{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest czworokąt ABCD, w którym\nCD\nAB ||\n. Na boku BC wybrano taki punkt E,\nże EC\nCD\ni EB\nBA\n. Wykaż, że kąt AED jest prosty.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n27.\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{36}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających wyników\n\n**Przestrzeń próbkowa** przy dwukrotnym rzucie kostką sześcienną to wszystkie pary \\((i, j)\\), gdzie \\(i\\) - wynik pierwszego rzutu, \\(j\\) - wynik drugiego rzutu.\n\nLiczba wszystkich wyników:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\)**: wynik pierwszego rzutu jest o \\(1\\) mniejszy od wyniku drugiego, czyli:\n\\[i = j - 1 \\quad \\Leftrightarrow \\quad j = i + 1\\]\n\nWypisujemy wszystkie pary sprzyjające \\((i, j)\\):\n\n| Pierwszy rzut \\(i\\) | Drugi rzut \\(j = i+1\\) |\n| 1 | 2 |\n| 2 | 3 |\n| 3 | 4 |\n| 4 | 5 |\n| 5 | 6 |\n\n**Uwaga:** para \\((6, 7)\\) odpada, bo na kostce nie ma „7\".\n\nLiczba wyników sprzyjających: \\(|A| = 5\\)\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{36}\\]\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez warunki na \\(j\\)\n\nDla każdej wartości drugiego rzutu \\(j\\) pytamy: czy pierwszy rzut może wynosić \\(j - 1\\)?\n\n- \\(j = 1\\): potrzebujemy \\(i = 0\\) - **niemożliwe**\n- \\(j = 2\\): \\(i = 1\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 3\\): \\(i = 2\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 4\\): \\(i = 3\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 5\\): \\(i = 4\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 6\\): \\(i = 5\\) - **możliwe** ✓\n\nDla każdej sprzyjającej wartości \\(j\\) istnieje dokładnie **1** sprzyjający wynik pierwszego rzutu, a każda wartość \\(j\\) ma prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\). Zatem:\n\n\\[P(A) = 5 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{5}{36}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nZastosowaliśmy ten wzór bezpośrednio: \\(|A| = 5\\), \\(|\\Omega| = 36\\).\n\nW tym zadaniu nie korzystamy ze wzoru Bernoullego ani prawdopodobieństwa warunkowego - wystarczy klasyczna definicja.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić „pierwszy o 1 mniejszy od drugiego\" z „różnica wynosi 1 (w dowolną stronę)\". Warunek \\(|i - j| = 1\\) daje **10** par (np. również \\((2,1), (3,2), \\ldots\\)), co dawałoby \\(P = \\frac{10}{36} = \\frac{5}{18}\\). Zawsze czytaj uważnie, który rzut jest większy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy błędnie liczą \\(|\\Omega| = 6 + 6 = 12\\) zamiast \\(6 \\times 6 = 36\\). Przy **niezależnych** rzutach przestrzeń próbkowa to **iloczyn kartezjański**, więc mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((6, 7)\\) nie istnieje - nie wliczamy jej do sprzyjających. Wynikach na kostce to zawsze \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{5}{36}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).\n\nZdarzenia sprzyjające (gdzie \\(b=a+1\\)):\n\\[A = \\{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)\\}, \\quad |A| = 5.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo\nW pierwszym rzucie: \\(6\\) możliwości (każda z p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)). W drugim rzucie: gdy pierwszy wyrzucił \\(a\\in\\{1,2,3,4,5\\}\\), musi wypaść \\(a+1\\) (p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)); gdy \\(a = 6\\), brak sprzyjającej.\n\\[P(A) = 5\\cdot \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela\nRysujemy tabelę \\(6\\times 6\\) (pierwsza kostka w wierszach, druga w kolumnach). Zaznaczamy pola, gdzie numer kolumny \\(=\\) numer wiersza \\(+1\\) - jest \\(5\\) takich pól.\n\\[P(A)=\\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) ORAZ \\(A=\\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\\}\\) (lub \\(|A|=5\\)).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(P(A)=\\dfrac{5}{36}\\).\n\n**Trik:** „Jedna mniejsza od drugiej\" → pary typu \\((k, k+1)\\). Prosty warunek liniowy na \\(k\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (2 pkt)<br>Dany jest czworokąt ABCD, w którym<br>CD<br>AB ||<br>. Na boku BC wybrano taki punkt E,<br>że EC<br>CD<br>i EB<br>BA<br>. Wykaż, że kąt AED jest prosty.<br>Odpowiedź:<br>Nr zadania<br>27.<br>28.<br>29.