{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia\nα\nα cos\nsin\n⋅\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry {sin alfa / cos alfa} + {cos alfa / sin alfa} = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nSprowadzamy wyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo wspólnego mianownika i otrzymujemy\n2\n2\nsin\ncos\n2\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nKorzystając\nz\ntożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= ,\notrzymujemy\n1\n2\nsin\ncos\nα\nα =\n, a stąd\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• sprowadzi wyrażenie\nsin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo wspólnego mianownika i na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nalbo\n• doprowadzi wyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo postaci\n2\n2\nsin\ncos\n2sin\ncos\nα\nα\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUżycie i tworzenie strategii\nZastosowanie prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a\nc lub cos\nα = b\nc\na\nb\nc\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:\n2\n2\n2\nc\na\nb\nPonieważ sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n, więc\n2\na\nb\nb\na\n, czyli\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅\n. Stąd\n2\n2\nc\na b =\n⋅\nPonieważ\n2\nsin\ncos\nα\nα\n⋅\n= a b\nc\n, to\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nIII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a\nc lub cos\nα = b\nc\na\nb\nc\nPonieważ sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n, więc otrzymujemy kolejno:\n2\na\nb\nb\na\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n,\nstąd (\n)\n2\n0\na\nb\n, więc a\nb\n. Zatem α\n45\n4\nπ\n° =\nWtedy\n2\nsin\nsin 45\n2\nα =\n° =\ni\n2\ncos\ncos45\n2\nα =\n° =\nObliczamy\n2\n2\n1\nsin\ncos\n2\n2\n2\nα\nα =\n⋅\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15\nSchemat oceniania II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie\nkąt α i zapisze:\nsinα = a\nc , cosα = b\nc i\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nsinα = a\nc , cosα = b\nc i\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅ i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUwaga\nZdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych\ni obliczyć: sin45\ncos45\n0,7071 0,7071\n0,4999\n0,5\n°⋅\n° ≈\n⋅\n≈\n≈\nNie akceptujemy innych przybliżeń.\nIV sposób rozwiązania\nWyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\nzapisujemy w postaci\n1\ntg\n2\ntg\nα\nα\nStąd\n2\ntg\n2tg\n1\n0\nα\nα\nZatem tg\n1\nα = i stąd\n45\nα =\n°. Obliczamy wartość wyrażenia,\n2\n2\n1\nsin 45\ncos45\n2\n2\n2\n°⋅\n° =\n⋅\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie\n1\ntg\n2\ntg\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nV sposób rozwiązania\nZauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba\njest równa 1. Zatem\nsin\ntg\n1\ncos\nα\nα\nα\n= i stąd\n45\nα =\n°, a więc\n2\n2\n1\nsin 45\ncos45\n2\n2\n2\n°⋅\n° =\n⋅\nKryteria oceniania odpowiedzi\n16\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba\njest równa 1, zapisze tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUwaga\nJeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia:\n• tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = lub\n45\nα =\n° i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nto otrzymuje 0 punktów.\n• tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = lub\n45\nα =\n° i poprawnie obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\n, to otrzymuje\n1 punkt.