{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nZe zbioru liczb\n}\n7\n, ,\n3\n,2\n,1\n{\nlosujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania (metoda klasyczna)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(\n)\n,\na b\nliczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n2\n7\nΩ =\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na\notrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, np. wypisując je i zliczając:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5\n5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5\n,\nA =\nczyli\n16\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nII sposób rozwiązania (metoda tabeli)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(\n)\n,\na b\nliczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\nX\nX\n2\nX\nX\nX\n3\nX\nX\n4\nX\nX\n5\nX\nX\nX\n6\nX\nX\n7\nX\nX\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n2\n7\nΩ =\nZliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n16\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n2\n7\n49\nΩ =\nalbo\n• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :\n16\nA =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia\nKryteria oceniania odpowiedzi\n21\nIII sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie. Prawdopodobieństwo na każdym\nodcinku tego drzewa jest równe 1\n7 .\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1 1\n16\n( )\n16 7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\nIV sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy\ndrzewo,\nuwzględniając\ntylko\nistotne\ngałęzie\ni\nzapisujemy\nna\nnich\nprawdopodobieństwo.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n2 2\n3 2\n2 3\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n47\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n1\n7\n1\n2 5\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n3 6\n1 4 7\n2 5\n1 4 7\n2 5\n3 6\n1\n7\n{\n}\n3,6\n{\n}\n1,4,7\n{\n}\n2,5\n{\n}\n3,6\n{\n}\n2,5\n{\n}\n1,4,7\n2\n7\n3\n7\n2\n7\n2\n7\n2\n7\n3\n7\nKryteria oceniania odpowiedzi\n22\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo\nalbo\n• narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie\nobliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.\n16\n4\n( )\n49\n7\nP A =\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z własności ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałego ilorazu \\(q\\). Oznacza to, że **kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów równa się iloczynowi skrajnych**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze środkowego wyrazu.**\n\n\\[x^2 = 27 \\cdot 3 = 81\\]\n\n\\[x = \\pm 9\\]\n\n**Krok 2: Wybieramy właściwą wartość \\(x\\).**\n\nCiąg jest **malejący**, więc sprawdzamy oba przypadki:\n\n- \\(x = 9\\): ciąg \\(27, 9, 3\\) - każdy wyraz mniejszy od poprzedniego ✓\n- \\(x = -9\\): ciąg \\(27, -9, 3\\) - nie jest malejący (przeskakuje przez ujemne) ✗\n\nZatem \\(x = 9\\).\n\n**Krok 3: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).**\n\n\\[q = \\frac{x}{27} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy ósmy wyraz.**\n\n\\[a_8 = a_1 \\cdot q^{7} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = 27 \\cdot \\frac{1}{2187} = \\frac{27}{2187} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wyrazów ciągu krok po kroku\n\nZnamy \\(a_1 = 27\\) i \\(q = \\frac{1}{3}\\). Wypisujemy kolejne wyrazy:\n\n\\[a_1 = 27\\]\n\\[a_2 = 27 \\cdot \\frac{1}{3} = 9\\]\n\\[a_3 = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]\n\\[a_4 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\]\n\\[a_5 = 1 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\]\n\\[a_6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\]\n\\[a_7 = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{27}\\]\n\\[a_8 = \\frac{1}{27} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)** - zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu geometrycznego:\n\nWłasność środkowego wyrazu:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** do wyznaczenia \\(x^2 = 27 \\cdot 3\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** do obliczenia \\(a_8\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^2 = 81\\) mamy dwa rozwiązania: \\(x = 9\\) i \\(x = -9\\). Koniecznie sprawdź, które z nich daje ciąg **malejący** - to kluczowy warunek zadania! Ciąg \\(27, -9, 3\\) nie jest malejący.