{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nWyrażenie\na\nab\na\n15\n10\n5\n2\njest równe iloczynowi\nA.\n(\n)\n3\n10\n1\n5\n2\nb\na\nB.\n(\n)\n3\n2\n5\n-b\na\na\nC.\n(\n)\n15\n10\n5\nb\na\na\nD.\n(\n)\n3\n2\n5\n-b\na\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie 5a^2-10ab+15a jest równe iloczynowi 5a^2(1-10b+3), B. 5a(a-2b+3), C. 5a(a-10b+15), D. 5(a-2b+3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozłożenie wielomianu na czynniki\nz zastosowaniem wyłączenia wspólnego\nczynnika poza nawias\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(5a(a - 2b + 3)\\)\n\n## Sposób 1 - wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias\n\nPatrzymy na wyrażenie \\(5a^2 - 10ab + 15a\\) i szukamy **największego wspólnego czynnika (NWC)** wszystkich trzech składników.\n\n**Krok 1: Znajdź NWC liczb.**\n\nWspółczynniki: \\(5, 10, 15\\). NWC = \\(5\\).\n\n**Krok 2: Znajdź NWC zmiennych.**\n\n- Pierwszy składnik: \\(a^2\\)\n- Drugi składnik: \\(ab\\) → zawiera \\(a^1\\)\n- Trzeci składnik: \\(a\\) → zawiera \\(a^1\\)\n\nNWC = \\(a^1 = a\\).\n\n**Krok 3: NWC całego wyrażenia = \\(5a\\).**\n\n**Krok 4: Wyciągnij \\(5a\\) przed nawias - podziel każdy składnik przez \\(5a\\).**\n\n\\[\n5a^2 \\div 5a = a\n\\]\n\\[\n-10ab \\div 5a = -2b\n\\]\n\\[\n15a \\div 5a = 3\n\\]\n\n**Krok 5: Zapisz wynik.**\n\n\\[\n5a^2 - 10ab + 15a = \\boxed{5a(a - 2b + 3)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozwinięcie nawiasu\n\nAby sprawdzić, czy odpowiedź B jest poprawna, **rozwijamy nawias** i porównujemy z oryginałem.\n\n\\[\n5a(a - 2b + 3) = 5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3\n\\]\n\\[\n= 5a^2 - 10ab + 15a \\checkmark\n\\]\n\nWynik zgadza się z wyjściowym wyrażeniem - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowego działania algebraicznego: wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (własność rozdzielności mnożenia względem dodawania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wyciągnięto \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\) - ale \\(a^2\\) nie jest czynnikiem składnika \\(15a\\) (bo \\(15a \\div a^2 = \\frac{15}{a}\\) - nie jest liczbą). Dodatkowo \\(1 - 10b + 3\\) jest błędnie obliczone: \\(-10ab \\div 5a^2 = -\\frac{2b}{a}\\), nie \\(-10b\\). |\n| C | Wyciągnięto poprawnie \\(5a\\), ale **nie podzielono** składników - zostawiono oryginalne liczby (\\(-10b\\) zamiast \\(-2b\\), \\(15\\) zamiast \\(3\\)). Błąd polegający na przepisaniu współczynników bez dzielenia. |\n| D | Wyciągnięto tylko \\(5\\), zapomniano o \\(a\\). Wtedy: \\(5(a^2 - 2ab + 3a)\\) - w nawiasie wciąż zostaje \\(a\\), a nie \\((a - 2b + 3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyciągając wspólny czynnik, pamiętaj podzielić **każdy** składnik - nie tylko pierwszy. Najczęstszy błąd to wyciągnięcie zbyt dużego czynnika (np. \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\)) i błędne obliczenie pozostałości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy wyciągnięty czynnik naprawdę dzieli wszystkie składniki. Tu \\(a^2\\) dzieli \\(5a^2\\) i \\(10ab\\), ale **nie dzieli** \\(15a\\) (bo \\(a^2 \\nmid a\\) dla ogólnego \\(a\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka weryfikacja - po wyciągnięciu czynnika **rozwiń nawias z powrotem**. Jeśli wróciłeś do punktu wyjścia, odpowiedź jest poprawna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\nW wyrażeniu \\(5a^{2} - 10ab + 15a\\) każdy wyraz zawiera czynnik \\(5a\\):\n\\[5a^{2} = 5a\\cdot a, \\quad -10ab = 5a\\cdot(-2b), \\quad 15a = 5a\\cdot 3.\\]\nZatem:\n\\[5a^{2} - 10ab + 15a = 5a(a - 2b + 3).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez rozdzielność\nMnożymy \\(5a \\cdot (a - 2b + 3)\\):\n\\[5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3 = 5a^{2} - 10ab + 15a. \\checkmark\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5a^{2}(1 - 10b + 3)\\)** - wyłączono \\(5a^{2}\\), ale wtedy ostatni wyraz \\(15a\\) nie dzieli się przez \\(5a^{2}\\) (brak jednej potęgi \\(a\\)).\n- **C. \\(5a(a - 10b + 15)\\)** - zapomniano podzielić \\(10b\\) i \\(15\\) przez \\(2\\)/\\(3\\) odpowiednio (ktoś wyciągnął tylko \\(a\\) bez \\(5\\) dalej).\n- **D. \\(5(a - 2b + 3)\\)** - wyłączono tylko \\(5\\); wtedy pierwszy wyraz \\(5\\cdot a = 5a\\), a powinno być \\(5a^{2}\\).\n\n**Trik:** Przy rozkładzie sprawdź NWD współczynników i najmniejszą potęgę każdej zmiennej występującej we wszystkich składnikach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Wyrażenie
a
ab
a
15
10
5
2
jest równe iloczynowi
A.
(
)
3
10
1
5
2
b
a
B.
(
)
3
2
5
-b
a
a
C.
(
)
15
10
5
b
a
a
D.
(
)
3
2
5
-b
a
Matura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie 5a^2-10ab+15a jest równe iloczynowi 5a^2(1-10b+3), B. 5a(a-2b+3), C. 5a(a-10b+15), D. 5(a-2b+3)