\nZadania 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\nPonieważ\ntrójkąt\nDCE\njest\nrównoramienny\ni\nEC\nCD\n,\nto\nEDC\nCED\nα\n)\n)\n. Zatem\n180\n2α\n°-\n)DCE\nPodobnie,\nponieważ\ntrójkąt\nABE\njest\nrównoramienny\ni\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\n,\nto\n180\n2β\n°-\n)ABE\nKąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i\n180\nDCE\nABE\n°\n)\n)\nStąd 180\n2\n180\n2\n180\nα\nβ\n°-\n°-\n°, czyli\n2\n2\n180\nα\nβ\n°\n90\nα\nβ\n°.\nZatem\n(\n)\n180\n180\n180\n90\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n° -\n°-\n°\n)\n)\n)\nAED\nCED\nAEB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,\nnp.\n180\n2α\n° -\n)DCE\ni\n180\n2β\n°-\n)ABE\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\nRozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty\nKryteria oceniania odpowiedzi\n17\nII sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\ni\nAEB\nβ\n)\nTrójkąty\nDCE\ni\nABE\nsą\nrównoramienne.\nZatem\nEDC\nCED\nα\n)\n)\noraz\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\nDorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD.\nKąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem\nEDC\nDEF\nα\n)\n)\nAnalogicznie\nEAB\nAEF\nβ\n)\n)\nZatem\n180\n2\n2\nα\nβ\n° =\n)BEC\n, więc\n90\nα\nβ\n°.\nStąd\n90\n°\n)AED\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy\ndo podstaw trapezu ABCD i zapisze, że\nEDC\nDEF\nα\n)\n)\ni\nEAB\nAEF\nβ\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\n(uzasadnienie równości kątów może być\nprzedstawione na rysunku).\nB\nE\nC\nD\nF\nβ\nA\nα\nα\nβ\nα\nβ\nKryteria oceniania odpowiedzi\n18\nIII sposób rozwiązania\nNiech\nABC\nα\n)\n, stąd\n180\nα\n°-\n)BCD\nPonieważ CE\nCD\ni EB\nBA\n, więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne.\nZatem\n180\n90\n2\n2\nα\nα\n°-\n°-\n)\n)\nAEB\nEAB\noraz\n2\nEDC\nCED\nα\n)\n)\nDorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc\nzachodzi równość:\n2\nEDC\nCED\nDEF\nα\n)\n)\n)\ni\n90\n2\nα\n°-\n)\n)\n)\nAEB\nEAB\nAEF\nStąd otrzymujemy\n90\n90\n2\n2\nAED\nAEF\nDEF\nα\nα\n°-\n°\n)\n)\n)\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że\nABC\nα\n)\n,\ndorysuje odcinek\nEF\nrównoległy\ndo\npodstaw\ntrapezu\nABCD\ni\nzapisze,\nże\n180\n2\nα\n°-\n)\n)\n)\nAEB\nEAB\nAEF\ni\n2\nEDC\nCED\nDEF\nα\n)\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\n(uzasadnienie równości kątów może być\nprzedstawione na rysunku).\nB\nE\nC\nD\nF\nA\nα\n180 α\n°-\n2\nα\n2\nα\n90\n2\nα\n°-\n90\n2\nα\n°-\n2\nα\n90\n2\nα\n°-\nKryteria oceniania odpowiedzi\n19\nIV sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\nPonieważ\ntrójkąt\nDCE\njest\nrównoramienny\ni\nEC\nCD\n,\nto\nEDC\nCED\nα\n)\n)\nPodobnie,\nponieważ\ntrójkąt\nABE\njest\nrównoramienny,\nto\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\nKąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i\n180\nADC\nBAD\n°\n)\n)\nStąd\n(\n)\n180\nADE\nEAD\nα\nβ\n° -\n)\n)\nZatem w trójkącie DAE mamy:\n(\n)\n180\n180\nAED\nα\nβ\nα\nβ\n° -\n° -\n⎡\n⎤\n⎣\n⎦\n)\nStąd\n180\n2\n2\nBEC\nDEC\nAED\nAEB\nα\nβ\n° =\n)\n)\n)\n)\n, czyli\n90\nα\nβ\n°.\nZatem\n90\n°\n)AED\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,\nnp.\nEDC\nCED\nα\n)\n)\noraz\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\ni zapisze, że\n180\nADC\nBAD\n°\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\nUwaga\nJeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko\nszczególny przypadek, np.\n90\n°\n)ABC\nlub\n45\n°\n)DEC\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\nB\nE\nC\nD\nβ\nA\nα\nα\nβ\nKryteria oceniania odpowiedzi\n20","solution":"## Poprawna odpowiedź: mediana = 3, średnia arytmetyczna = 3,25\n\n## Sposób 1 - wypisanie wszystkich danych i bezpośrednie liczenie\n\n**Krok 1 - ustalamy dane z tabeli:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów |\n| 6 | 1 |\n| 5 | 2 |\n| 4 | 6 |\n| 3 | 5 |\n| 2 | 4 |\n| 1 | 2 |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 1 + 2 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\\]\n\n**Krok 2 - mediana**\n\nPonieważ \\(n = 20\\) (liczba parzysta), mediana to **średnia arytmetyczna 10. i 11. wyrazu** po uszeregowaniu od najmniejszego do największego.