} - 2^{3} + 3^1 - 2^1 = 27 - 8 + 3 - 2 = 20 = 10 \\cdot 2 \\checkmark
\\]

\n

Krok 2 (Założenie indukcyjne):

\n

Zakładamy, że dla pewnego \\(n \\geq 1\\) zachodzi:
\\[
W(n) = 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k
\\]
dla pewnej liczby całkowitej \\(k\\).

\n

Krok 3 (Teza indukcyjna - pokazujemy dla \\(n+1\\)):

\n

Chcemy udowodnić, że \\(W(n+1) = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}\\) jest podzielne przez \\(10\\).

\n

Wyznaczamy \\(3 \\cdot W(n)\\):

\n

\\[
3 \\cdot W(n) = 3^{n+3} - 3 \\cdot 2^{n+2} + 3^{n+1} - 3 \\cdot 2^n
\\]

\n

Obliczamy różnicę \\(W(n+1) - 3 \\cdot W(n)\\):

\n

\\[
W(n+1) - 3 \\cdot W(n) = \\bigl(-2^{n+3} + 3\\cdot 2^{n+2} - 2^{n+1} + 3\\cdot 2^n\\bigr)
\\]

\n

\\[
= 2^n\\bigl(-8 + 12 - 2 + 3\\bigr) = 2^n \\cdot 5 = 5 \\cdot 2^n
\\]

\n

Zatem:

\n

\\[
W(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n = 3 \\cdot 10k + 5 \\cdot 2^n
\\]

\n

Dla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\), więc:

\n

\\[
W(n+1) = 30k + 10 \\cdot 2^{n-1} = 10\\bigl(3k + 2^{n-1}\\bigr)
\\]

\n

Jest to wielokrotność \\(10\\). Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie zachodzi dla każdego \\(n \\geq 1\\). \\(\\square\\)

\n

Weryfikacja dla \\(n = 2\\) i \\(n = 3\\):

\n

\\[
n=2:\\quad 3^4 - 2^4 + 3^2 - 2^2 = 81 - 16 + 9 - 4 = 70 = 10 \\cdot 7 \\checkmark
\\]
\\[
n=3:\\quad 3^5 - 2^5 + 3^3 - 2^3 = 243 - 32 + 27 - 8 = 230 = 10 \\cdot 23 \\checkmark
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własność:
\\[a^{m+n} = a^m \\cdot a^n\\]
Użyliśmy w Sposobie 1: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2\\), \\(2^{n+2} = 2^n \\cdot 2^2\\) - bez tego nie dałoby się wyłączyć \\(3^n\\) i \\(2^n\\) przed nawias.

\n

W tym zadaniu nie używamy innych konkretnych wzorów z karty - cała trudność leży w sprytnym pogrupowaniu, a nie we wzorach.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to próba grupowania \\((3^{n+2} - 2^{n+2}) + (3^n - 2^n)\\) i szukanie wzoru skróconego mnożenia. Takie podejście nie prowadzi wprost do czynnika \\(10\\) - dużo sprytniej jest od razu rozpisać potęgi jako \\(9 \\cdot 3^n\\) i \\(4 \\cdot 2^n\\).
\n
⚠️ Uwaga: W indukcji błędem jest zakładanie, że \\(W(n+1) = 2 \\cdot W(n)\\) lub podobna prosta zależność - związek między \\(W(n+1)\\) a \\(W(n)\\) trzeba wyliczyć, nie zgadywać. Pokaż jawnie, że \\(W(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyłączaniu \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\) pamiętaj, że to działa tylko dla \\(n \\geq 1\\) (bo wtedy \\(n-1 \\geq 0\\)). Zadanie mówi o dodatnich liczbach całkowitych - warunek jest spełniony!
\n

Odpowiedź: Dowód poniżej; liczba jest wielokrotnością \\(10\\).

\n
Sposób 1 - Grupowanie i wyłączenie wspólnego czynnika
\n

\\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n} = 9\\cdot 3^{n} - 4\\cdot 2^{n} + 3^{n} - 2^{n}\\]
\\[= 3^{n}(9+1) - 2^{n}(4+1) = 10\\cdot 3^{n} - 5\\cdot 2^{n}.\\]
Ponieważ \\(2^{n} = 2\\cdot 2^{n-1}\\), to \\(5\\cdot 2^{n} = 10\\cdot 2^{n-1}\\). Zatem:
\\[10\\cdot 3^{n} - 10\\cdot 2^{n-1} = 10(3^{n} - 2^{n-1}).\\]
Dla każdego \\(n\\ge 1\\), \\(3^{n} - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą, więc wyrażenie dzieli się przez \\(10\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie kilku wartości (uzasadnienie nieformalne)
\n\n

Formalne uzasadnienie: patrz Sposób 1.

\n
Sposób 3 - Indukcja
\n

Dla \\(n=1\\): \\(20 = 10\\cdot 2\\) ✓. Przy założeniu, że teza zachodzi dla \\(n=k\\) (\\(3^{k+2}-2^{k+2}+3^{k}-2^{k}=10m\\)), pokazujemy dla \\(n=k+1\\). Sprowadzając do \\(10\\cdot 3^{n}-5\\cdot 2^{n}\\) mamy dowód bezpośredni - indukcja nie jest konieczna.

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Potęgi tej samej podstawy o różnych wykładnikach: wyłącz najmniejszą potęgę, zostaje sumka z mnożnikami.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x=-1$, $y=9$

"}]}