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić potęgę we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Dla ósmego wyrazu wykładnik wynosi **7**, nie 8. Maturzyści często wstawiają \\(q^8\\) - to błąd o jeden wyraz za dużo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = \\frac{1}{2187}\\), a \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\frac{27}{2187} = \\frac{3^3}{3^7} = 3^{-4} = \\frac{1}{81}\\). Skrócenie ułamka jest konieczne dla pełnej odpowiedzi.\n\n**Odpowiedź:** \\(a_{8} = \\dfrac{1}{81}\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a_{3} = a_{1}q^{2}\\)\nZ warunku: \\(3 = 27\\cdot q^{2} \\Rightarrow q^{2} = \\dfrac{1}{9} \\Rightarrow q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\).\n\nCiąg jest **malejący**, więc kolejne wyrazy stają się mniejsze. Dla \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy na przemian zmieniają znak - ciąg nie jest monotoniczny. Dla \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy: \\(27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\tfrac{1}{27}, \\tfrac{1}{81}\\) - malejący ✓.\n\n\\[a_{8} = a_{1}\\cdot q^{7} = 27\\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{7} = \\dfrac{27}{3^{7}} = \\dfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\dfrac{1}{3^{4}} = \\dfrac{1}{81}.\\]\n\n### Sposób 2 - Średnia geometryczna\nZ własności ciągu geometrycznego: \\(x^{2} = 27\\cdot 3 = 81 \\Rightarrow x = \\pm 9\\). Ciąg malejący, więc \\(x = 9\\) (wartości dodatnie i malejące). Iloraz \\(q = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\). Dalej jak w Sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\n\\(a_{n} = 27\\cdot \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=8\\): \\(a_{8} = 27\\cdot \\tfrac{1}{3^{7}} = \\tfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\tfrac{1}{3^{4}} = \\tfrac{1}{81}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie ilorazu \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) (z uzasadnieniem odrzucenia \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\)).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(a_{8}=\\dfrac{1}{81}\\).\n\n**Trik:** Przy ciągu geometrycznym \\(x^{2} = ab\\) (dla sąsiednich) lub sprawdź \\(q\\) bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Ze zbioru liczb
}
7
, ,
3
,2
,1
{
losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
15
Matura podstawowa z matematyki 2011. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
I sposób rozwiązania (metoda klasyczna)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(
)
,
a b
liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
2
7
Ω =
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na
otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, np. wypisując je i zliczając:
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5
5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5
,
A =
czyli
16
A =
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
16
( )
49
P A =
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(
)
,
a b
liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu
1
2
3
4
5
6
7
1
X
X
2
X
X
X
3
X
X
4
X
X
5
X
X
X
6
X
X
7
X
X
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
2
7
Ω =
Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
16
A =
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
16
( )
49
P A =
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
2
7
49
Ω =
albo
• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :
16
A =
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
16
( )
49
P A =
Użycie i tworzenie strategii
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
Kryteria oceniania odpowiedzi
21
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie. Prawdopodobieństwo na każdym
odcinku tego drzewa jest równe 1
7 .
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
1 1
16
( )
16 7 7
49
P A =
⋅
⋅
IV sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Rysujemy
drzewo,
uwzględniając
tylko
istotne
gałęzie
i
zapisujemy
na
nich
prawdopodobieństwo.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
( )
2 2
3 2
2 3
16
7 7
7 7
7 7
47
P A =
⋅
⋅
⋅
1
7
1
2 5
2
3
4
5
6
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
3 6
1 4 7
2 5
1 4 7
2 5
3 6
1
7
{
}
3,6
{
}
1,4,7
{
}
2,5
{
}
3,6
{
}
2,5
{
}
1,4,7
2
7
3
7
2
7
2
7
2
7
3
7
Kryteria oceniania odpowiedzi
22
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
• narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
• narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
16
( )
49
P A =
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
\n