\n\nUstawmy wyniki rosnąco i policzmy pozycje:\n\n| Ocena | Uczniowie | Pozycje (od-do) |\n| 1 | 2 | 1-2 |\n| 2 | 4 | 3-6 |\n| 3 | 5 | 7-11 |\n| 4 | 6 | 12-17 |\n| 5 | 2 | 18-19 |\n| 6 | 1 | 20 |\n\nZarówno **10. jak i 11. wyraz to ocena 3** (mieszczą się w pozycjach 7-11).\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3\\]\n\n**Krok 3 - średnia arytmetyczna**\n\nSumujemy iloczyny (ocena × liczba uczniów z daną oceną):\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{6 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 4 \\cdot 6 + 3 \\cdot 5 + 2 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2}{20}\\]\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{6 + 10 + 24 + 15 + 8 + 2}{20} = \\frac{65}{20} = 3{,}25\\]\n\n**Mediana wynosi \\(3\\), średnia arytmetyczna wynosi \\(3{,}25\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez skumulowane częstości (i kontrola sumy)\n\n**Weryfikacja mediany - skumulowane liczebności:**\n\nZliczamy uczniów od lewej (od najniższej oceny):\n\n\\[2 \\to 6 \\to 11 \\to 17 \\to 19 \\to 20\\]\n\nPo doliczeniu uczniów z oceną 3 skumulowana liczebność osiąga **11** (czyli przekracza \\(\\frac{n}{2} = 10\\)). Oznacza to, że i 10., i 11. wyraz należą do grupy z oceną 3.\n\n\\[\\text{mediana} = 3 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja średniej - kontrola sumy:**\n\nMożemy sprawdzić sumę inaczej: gdyby wszyscy 20 uczniów dostało ocenę 3, suma byłaby \\(20 \\cdot 3 = 60\\). Teraz patrzymy na odchylenia od oceny 3:\n\n\\[\\Delta = (+3)\\cdot1 + (+2)\\cdot2 + (+1)\\cdot6 + (0)\\cdot5 + (-1)\\cdot4 + (-2)\\cdot2\\]\n\\[\\Delta = 3 + 4 + 6 + 0 - 4 - 4 = 5\\]\n\n\\[\\bar{a} = 3 + \\frac{5}{20} = 3 + 0{,}25 = 3{,}25 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> Średnia arytmetyczna (ważona):\n> \\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n> Użyliśmy tego wzoru, gdzie \\(a_i\\) = ocena, \\(w_i\\) = liczba uczniów z tą oceną.\n\n> Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (parzyste \\(n\\)).\n> Tu \\(n = 20\\) (parzyste), więc mediana = średnia 10. i 11. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie uczniów mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie wystarczy znaleźć tylko 10. elementu! Uczniowie często biorą tylko jeden środkowy wyraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej ze zgrupowanych danych musisz mnożyć każdą ocenę przez **liczbę uczniów**, którzy ją dostali - nie wystarczy uśrednić samych ocen \\(\\frac{6+5+4+3+2+1}{6} = 3{,}5\\), co byłoby błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że mediana i średnia mogą być różne (tu: 3 i 3,25) - to normalne! Mediana jest odporna na skrajne wyniki, średnia - nie.\n\n**Odpowiedź:** Średnia \\(\\bar{x} = 3{,}25\\); mediana \\(\\text{Me} = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nLiczba uczniów: \\(N = 1+2+6+5+4+2 = 20\\). Suma ocen:\n\\[\\sum = 6\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 4\\cdot 6 + 3\\cdot 5 + 2\\cdot 4 + 1\\cdot 2 = 6+10+24+15+8+2 = 65.\\]\nŚrednia:\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{65}{20} = 3{,}25.\\]\n\n**Mediana.** Dla \\(N=20\\) (parzyste) mediana to średnia \\(10\\)-tej i \\(11\\)-tej obserwacji po uporządkowaniu rosnąco.\n\nPorządkujemy (np. niemalejąco) i liczymy pozycje:\n- \\(1\\) (x2): pozycje 1-2.\n- \\(2\\) (x4): pozycje 3-6.