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Rozłożenie wielomianu na czynniki
z zastosowaniem wyłączenia wspólnego
czynnika poza nawias
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(5a(a - 2b + 3)\\)

\n

Sposób 1 - wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias

\n

Patrzymy na wyrażenie \\(5a^2 - 10ab + 15a\\) i szukamy największego wspólnego czynnika (NWC) wszystkich trzech składników.

\n

Krok 1: Znajdź NWC liczb.

\n

Współczynniki: \\(5, 10, 15\\). NWC = \\(5\\).

\n

Krok 2: Znajdź NWC zmiennych.

\n\n

NWC = \\(a^1 = a\\).

\n

Krok 3: NWC całego wyrażenia = \\(5a\\).

\n

Krok 4: Wyciągnij \\(5a\\) przed nawias - podziel każdy składnik przez \\(5a\\).

\n

\\[
5a^2 \\div 5a = a
\\]
\\[
-10ab \\div 5a = -2b
\\]
\\[
15a \\div 5a = 3
\\]

\n

Krok 5: Zapisz wynik.

\n

\\[
5a^2 - 10ab + 15a = \\boxed{5a(a - 2b + 3)}
\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez rozwinięcie nawiasu

\n

Aby sprawdzić, czy odpowiedź B jest poprawna, rozwijamy nawias i porównujemy z oryginałem.

\n

\\[
5a(a - 2b + 3) = 5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3
\\]
\\[
= 5a^2 - 10ab + 15a \\checkmark
\\]

\n

Wynik zgadza się z wyjściowym wyrażeniem - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowego działania algebraicznego: wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (własność rozdzielności mnożenia względem dodawania).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Wyciągnięto \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\) - ale \\(a^2\\) nie jest czynnikiem składnika \\(15a\\) (bo \\(15a \\div a^2 = \\frac{15}{a}\\) - nie jest liczbą). Dodatkowo \\(1 - 10b + 3\\) jest błędnie obliczone: \\(-10ab \\div 5a^2 = -\\frac{2b}{a}\\), nie \\(-10b\\). |
| C | Wyciągnięto poprawnie \\(5a\\), ale nie podzielono składników - zostawiono oryginalne liczby (\\(-10b\\) zamiast \\(-2b\\), \\(15\\) zamiast \\(3\\)). Błąd polegający na przepisaniu współczynników bez dzielenia. |
| D | Wyciągnięto tylko \\(5\\), zapomniano o \\(a\\). Wtedy: \\(5(a^2 - 2ab + 3a)\\) - w nawiasie wciąż zostaje \\(a\\), a nie \\((a - 2b + 3)\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wyciągając wspólny czynnik, pamiętaj podzielić każdy składnik - nie tylko pierwszy. Najczęstszy błąd to wyciągnięcie zbyt dużego czynnika (np. \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\)) i błędne obliczenie pozostałości.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź zawsze, czy wyciągnięty czynnik naprawdę dzieli wszystkie składniki. Tu \\(a^2\\) dzieli \\(5a^2\\) i \\(10ab\\), ale nie dzieli \\(15a\\) (bo \\(a^2 \\nmid a\\) dla ogólnego \\(a\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Szybka weryfikacja - po wyciągnięciu czynnika rozwiń nawias z powrotem. Jeśli wróciłeś do punktu wyjścia, odpowiedź jest poprawna.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

W wyrażeniu \\(5a^{2} - 10ab + 15a\\) każdy wyraz zawiera czynnik \\(5a\\):
\\[5a^{2} = 5a\\cdot a, \\quad -10ab = 5a\\cdot(-2b), \\quad 15a = 5a\\cdot 3.\\]
Zatem:
\\[5a^{2} - 10ab + 15a = 5a(a - 2b + 3).\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja przez rozdzielność
\n

Mnożymy \\(5a \\cdot (a - 2b + 3)\\):
\\[5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3 = 5a^{2} - 10ab + 15a. \\checkmark\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Przy rozkładzie sprawdź NWD współczynników i najmniejszą potęgę każdej zmiennej występującej we wszystkich składnikach.

"}]}