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>2<br>Wypełnia<br>egzaminator Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>14<br>Matura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{36}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających wyników</h4>\n<p><strong>Przestrzeń próbkowa</strong> przy dwukrotnym rzucie kostką sześcienną to wszystkie pary \\((i, j)\\), gdzie \\(i\\) - wynik pierwszego rzutu, \\(j\\) - wynik drugiego rzutu.</p>\n<p>Liczba wszystkich wyników:<br>\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]</p>\n<p><strong>Zdarzenie \\(A\\)</strong>: wynik pierwszego rzutu jest o \\(1\\) mniejszy od wyniku drugiego, czyli:<br>\\[i = j - 1 \\quad \\Leftrightarrow \\quad j = i + 1\\]</p>\n<p>Wypisujemy wszystkie pary sprzyjające \\((i, j)\\):</p>\n<p>| Pierwszy rzut \\(i\\) | Drugi rzut \\(j = i+1\\) |<br>| 1 | 2 |<br>| 2 | 3 |<br>| 3 | 4 |<br>| 4 | 5 |<br>| 5 | 6 |</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> para \\((6, 7)\\) odpada, bo na kostce nie ma „7&quot;.</p>\n<p>Liczba wyników sprzyjających: \\(|A| = 5\\)</p>\n<p>Prawdopodobieństwo:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{36}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Myślenie przez warunki na \\(j\\)</h4>\n<p>Dla każdej wartości drugiego rzutu \\(j\\) pytamy: czy pierwszy rzut może wynosić \\(j - 1\\)?</p>\n<ul><li>\\(j = 1\\): potrzebujemy \\(i = 0\\) - <strong>niemożliwe</strong></li><li>\\(j = 2\\): \\(i = 1\\) - <strong>możliwe</strong> ✓</li><li>\\(j = 3\\): \\(i = 2\\) - <strong>możliwe</strong> ✓</li><li>\\(j = 4\\): \\(i = 3\\) - <strong>możliwe</strong> ✓</li><li>\\(j = 5\\): \\(i = 4\\) - <strong>możliwe</strong> ✓</li><li>\\(j = 6\\): \\(i = 5\\) - <strong>możliwe</strong> ✓</li></ul>\n<p>Dla każdej sprzyjającej wartości \\(j\\) istnieje dokładnie <strong>1</strong> sprzyjający wynik pierwszego rzutu, a każda wartość \\(j\\) ma prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\). Zatem:</p>\n<p>\\[P(A) = 5 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{5}{36}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Zastosowaliśmy ten wzór bezpośrednio: \\(|A| = 5\\), \\(|\\Omega| = 36\\).</p>\n<p>W tym zadaniu nie korzystamy ze wzoru Bernoullego ani prawdopodobieństwa warunkowego - wystarczy klasyczna definicja.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić „pierwszy o 1 mniejszy od drugiego&quot; z „różnica wynosi 1 (w dowolną stronę)&quot;. Warunek \\(|i - j| = 1\\) daje <strong>10</strong> par (np. również \\((2,1), (3,2), \\ldots\\)), co dawałoby \\(P = \\frac{10}{36} = \\frac{5}{18}\\). Zawsze czytaj uważnie, który rzut jest większy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Niektórzy błędnie liczą \\(|\\Omega| = 6 + 6 = 12\\) zamiast \\(6 \\times 6 = 36\\). Przy <strong>niezależnych</strong> rzutach przestrzeń próbkowa to <strong>iloczyn kartezjański</strong>, więc mnożymy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Para \\((6, 7)\\) nie istnieje - nie wliczamy jej do sprzyjających. Wynikach na kostce to zawsze \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{5}{36}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h5>\n<p>Zdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).</p>\n<p>Zdarzenia sprzyjające (gdzie \\(b=a+1\\)):<br>\\[A = \\{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)\\}, \\quad |A| = 5.\\]<br>\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{5}{36}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo</h5>\n<p>W pierwszym rzucie: \\(6\\) możliwości (każda z p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)). W drugim rzucie: gdy pierwszy wyrzucił \\(a\\in\\{1,2,3,4,5\\}\\), musi wypaść \\(a+1\\) (p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)); gdy \\(a = 6\\), brak sprzyjającej.<br>\\[P(A) = 5\\cdot \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{5}{36}.\\]</p>\n<h5>Sposób 3 - Tabela</h5>\n<p>Rysujemy tabelę \\(6\\times 6\\) (pierwsza kostka w wierszach, druga w kolumnach). Zaznaczamy pola, gdzie numer kolumny \\(=\\) numer wiersza \\(+1\\) - jest \\(5\\) takich pól.<br>\\[P(A)=\\dfrac{5}{36}.\\]</p>\n<h5>Uwagi punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt:</strong> Zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) ORAZ \\(A=\\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\\}\\) (lub \\(|A|=5\\)).</li><li><strong>2 pkt:</strong> Obliczenie \\(P(A)=\\dfrac{5}{36}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> „Jedna mniejsza od drugiej&quot; → pary typu \\((k, k+1)\\). Prosty warunek liniowy na \\(k\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Uzasadnienie.</p>"}]}