\n- \\(3\\) (x5): pozycje 7-11.\n- \\(4\\) (x6): pozycje 12-17.\n- \\(5\\) (x2): pozycje 18-19.\n- \\(6\\) (x1): pozycja 20.\n\nPozycje 10 i 11: obie \\(=3\\). Zatem \\(\\text{Me} = \\tfrac{3+3}{2} = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Tabela skumulowanych częstości\nBudujemy dystrybuantę i znajdujemy medianę: pierwsza pozycja spełniająca \\(F(x)\\ge N/2=10\\) to ocena \\(3\\) (\\(F(3)=11\\)). Dla parzystego \\(N\\) sprawdzamy obie wartości i bierzemy średnią - \\(Me = 3\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Poprawne obliczenie średniej \\(\\bar{x}=3{,}25\\) LUB mediany \\(\\text{Me}=3\\).\n- **2 pkt:** Poprawne obliczenie obu: \\(\\bar{x}=3{,}25\\) i \\(\\text{Me}=3\\).\n\n**Trik:** Średnia: suma ważona / łączna liczba. Mediana: środkowa pozycja po uporządkowaniu (dla parzystego \\(N\\) - średnia dwóch środkowych).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
. Oblicz wartość wyrażenia
α
α cos
sin
⋅
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
13
Matura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry {sin alfa / cos alfa} + {cos alfa / sin alfa} = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
I sposób rozwiązania
Sprowadzamy wyrażenie sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
do wspólnego mianownika i otrzymujemy
2
2
sin
cos
2
sin
cos
α
α
α
α
Korzystając
z
tożsamości
2
2
sin
cos
1
α
α
= ,
otrzymujemy
1
2
sin
cos
α
α =
, a stąd
1
sin
cos
2
α
α =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• sprowadzi wyrażenie
sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
do wspólnego mianownika i na tym
poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
albo
• doprowadzi wyrażenie sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
do postaci
2
2
sin
cos
2sin
cos
α
α
α
α
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy, że
1
sin
cos
2
α
α =
Użycie i tworzenie strategii
Zastosowanie prostych związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego
Kryteria oceniania odpowiedzi
14
II sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
zaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a
c lub cos
α = b
c
a
b
c
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:
2
2
2
c
a
b
Ponieważ sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
, więc
2
a
b
b
a
, czyli
2
2
2
a
b
a b
⋅
. Stąd
2
2
c
a b =
⋅
Ponieważ
2
sin
cos
α
α
⋅
= a b
c
, to
1
sin
cos
2
α
α =
III sposób rozwiązania
Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz
zaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a
c lub cos
α = b
c
a
b
c
Ponieważ sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
, więc otrzymujemy kolejno:
2
a
b
b
a
,
2
2
2
a
b
ab
,
2
2
2
a
b
ab
,
stąd (
)
2
0
a
b
, więc a
b
. Zatem α
45
4
π
° =
Wtedy
2
sin
sin 45
2
α =
° =
i
2
cos
cos45
2
α =
° =
Obliczamy
2
2
1
sin
cos
2
2
2
α
α =
⋅
Kryteria oceniania odpowiedzi
15
Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie
kąt α i zapisze:
sinα = a
c , cosα = b
c i
2
2
2
a
b
a b
⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
albo
sinα = a
c , cosα = b
c i
2
2
2
a
b
a b
⋅ i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy, że
1
sin
cos
2
α
α =
Uwaga
Zdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych
i obliczyć: sin45
cos45
0,7071 0,7071
0,4999
0,5
°⋅
° ≈
⋅
≈
≈
Nie akceptujemy innych przybliżeń.
IV sposób rozwiązania
Wyrażenie sin
cos
2
cos
sin
α
α
α
α
zapisujemy w postaci
1
tg
2
tg
α
α
Stąd
2
tg
2tg
1
0
α
α
Zatem tg
1
α = i stąd
45
α =
°. Obliczamy wartość wyrażenia,
2
2
1
sin 45
cos45
2
2
2
°⋅
° =
⋅
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze równanie
1
tg
2
tg
α
α
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy
1
sin