( )
1
P A > , to otrzymuje za całe
rozwiązanie 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie
\n

obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.
\n

16
4
( )
49
7
P A =
, to otrzymuje 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z własności ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałego ilorazu \\(q\\). Oznacza to, że kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów równa się iloczynowi skrajnych.

\n

Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze środkowego wyrazu.

\n

\\[x^2 = 27 \\cdot 3 = 81\\]

\n

\\[x = \\pm 9\\]

\n

Krok 2: Wybieramy właściwą wartość \\(x\\).

\n

Ciąg jest malejący, więc sprawdzamy oba przypadki:

\n\n

Zatem \\(x = 9\\).

\n

Krok 3: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).

\n

\\[q = \\frac{x}{27} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Krok 4: Obliczamy ósmy wyraz.

\n

\\[a_8 = a_1 \\cdot q^{7} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = 27 \\cdot \\frac{1}{2187} = \\frac{27}{2187} = \\frac{1}{81}\\]

\n

Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)

\n

Sposób 2 - Wypisanie wyrazów ciągu krok po kroku

\n

Znamy \\(a_1 = 27\\) i \\(q = \\frac{1}{3}\\). Wypisujemy kolejne wyrazy:

\n

\\[a_1 = 27\\]
\\[a_2 = 27 \\cdot \\frac{1}{3} = 9\\]
\\[a_3 = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]
\\[a_4 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\]
\\[a_5 = 1 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\]
\\[a_6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\]
\\[a_7 = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{27}\\]
\\[a_8 = \\frac{1}{27} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{81}\\]

\n

Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\) - zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzory dla ciągu geometrycznego:

\n

Własność środkowego wyrazu:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x^2 = 27 \\cdot 3\\).

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia \\(a_8\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(x^2 = 81\\) mamy dwa rozwiązania: \\(x = 9\\) i \\(x = -9\\). Koniecznie sprawdź, które z nich daje ciąg malejący - to kluczowy warunek zadania! Ciąg \\(27, -9, 3\\) nie jest malejący.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić potęgę we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Dla ósmego wyrazu wykładnik wynosi 7, nie 8. Maturzyści często wstawiają \\(q^8\\) - to błąd o jeden wyraz za dużo.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = \\frac{1}{2187}\\), a \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\frac{27}{2187} = \\frac{3^3}{3^7} = 3^{-4} = \\frac{1}{81}\\). Skrócenie ułamka jest konieczne dla pełnej odpowiedzi.
\n

Odpowiedź: \\(a_{8} = \\dfrac{1}{81}\\).

\n
Sposób 1 - Wzór \\(a_{3} = a_{1}q^{2}\\)
\n

Z warunku: \\(3 = 27\\cdot q^{2} \\Rightarrow q^{2} = \\dfrac{1}{9} \\Rightarrow q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\).

\n

Ciąg jest malejący, więc kolejne wyrazy stają się mniejsze. Dla \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy na przemian zmieniają znak - ciąg nie jest monotoniczny. Dla \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy: \\(27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\tfrac{1}{27}, \\tfrac{1}{81}\\) - malejący ✓.

\n

\\[a_{8} = a_{1}\\cdot q^{7} = 27\\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{7} = \\dfrac{27}{3^{7}} = \\dfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\dfrac{1}{3^{4}} = \\dfrac{1}{81}.\\]

\n
Sposób 2 - Średnia geometryczna
\n

Z własności ciągu geometrycznego: \\(x^{2} = 27\\cdot 3 = 81 \\Rightarrow x = \\pm 9\\). Ciąg malejący, więc \\(x = 9\\) (wartości dodatnie i malejące). Iloraz \\(q = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\). Dalej jak w Sposobie 1.

\n
Sposób 3 - Wzór ogólny
\n

\\(a_{n} = 27\\cdot \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=8\\): \\(a_{8} = 27\\cdot \\tfrac{1}{3^{7}} = \\tfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\tfrac{1}{3^{4}} = \\tfrac{1}{81}\\).

\n
Uwagi punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Przy ciągu geometrycznym \\(x^{2} = ab\\) (dla sąsiednich) lub sprawdź \\(q\\) bezpośrednio.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{16}{49}$

"}]}