cos
2
α
α =
V sposób rozwiązania
Zauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
jest równa 1. Zatem
sin
tg
1
cos
α
α
α
= i stąd
45
α =
°, a więc
2
2
1
sin 45
cos45
2
2
2
°⋅
° =
⋅
Kryteria oceniania odpowiedzi
16
Schemat oceniania V sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba
jest równa 1, zapisze tg
1
α = lub sin
1
cos
α
α = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy
1
sin
cos
2
α
α =
Uwaga
Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia:
• tg
1
α = lub sin
1
cos
α
α = lub
45
α =
° i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,
to otrzymuje 0 punktów.
• tg
1
α = lub sin
1
cos
α
α = lub
45
α =
° i poprawnie obliczy
1
sin
cos
2
α
α =
, to otrzymuje
1 punkt.
Zadania 29. (0-2)
I sposób rozwiązania
Niech
CED
α
)
Ponieważ
trójkąt
DCE
jest
równoramienny
i
EC
CD
,
to
EDC
CED
α
)
)
. Zatem
180
2α
°-
)DCE
Podobnie,
ponieważ
trójkąt
ABE
jest
równoramienny
i
AEB
EAB
β
)
)
,
to
180
2β
°-
)ABE
Kąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i
180
DCE
ABE
°
)
)
Stąd 180
2
180
2
180
α
β
°-
°-
°, czyli
2
2
180
α
β
°
90
α
β
°.
Zatem
(
)
180
180
180
90
α
β
α
β
°-
° -
°-
°
)
)
)
AED
CED
AEB
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np.
180
2α
° -
)DCE
i
180
2β
°-
)ABE
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że
90
°
)AED
Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty
Kryteria oceniania odpowiedzi
17
II sposób rozwiązania
Niech
CED
α
)
i
AEB
β
)
Trójkąty
DCE
i
ABE
są
równoramienne.
Zatem
EDC
CED
α
)
)
oraz
AEB
EAB
β
)
)
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD.
Kąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem
EDC
DEF
α
)
)
Analogicznie
EAB
AEF
β
)
)
Zatem
180
2
2
α
β
° =
)BEC
, więc
90
α
β
°.
Stąd
90
°
)AED
, co kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy
do podstaw trapezu ABCD i zapisze, że
EDC
DEF
α
)
)
i
EAB
AEF
β
)
)
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że
90
°
)AED
(uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
B
E
C
D
F
β
A
α
α
β
α
β
Kryteria oceniania odpowiedzi
18
III sposób rozwiązania
Niech
ABC
α
)
, stąd
180
α
°-
)BCD
Ponieważ CE
CD
i EB
BA
, więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne.
Zatem
180
90
2
2
α
α
°-
°-
)
)
AEB
EAB
oraz
2
EDC
CED
α
)
)
Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc
zachodzi równość:
2
EDC
CED
DEF
α
)
)
)
i
90
2
α
°-
)
)
)
AEB
EAB
AEF
Stąd otrzymujemy
90
90
2
2
AED
AEF
DEF
α
α
°-
°
)
)
)
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że
ABC
α
)
,
dorysuje odcinek
EF
równoległy
do
podstaw
trapezu
ABCD
i
zapisze,
że
180
2
α
°-
)
)
)
AEB
EAB
AEF
i
2
EDC
CED
DEF
α
)
)
)
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że
90
°
)AED
(uzasadnienie równości kątów może być
przedstawione na rysunku).
B
E
C
D
F
A
α
180 α
°-
2
α
2
α
90
2
α
°-
90
2
α
°-
2
α
90
2
α
°-
Kryteria oceniania odpowiedzi
19
IV sposób rozwiązania
Niech
CED
α
)
Ponieważ
trójkąt
DCE
jest
równoramienny
i
EC
CD
,
to
EDC
CED
α
)
)
Podobnie,
ponieważ
trójkąt
ABE
jest
równoramienny,
to
AEB
EAB
β
)
)
Kąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i
180
ADC
BAD
°
)
)
Stąd
(
)
180
ADE
EAD
α
β
° -
)
)
Zatem w trójkącie DAE mamy:
(
)
180
180
AED
α
β
α
β
° -
° -
⎡
⎤
⎣
⎦
)
Stąd
180
2
2
BEC
DEC
AED
AEB
α
β
° =
)
)
)
)
, czyli
90
α
β
°.
Zatem
90
°
)AED
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,
np.
EDC
CED
α
)
)
oraz
AEB
EAB
β
)
)
i zapisze, że
180
ADC
BAD
°
)
)
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że
90
°
)AED
Uwaga
Jeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko
szczególny przypadek, np.
90
°
)ABC
lub
45
°
)DEC
, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów.
B
E
C
D
β
A
α
α
β
Kryteria oceniania odpowiedzi
20

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: mediana = 3, średnia arytmetyczna = 3,25

\n

Sposób 1 - wypisanie wszystkich danych i bezpośrednie liczenie

\n

Krok 1 - ustalamy dane z tabeli:

\n

| Ocena | Liczba uczniów |
| 6 | 1 |
| 5 | 2 |
| 4 | 6 |
| 3 | 5 |
| 2 | 4 |
| 1 | 2 |

\n

Łączna liczba uczniów:
\\[n = 1 + 2 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\\]

\n

Krok 2 - mediana

\n

Ponieważ \\(n = 20\\) (liczba parzysta), mediana to średnia arytmetyczna 10. i 11. wyrazu po uszeregowaniu od najmniejszego do największego.

\n

Ustawmy wyniki rosnąco i policzmy pozycje:

\n

| Ocena | Uczniowie | Pozycje (od-do) |
| 1 | 2 | 1-2 |
| 2 | 4 | 3-6 |
| 3 | 5 | 7-11 |
| 4 | 6 | 12-17 |
| 5 | 2 | 18-19 |
| 6 | 1 | 20 |

\n

Zarówno 10. jak i 11. wyraz to ocena 3 (mieszczą się w pozycjach 7-11).

\n

\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3\\]

\n

Krok 3 - średnia arytmetyczna

\n

Sumujemy iloczyny (ocena × liczba uczniów z daną oceną):

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{6 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 4 \\cdot 6 + 3 \\cdot 5 + 2 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2}{20}\\]

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{6 + 10 + 24 + 15 + 8 + 2}{20} = \\frac{65}{20} = 3{,}25\\]

\n

Mediana wynosi \\(3\\), średnia arytmetyczna wynosi \\(3{,}25\\).

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez skumulowane częstości (i kontrola sumy)

\n

Weryfikacja mediany - skumulowane liczebności:

\n

Zliczamy uczniów od lewej (od najniższej oceny):

\n

\\[2 \\to 6 \\to 11 \\to 17 \\to 19 \\to 20\\]

\n

Po doliczeniu uczniów z oceną 3 skumulowana liczebność osiąga 11 (czyli przekracza \\(\\frac{n}{2} = 10\\)). Oznacza to, że i 10., i 11. wyraz należą do grupy z oceną 3.

\n

\\[\\text{mediana} = 3 \\checkmark\\]

\n

Weryfikacja średniej - kontrola sumy:

\n

Możemy sprawdzić sumę inaczej: gdyby wszyscy 20 uczniów dostało ocenę 3, suma byłaby \\(20 \\cdot 3 = 60\\). Teraz patrzymy na odchylenia od oceny 3:

\n

\\[\\Delta = (+3)\\cdot1 + (+2)\\cdot2 + (+1)\\cdot6 + (0)\\cdot5 + (-1)\\cdot4 + (-2)\\cdot2\\]
\\[\\Delta = 3 + 4 + 6 + 0 - 4 - 4 = 5\\]

\n

\\[\\bar{a} = 3 + \\frac{5}{20} = 3 + 0{,}25 = 3{,}25 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n
Średnia arytmetyczna (ważona):
\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]
Użyliśmy tego wzoru, gdzie \\(a_i\\) = ocena, \\(w_i\\) = liczba uczniów z tą oceną.
\n
Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (parzyste \\(n\\)).
Tu \\(n = 20\\) (parzyste), więc mediana = średnia 10. i 11. wyrazu.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie uczniów mediana to średnia dwóch środkowych - nie wystarczy znaleźć tylko 10. elementu! Uczniowie często biorą tylko jeden środkowy wyraz.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu średniej ze zgrupowanych danych musisz mnożyć każdą ocenę przez liczbę uczniów, którzy ją dostali - nie wystarczy uśrednić samych ocen \\(\\frac{6+5+4+3+2+1}{6} = 3{,}5\\), co byłoby błędem.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że mediana i średnia mogą być różne (tu: 3 i 3,25) - to normalne! Mediana jest odporna na skrajne wyniki, średnia - nie.
\n

Odpowiedź: Średnia \\(\\bar{x} = 3{,}25\\); mediana \\(\\text{Me} = 3\\).

\n
Sposób 1 - Średnia ważona
\n

Liczba uczniów: \\(N = 1+2+6+5+4+2 = 20\\). Suma ocen:
\\[\\sum = 6\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 4\\cdot 6 + 3\\cdot 5 + 2\\cdot 4 + 1\\cdot 2 = 6+10+24+15+8+2 = 65.\\]
Średnia:
\\[\\bar{x} = \\dfrac{65}{20} = 3{,}25.\\]

\n

Mediana. Dla \\(N=20\\) (parzyste) mediana to średnia \\(10\\)-tej i \\(11\\)-tej obserwacji po uporządkowaniu rosnąco.

\n

Porządkujemy (np. niemalejąco) i liczymy pozycje:

\n\n

Pozycje 10 i 11: obie \\(=3\\). Zatem \\(\\text{Me} = \\tfrac{3+3}{2} = 3\\).

\n
Sposób 2 - Tabela skumulowanych częstości
\n

Budujemy dystrybuantę i znajdujemy medianę: pierwsza pozycja spełniająca \\(F(x)\\ge N/2=10\\) to ocena \\(3\\) (\\(F(3)=11\\)). Dla parzystego \\(N\\) sprawdzamy obie wartości i bierzemy średnią - \\(Me = 3\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Średnia: suma ważona / łączna liczba. Mediana: środkowa pozycja po uporządkowaniu (dla parzystego \\(N\\) - średnia dwóch środkowych).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

\\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\dfrac{1}{2}

"}]}